圓與橢圓的一組類比性質(zhì)

1、圓與橢圓的一組類比性質(zhì)楊同偉西安市昆侖中學(xué)710043類比是科學(xué)研究中常用的一種思維方法，是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理 .盡管類比推理只是一個(gè)合情推理（即類比得到的結(jié)果未必正確），但因其具有創(chuàng)造性的特點(diǎn)，而被廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究之中 .本文擬介紹一組“圓”與“橢圓”的類比性質(zhì)，以期拋磚引玉，激發(fā)起同學(xué)們的創(chuàng)造熱情和類比發(fā)現(xiàn)意識(shí) .命題 1直線 l 切 e O 于 T , 且 OT , l 都存在非零斜率kOT , kl ，則 kOT kl1.直線 l 切橢圓x2y21a0, b0于 T , 且 OT , l 都存在非零斜率kOT , kl ，則 kOT

2、klb2類比命題 1a2b2a2 .證明設(shè)切點(diǎn) T x0 , y0, 則切線 l 的方程為x0 xy0 y 1，進(jìn)而有 klb2 x0 , 又因?yàn)?kOTy0 ，所以，a2b2a2 y0x02kOT klb2 .a命題 2AB 是 e O 的直徑， P 是 e O 上一點(diǎn)，且 PA, PB 都存在非零斜率kPA , kPB ，則 kPAkPB1.類比命題2AB 是橢圓x2y21 a0,b0 的直徑，且PA, PB 都存在非零斜率kPA , kPB ，則a2b22kPAkPBb2 .a證明如圖 1，設(shè) A a cos,b sin， Pa cos,b sin, 則 Ba cos, b sin .k

3、PAb sinsin2bcos2sin2b,a coscoscot2a sin2sina22kPBb sinsin2b sin2cos2b,a coscostan22a cos2cosa22kPAkPBb2 .a命題 3AB 是 e O 的弦， M 是 AB 的中點(diǎn)，且 AB ,OM 都存在非零斜率kAB ,kOM ，則 kAB kOM1.類比命題3AB 是橢圓 x2y21a0, b0的弦， M 是 AB 的中點(diǎn)，且AB ,OM 都存在非零斜率a2b22kAB , kOM ，則 kAB kOMb2 .a證明如圖 2，過(guò) B 作橢圓的直徑BC ，連結(jié) AC , 則 OM AC ,由上述類比命題2

4、 可知2kAB kOMkABk ACb2 .a命題 4AB,CD 是 e O 的兩條弦，直線AB,CD 相交于點(diǎn) P ，則 PA PBPC PD.類比命題4AB,CD 是橢圓x2y21 a0, b0 的兩條弦，直線AB,CD 相交于點(diǎn) P ，且直線a2b2AB與 CD 的傾斜角互補(bǔ)，則 PA PBPC PD.證明如圖3，設(shè)直線 AB,CD 的傾斜角分別為,設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 x0 , y0 ， 則弦 AB 的參數(shù)方程為xx0t cos,（ t 為參數(shù)），將其代入橢圓的方程，化簡(jiǎn)得yy0t sin .b2 cos2a2 sin2t 22b2 x0 cosa2 y0 sintb2 x02a2 y02a2b20,由參數(shù) t 的幾何意義可知，PA PBt1t 2b2 x02a2 y02a2b2,b2 cos2a2 sin2同理可得PCPDb2 x02a2 y02a2b2b2 cos2a2 sin2.又因?yàn)?sin 2sin2,cos 2cos2 .PA PBPC PD.上述 4個(gè)類比命題實(shí)質(zhì)上是“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”、“圓的直徑對(duì)的圓周角為直角” 、“圓心與非直徑的弦