高中數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)原理1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1.1.2課件新人教A版.pptx

1、類型一組數(shù)問題 【典例1】(1)(2017衡水高二檢測)我們把個位數(shù)比十位數(shù)小的兩位數(shù)稱為“和諧兩位數(shù)”,則1,2,3,4四個數(shù)組成的兩位數(shù)中,“和諧兩位數(shù)”有_個.,(2)8張卡片上寫著0,1,2,7共8個數(shù)字,取其中的三張卡片排放在一起,可組成多少個不同的三位數(shù)?,【解題指南】(1)要組成一個“和諧兩位數(shù)”可按個位數(shù)進(jìn)行分類,然后先排個位數(shù)再排十位數(shù). (2)百位數(shù)字不能為0,同時每位上的數(shù)字不能重復(fù).,【解析】(1)當(dāng)個位數(shù)為1時,十位數(shù)可以是2,3,4任意一個,有3種選法;當(dāng)個位數(shù)為2時,十位數(shù)可以是3,4任意一個,有2種選法; 當(dāng)個位數(shù)為3時,十位數(shù)只能是4,有1種選法;由分類加法計(jì)

2、數(shù)原理,滿足條件的“和諧兩位數(shù)”有3+2+1=6(個). 答案:6,(2)先排放百位從1,2,7共7個數(shù)中選一個,有7種選法; 再排十位,從除去百位的數(shù)外,剩余的7個數(shù)(包括0)中選一個,有7種選法;最后排個位,從除前兩步選出的數(shù)外,剩余的6個數(shù)中選一個,有6種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共可以組成776=294(個)不同的三位數(shù).,【延伸探究】 1.典例1(2)條件不變,問可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位密碼? 【解題指南】明確“三位密碼”各個數(shù)位上的數(shù)字可以是0.,【解析】完成“組成無重復(fù)數(shù)字的三位密碼”這件事,可以分為三步:第一步,選取左邊第一個位置上的數(shù)字,有8種方法;第二步,選取左邊第二個

3、位置上的數(shù)字,有7種方法;第三步,選取左邊第三個位置上的數(shù)字,有6種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位密碼共有876=336(個).,2.典例1(2)中將條件“8張卡片上寫著0,1,2,7共8個數(shù)字”,改為“4張卡片的正、反面分別寫有0與1,2與3,4與5,6與7”.問可組成多少個不同的三位數(shù)?,【解析】要組成三位數(shù),根據(jù)百位、十位、個位應(yīng)分三步: 第一步:百位可放8-1=7個數(shù);第二步:十位可放6個數(shù); 第三步:個位可放4個數(shù).故由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共可組成764=168(個)不同的三位數(shù).,【方法總結(jié)】數(shù)字問題的解決方法及注意事項(xiàng) 方法:對于組數(shù)問題,可從數(shù)位入手,逐位

4、探究可能的選取方法,再利用兩個原理計(jì)算.一般按特殊位置(末位或首位)由誰占領(lǐng)分類,分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成;如果正面分類較多,可采用間接法求解.,注意事項(xiàng):解決組數(shù)問題,應(yīng)特別注意其限制條件,有些條件是隱藏的,要善于挖掘,排數(shù)時要注意特殊位置、特殊元素優(yōu)先的原則.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】用0,1,2,3,4這5個數(shù)字可以組成多少 個按下列要求的無重復(fù)數(shù)字? (1)四位密碼. (2)四位數(shù). (3)四位奇數(shù).,【解析】(1)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事,分為四個步驟: 第一步,取左邊第一位上的數(shù)字,有5種選取方法; 第二步,取左邊第二位上的數(shù)字,有4種選取方法; 第三步

5、,取左邊第三位上的數(shù)字,有3種選取方法; 第四步,取左邊第四位上的數(shù)字,有2種選取方法.,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,可以組成不同的四位密碼共有N=5432=120(個).,(2)方法一:完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事分為四個步驟: 第一步,從1,2,3,4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字,有4種選取方法; 第二步、第三步、第四步與(1)類似,分別有4,3,2種選取方法.,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,可以組成不同的四位數(shù)共有N=4432=96(個). 方法二:與第(1)問的區(qū)別在于:四位密碼首位可以是0,而四位數(shù)首位不可以為0.因此,只需求首位為0的四位密碼有多少個,由(1)的總數(shù)減去首位為0的個數(shù)即為所求

6、.,當(dāng)首位是0時,第二位有4種選取方法,第三位有3種選取方法,第四位有2種選取方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,首位是0的四位密碼共有1432=24(個). 故無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有120-24=96(個).,(3)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事,分兩類方案. 第一類:這個四位奇數(shù)的個位數(shù)字是1,分三個步驟要去完成. 第一步,選取千位上的數(shù)字,有3種(從2,3,4中選)不同選法;,第二步,選取百位上的數(shù)字,有3種不同選法; 第三步,選取十位上的數(shù)字,有2種不同選法. 由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,該類中四位奇數(shù)共有1332=18(個). 第二類:這個四位奇數(shù)的個位數(shù)字是3,也是分三個步驟去完成.,具

7、體求法與個位數(shù)字是1時完全一樣,因而這樣的奇數(shù)也是18個,由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共可組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)18+18=36(個).,類型二涂色問題 【典例2】(1)(2017臨沂高二檢測)用五種不同的顏 色給圖中標(biāo)有(1),(2),(3),(4)的各個部分涂色,每部 分涂一種顏色,相鄰部分涂不同色,則涂色的方法共有 () A.96種B.320種 C.180種D.240種,(2)如圖,一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有_種.(以數(shù)字作答),【解題指南】(1)先涂區(qū)域(3),再涂其他3個區(qū)域. (2)以同色與不同色分類

8、討論求解.,【解析】(1)選B.分4步:第1步先涂(3)有5種,其余部分均有4種涂法,故總共有N=5444=320(種). (2)第1類:當(dāng)與同色時有4322=48種不同的涂色方法.,第2類:當(dāng)與不同色時,有43211=24種不同的涂色方法. 故共有48+24=72種不同的涂色方法. 答案:72,【方法總結(jié)】涂色問題的三種求解方法 (1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù),并用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析. (2)以顏色為主分類討論,適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題,用分類加法計(jì)數(shù)原理分析. (3)將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.,【鞏固訓(xùn)練】如圖所示的4塊試驗(yàn)田,現(xiàn)有4種不同的作物可供選擇種植,

9、每塊試驗(yàn)田種植一種作物,相鄰的試驗(yàn)田(有公共邊)不能種植同一種作物,則不同的種植方法有_種.,【解題指南】可分類完成此事件:A,D種相同作物,A,D種不同作物兩類.,【解析】依題意,可分兩類 第一類:若A,D種植同種作物,則A,D有4種不同的種法,B有3種種植方法,C也有3種種植方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有433=36種種植方法.,第二類:若A,D種植不同作物,則A有4種種植方法,D有3種種植方法,B有2種種植方法,C有2種種植方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有4322=48種種植方法.綜上所述,由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有N=36+48=84種種植方法. 答案:84,【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,用5種不

10、同的顏料給4塊圖形 (A,B,C,D)涂色,要求共邊兩塊顏色互異,求有多少種不同的涂色方案.,【解析】方法一:按A,C顏色相同或不同進(jìn)行分類. 若A,C顏色相同,則A有5種涂色方法,B有4種涂色方法,D有4種涂色方法,故共有544=80(種)涂法. 若A,C顏色不同,則A有5種涂色方法,C有4種涂色方法,B有3種涂色方法,D有3種涂色方法,故共有5433 =180(種)涂法.,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有80+180=260(種)不同的涂色方案. 方法二:按涂色種類進(jìn)行分類. 第一類:涂4種顏色,分四步,A有5種涂法,B有4種涂法,C有3種涂法,D有2種涂法. 故共有5432=120(種)涂法.

11、,第二類:涂3種顏色,則A,C顏色相同或B,D顏色相同. 當(dāng)A,C顏色相同時,A,C有5種涂法,B有4種涂法,D有3種涂法. 故共有543=60(種)涂法. 當(dāng)B,D顏色相同時,同理也有60種不同的涂法. 故共有60+60=120(種)涂法.,第三類:涂2種顏色,則A,C顏色相同,B,D顏色相同,A,C有5種涂法,B,D有4種涂法. 故共有54=20(種)涂法. 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有120+120+20=260(種)不同的涂色方案.,類型三簡單的選(抽)取問題 【典例3】(1)(2017鄭州高二檢測)某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會,其中甲企業(yè)有2人到會,其余4家企業(yè)各有1人到會,會上有

12、3人發(fā)言,則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為() A.14B.16C.20D.48,(2)(2017南昌高二檢測)現(xiàn)準(zhǔn)備將6臺型號相同的電腦分配給5所小學(xué),其中A,B兩所希望小學(xué)每個學(xué)校至少2臺,其他小學(xué)允許1臺也沒有,則不同的分配方案共有多少種?,【解題指南】(1)可以分成兩類,一類是甲企業(yè)有1人發(fā)言另兩個發(fā)言人出自其余4家企業(yè);一類是3人全來自4家企業(yè). (2)以A,B兩所希望小學(xué)所得電腦數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)分類求解.,【解析】(1)選B.分兩類, 第一類:甲企業(yè)有1人發(fā)言,有2種情況, 另兩個發(fā)言人出自其余4家企業(yè),有6種情況,由分步乘法計(jì)數(shù)原理N1=26=12; 第二類:3人全來自4家企業(yè)

13、,有4種情況. 綜上可知,有N=N1+N2=12+4=16(種)情況.,(2)根據(jù)題意,先給A,B兩所希望小學(xué)分配電腦,若每個學(xué)校2臺,由于電腦型號相同,故只有1種情況,其次將剩余的2臺電腦分給其他3所小學(xué),若一所小學(xué)2臺,其他的沒有,有3種情況, 若2所小學(xué)各1臺,其他的一所小學(xué)沒有,有3種情況,共1(3+3)=6種情況.,若A,B兩所希望小學(xué)其中一所得3臺,另一所2臺,有2種情況,其次將剩余的1臺電腦分給其他3所小學(xué),有3種情況,共32=6種情況, 若給A,B兩所希望小學(xué)各分配3臺電腦,有1種情況, 若A,B兩所希望小學(xué)其中一所得4臺,另一所2臺,有2種情況, 綜上可得,共6+6+1+2=

14、15種不同的分配方案.,【方法總結(jié)】選(抽)取問題的解答策略 對于選(抽)取問題,一般帶有某些限制條件,其解答方法是: (1)當(dāng)數(shù)目不大時,可用枚舉法.為保證不重不漏,可用樹形圖法、框圖法及表格法進(jìn)行枚舉.,(2)當(dāng)數(shù)目較大時,符合條件的情況較多時,可用間接法計(jì)數(shù).但一般還是根據(jù)選(抽)順序分步,根據(jù)選(抽)元素特點(diǎn)分類,利用兩個計(jì)數(shù)原理進(jìn)行解決.,【鞏固訓(xùn)練】(1)設(shè)某班有男生25名,女生30名.現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽,共有多少種不同的選法? (2)用三只口袋裝小球,一只裝有5個白色小球,一只裝有6個黑色小球,另一只裝有7個紅色小球,若每次從中取兩個不同顏色的小球,共有多

15、少種不同的取法?,【解析】(1)第1步,從25名男生中選出1人,有25種不同的選法;第2步,從30名女生中選出1人,有30種不同的選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有N=3025=750種不同的選法.,(2)第一類辦法:取白球、黑球,共有N1=56=30種取法; 第二類辦法:取黑球、紅球,共有N2=67=42種取法; 第三類辦法:取紅球、白球,共有N3=75=35種取法. 由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有N=30+42+35=107種不同的取法.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】為舉行某活動招募了20名志愿者,他們 的編號分別是1號、2號、19號、20號.若要從中任意選取4人再按編號大小分成兩組去做一些預(yù)備服務(wù)工作,其中兩個編號較小的人在一組,兩個編號較大的在另一組.那么確保5號與14號入選并被分配到同一組的選取種數(shù)有多少?,【解題指南】解決問題的關(guān)鍵是分析出5號與14號分到一組對所選號碼的限制,再選取需要的號碼即可.,【解析】要“確保5號與14號入選并被分配到同一組”,則另外兩人的編號或都小于5或都大于