斐波那契數(shù)列及其性質(zhì)

1、裴波納契數(shù)列及其性質(zhì) 在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會遇到類似“數(shù)列”變化的一系列經(jīng)濟問題，裴波納契數(shù)列出現(xiàn)在我們生活中的方方面面，一些問題不僅可以用裴波納契 數(shù)列表示，而且本質(zhì)上就是裴波納契數(shù)列，可見裴波納契數(shù)列在很多數(shù)學(xué)分支都有很廣泛的應(yīng)用，因此研究裴波納契數(shù)列非常必要。本文通過探討裴波納契數(shù)列的性質(zhì)，進一步掌握數(shù)列的數(shù)字排列、增減變化、波動趨勢等數(shù)項之間的變化規(guī)律，繼而給出一系列與裴波納契數(shù)列相關(guān)問題的解決方案，特別是對中學(xué)數(shù)學(xué)教育中，如何讓學(xué)生巧妙解題具有啟發(fā)作用。1. 裴波納契數(shù)列的由來斐波那契，公元13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家，在他的著作算盤書中記載著這樣一個“兔子繁殖問題”：假定有一對大兔子，每

2、一個月可生下一對小兔子，并且生下的這一對小兔子兩個月后就具有繁殖能力。假如一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡，那么，從一對小兔子開始，一年后共有多少對兔子？問題的解答思路：將每個月的兔子總對數(shù)列出來即可（需考慮到每個月具有生殖能力的兔子的對數(shù)），如下：月 份12345678910111213小兔子數(shù)（對）1345589大兔子數(shù)（對）011235844兔子總數(shù)（對）11235844233所以一年后（即第13個月初），繁殖的兔子共有233對。仔細(xì)觀察，可以看出上面列出的兔子對數(shù)呈現(xiàn)出一個有趣的變化規(guī)律：即從第3個月起，每個月的兔子對數(shù)都是前兩個月的兔子對數(shù)之和，把這些數(shù)字按照相同的規(guī)律推算到無窮多項，就構(gòu)成了一列

3、數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，人們就把它稱為裴波納契數(shù)列，而將這個數(shù)列中的每一項稱為“裴波納契數(shù)”。2. 生活中常見的裴波納契數(shù)列數(shù)學(xué)模型:假如我們把設(shè)為裴波納契數(shù)列，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列是由遞推關(guān)系式：， 所給出的一個數(shù)列。從而，我們就可以輕而易舉地算出兩年，三年以后的兔子數(shù)。為了便于探討該數(shù)列具有的若干性質(zhì)和變化規(guī)律，我們首先給出幾個與裴波納契數(shù)列相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，然后對裴波納契數(shù)列展開討論。2.1 覆蓋問題例1 用的骨牌覆蓋的棋盤，問有多少種不同的覆蓋方法？解 設(shè)有種不同的覆蓋方法，將棋盤水平放置，考慮最后一個骨牌的放法：若垂直放置，則有種不同的覆蓋方法；若水平放置，則必須

4、與它并排放置另一塊骨牌，有種不同的覆蓋方法。于是，由加法原理得： ，其初值為，因此， 。例2 用和兩種骨牌覆蓋的棋盤，問有多少種不同的覆蓋方法？解 設(shè)覆蓋方法有種，考慮最后一塊骨牌：若是的，則有種覆蓋方法；若是的，則有種覆蓋方法。所以，其初值為，于是， 。2.2 爬樓梯問題例3 某人爬有個臺階的樓梯，一步可以邁一個或兩個臺階，問這個人有多少種不同的爬樓方法？解 設(shè)爬個臺階有種方法?？紤]最后一步：若最后一步邁一個臺階，則前個臺階有種方法；若最后一步邁兩個臺階，則前個臺階有種不同的方法。于是，由加法原理得：，易知其初值，從而 。2.3 0-1序列問題例4 由0和1組成的序列稱為0-1序列，序列中數(shù)

5、的個數(shù)稱為這個0-1序列的長度，若果0100011011是一個長度為10的0-1序列，求長為的0-1序列中任何兩個1不相鄰的序列的個數(shù)。解 設(shè)這樣的序列有個，考慮最后一個數(shù)，如果最后一位是0，則只要前位任何兩個1不相鄰即可，因此，滿足要求的序列有個。若最后一位是1，則倒數(shù)第二位是0，于是只要前位任何兩個1不相鄰即可，因此滿足要求的序列有個，由加法原理得：，由初值得，當(dāng)然也可以寫成 。例5 求長為的0-1序列中既不含有010也不含有101的0-1序列的個數(shù)。解 設(shè)這樣的序列有個，以0和1結(jié)尾的這樣的序列的個數(shù)分別用和表示。則。以0結(jié)尾的序列有如下兩種：（1）00 （2）110第一類中只要前位既無

6、010也無101即可，注意到前位是以0結(jié)尾的，所以有個這樣的序列；第二類中只要前位無010和101即可，因為前位是以1結(jié)尾的，故有個這樣的序列；于是有: -同樣，以1結(jié)尾的序列有如下兩種：（1）11 （2）001于是有： -由+得： 再由初值，得： 2.4 一個幾何上的例子例6 半徑為1的兩個圓, 外切，是它們的一條外公切線，依次作和、均相切，作和、 、均相切，作與、均相切，求的半徑的表達式。解 作、，過作的平行線分別交、于、,作于，則由，可得 .令，則且，故，從而. 3裴波納契數(shù)列的性質(zhì)3.1 基本性質(zhì)為了方便討論裴波納契數(shù)列具有的若干性質(zhì)和變化規(guī)律，本文首先從的通項公式入手，對裴波納契數(shù)列

7、展開討論.設(shè) -由裴波納契數(shù)列的遞推公式，可得： = 從而 再設(shè)，則有從而得 所以 -再利用，并將式展開得到： -其中將和比較可得數(shù)列的通公式，也就是我們所要探討的數(shù)列的通項公式：性質(zhì)1 裴波納契數(shù)列的通項公式:（n1）通過觀察，我們知道裴波納契數(shù)列中的每一項都是整數(shù)，但其通項卻含有有理數(shù)，因此可見裴波納契數(shù)列的與眾不同之處。利用裴波納契數(shù)列的遞推公式可以得到：性質(zhì)2 裴波納契數(shù)列的前n項和：證明 由，.可得：性質(zhì)3 裴波納契數(shù)列的奇數(shù)項和：證明 由，可得：性質(zhì)4 裴波納契數(shù)列的前n項平方和: 證明 由 ， 可得：利用數(shù)學(xué)歸納法還可以證明：性質(zhì)5 裴波納契數(shù)列的相鄰項乘積之和： 證明 對用數(shù)學(xué)

8、歸納法證明，當(dāng)時，等式顯然成立。假設(shè)時結(jié)論成立，即.現(xiàn)證時結(jié)論成立. =所以，對任意自然數(shù)結(jié)論都成立。性質(zhì)6 若連分?jǐn)?shù)，那么證明 由，有： 所以，利用的通項公式 可以證明下面的一些性質(zhì)：性質(zhì)7 證明 設(shè)，則 =所以：性質(zhì)8 證明 =而 =綜上所述： 性質(zhì)9 證明 =所以：性質(zhì)10 若，則 證明 =所以，用同樣的方法證明得到：性質(zhì)11 若，則性質(zhì)12 若，則性質(zhì)13 若, 則性質(zhì)14 若，則3.2 裴波納契數(shù)列與黃金分割數(shù)通過以上性質(zhì)的證明推導(dǎo)，我們可以發(fā)現(xiàn)裴波納契數(shù)列的一些基本性質(zhì)變化。那么，如果我們對裴波納契數(shù)列的前后兩項進行比較，而得到的新數(shù)列又有什么性質(zhì)呢？因此，我們對裴波納契數(shù)列進行延

9、伸，在深層次探討數(shù)列的極限存在性及其具有的性質(zhì)。這個問題的解決，可以為人們進一步討論該數(shù)列的規(guī)律提供一個重要依據(jù)。通過觀察數(shù)據(jù)：1我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列不是單調(diào)函數(shù)，但隨著的增大，裴波納契數(shù)列的前兩項與之比趨近于黃金數(shù)0.618。眾所周知，黃金數(shù)在自然界是一個奇妙的數(shù)字，比如人的肚臍是人體總長的黃金數(shù)分割點；某植物的葉子在莖上的排列也存在黃金分割問題；在藝術(shù)和建筑上，黃金數(shù)很有用，正因為如此，裴波納契數(shù)列的這個性質(zhì)顯然格外重要。性質(zhì)15 證明 利用裴波納契數(shù)列的通項公式，可知數(shù)列前后項之比的極限為。由上面的性質(zhì)可知，裴波納契數(shù)列相鄰兩項之比所形成的數(shù)列恰恰收斂于“黃金分割數(shù)”。這一命題揭示了裴波納契數(shù)列

10、與黃金分割的奇妙關(guān)系。 但如果把性質(zhì)15中的改為后，數(shù)列又有什么變化規(guī)律呢？通過推導(dǎo)，我們得到了：性質(zhì)16 設(shè)為裴波納契數(shù)列，則 數(shù)列為嚴(yán)格單調(diào)數(shù)列且有上界；數(shù)列為嚴(yán)格單調(diào)遞減數(shù)列且有下界.證明 = =利用性質(zhì)9，上式 故數(shù)列為嚴(yán)格單調(diào)數(shù)列.顯然，數(shù)列是一個單調(diào)數(shù)列，即所以，數(shù)列為嚴(yán)格單調(diào)數(shù)列且有上界.同理可證，數(shù)列為嚴(yán)格單調(diào)遞減數(shù)列且有下界.性質(zhì)17 數(shù)列有極限且等于黃金分割點率證明 我么只需證明數(shù)列與有極限且相等就可以了.事實上，有極限，設(shè)為； 單調(diào)也有極限設(shè)為。則有： ；。顯然且，從而可得，所以我們可得：，即數(shù)列有極限且等于。4 斐波那契數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用4.1 求解一元二次方程利用

11、裴波納契數(shù)列能快速求解一類特殊的一元二次方程根的代數(shù)式的值。例1 設(shè)， 是方程的兩實數(shù)根，不解方程，求 的值。 解 考慮利用根的定義降次，得 ：， 。通過這些計算，不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律： 同理，有 所以， 那么 例2 設(shè)， 是方程的兩實數(shù)根，且，不解方程，求的值。解 利用根的定義升次和降次 考慮到中右邊系數(shù)為負(fù)數(shù)，給計算帶來不便，而由，得： ，再由，得：， ， 故 又 且， 則 。所以 。4.2 幾類具有代表性的問題求解4.2.1比較數(shù)的大小例3 已知:，那么與的大小關(guān)系是： 不能確定解 4.2.2 化簡根式例4 化簡解 設(shè)，則 ，所以 ，因而 ，故 4.2.3 求值 例5 求的值。解 那么 =4.2

12、.4 證明等式例6 若為非負(fù)整數(shù)，那么 證明 令，則 =又，則有 = 所以 4.2.5 裴波納契數(shù)生成勾股數(shù)由性質(zhì)10，11，當(dāng)時有： = 得：對任意給定的，由上式可導(dǎo)出勾股公式，當(dāng)為奇數(shù)時有 ；當(dāng)為偶數(shù)時有 。由此我們的得出五個連續(xù)的斐氏數(shù)生成的勾股數(shù)組公式，我們還可利用性質(zhì)16得出五個非連續(xù)的斐氏數(shù)生成的勾股數(shù)組。事實上，在中令，得： 故 此式非連續(xù)的斐氏數(shù)生成的勾股數(shù)組公式。4.2.6 巧證競賽題例7 求證是正整數(shù)時，大于的最小整數(shù)能被整除（1987年蘇州高中競賽題）。證明 設(shè)，則有 = 故是含有的整數(shù)。又由，有。 故是大于的最小整數(shù)而又能被整除。例8 數(shù)列，求證： 中任意一項都是正整數(shù)

13、； 為完全平方數(shù)。（2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）分析：初看該數(shù)列，頗有些奇特，但易知,這些數(shù)字似曾相識，但仔細(xì)想想，正是數(shù)列中的一些項，就是所謂的斐氏數(shù)，進一步我們知道，由此猜測。下面將證明這個關(guān)系式。證明 當(dāng)時，顯然有； 假設(shè)當(dāng)時，有，下證當(dāng)時，也有：由 ，知： 從而 =綜上所述，對一切都成立，由此可知中任意一項均為正整數(shù)。對于第問，由，得 ，進一步有：，所以：而又因 =因此為完全平方數(shù)。例9 設(shè)，其中 和時互質(zhì)的自然數(shù)，而等式左邊含有條分?jǐn)?shù)線，試計算的值（第14屆全俄數(shù)學(xué)競賽）。解 由性質(zhì)6，我們有，知 ，設(shè)上述含有條分?jǐn)?shù)線的繁分?jǐn)?shù)的值為，顯然，于是 =例10 確定 的最大值，其中，為整

14、數(shù)，且， （第22屆IMO）。解 若的一組解,那么從而，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。因此，在時，。由于，如果是滿足上述條件的一組解，并且，那么也是滿足上述條件的一組解，等等。由于滿足上述條件的解有限，因此進行有限步后一定可得到；反過來，由解可逐步得到滿足上述條件的全部解（其操作過程為由得出）。不難看出，這些組成的斐波那契數(shù)（每相鄰兩個是一組解）：因此的最大值為。例11 現(xiàn)有長為的鐵絲，要截成段，每段的長為不小于的整數(shù)，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，試求的最大值，此時有幾種方法將該鐵絲截成滿足條件的段（第17屆江蘇省初三數(shù)學(xué)競賽題）。解 欲使盡可能的大，則每段長應(yīng)該盡可能的小，又由每段的長

15、不小于，所以應(yīng)從1開始分截，假定含有1的起始三段長為，且，為了使這三段都不能構(gòu)成三角形，則，又盡可能的小，故取，于是這段可分截如下：，這就是裴波納契數(shù)列，又因為 ，而 ，故的最大值為，將長為的鐵絲分成滿足條件的段共有如下種方式： 1、1、2、3、5、8、13、21、35、61 1、1、2、3、5、8、13、21、36、60 1、1、2、3、5、8、13、21、37、59 1、1、2、3、5、8、13、21、34、62 1、1、2、3、5、8、13、22、35、60 1、1、2、3、5、8、13、22、36、59 1、1、2、3、5、8、14、22、36、58例12 在元旦春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備利用超大屏幕，反復(fù)播放一個廣告節(jié)目，這個廣告節(jié)目每次播放的時間是10秒鐘，如果開始只有一段10秒的錄像帶母帶，若用兩盤空白錄像帶在一臺錄音機上相互轉(zhuǎn)錄，問應(yīng)如何操作才能用最少的錄制編數(shù)錄制一盤可以播放一小時的廣告節(jié)目？（2002年湖北省四通杯數(shù)學(xué)競賽