利用基本不等式求最值的類(lèi)型及方法

1、利用基本不等式求最值的類(lèi)型及方法一、幾個(gè)重要的基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，“=”號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，“=”號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí),“=”號(hào)成立； ,當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí),“=”號(hào)成立.注： 注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一個(gè)重要的不等式鏈：。二、函數(shù)圖象及性質(zhì)(1)函數(shù)圖象如圖：(2)函數(shù)性質(zhì)：值域：；單調(diào)遞增區(qū)間：，；單調(diào)遞減區(qū)間：，.三、用均值不等式求最值的常見(jiàn)類(lèi)型類(lèi)型：求幾個(gè)正數(shù)和的最小值。例1、求函數(shù)的最小值。解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是。評(píng)析：利用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)和的最小值時(shí)，關(guān)

2、鍵在于構(gòu)造條件，使其積為常數(shù)。通常要通過(guò)添加常數(shù)、拆項(xiàng)（常常是拆底次的式子）等方式進(jìn)行構(gòu)造。類(lèi)型：求幾個(gè)正數(shù)積的最大值。例2、求下列函數(shù)的最大值： 解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最大值是1。，則，欲求y的最大值，可先求的最大值。,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí) “=”號(hào)成立，故此函數(shù)最大值是。評(píng)析：利用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)積的最大值，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其和為常數(shù)。通常要通過(guò)乘以或除以常數(shù)、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進(jìn)行構(gòu)造。類(lèi)型：用均值不等式求最值等號(hào)不成立。例3、若x、y，求的最小值。解法一：（單調(diào)性法）由函數(shù)圖象及性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)。證明：任取且，則，則，即在上是減函

3、數(shù)。故當(dāng)時(shí)，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，則有，易知當(dāng)時(shí)，且單調(diào)遞減，則在上也是減函數(shù)，即在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上有最小值5。解法三：（拆分法），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是5。評(píng)析：求解此類(lèi)問(wèn)題，要注意靈活選取方法，特別是單調(diào)性法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡(jiǎn)潔實(shí)用得方法。類(lèi)型：條件最值問(wèn)題。例4、已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值。解法一：（利用均值不等式）,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是18。解法二：（消元法）由得，由，則。當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是18。解法三：（三角換元法）令則有則：，易求得時(shí)“=”號(hào)成立，故最小值是18。評(píng)析：此類(lèi)問(wèn)

4、題是學(xué)生求解易錯(cuò)得一類(lèi)題目，解法一學(xué)生普遍有這樣一種錯(cuò)誤的求解方法： 。原因就是等號(hào)成立的條件不一致。類(lèi)型：利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問(wèn)題。例5、已知正數(shù)滿足，試求、的范圍。解法一：由，則，即解得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”號(hào)，故的取值范圍是。又，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”號(hào)，故的取值范圍是。解法二：由，知，則：，由，則：，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時(shí)取“=”號(hào)，故的取值范圍是。，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時(shí)取“=”號(hào)，故的取值范圍是。評(píng)析：解法一具有普遍性，而且簡(jiǎn)潔實(shí)用，易于掌握，解法二要求掌握構(gòu)造的技巧。四、均值不等式易錯(cuò)例析：例1. 求函數(shù)的最值。錯(cuò)解：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)。所以當(dāng)時(shí)，y的最小值為25，此函數(shù)沒(méi)

5、有最大值。分析：上述解題過(guò)程中應(yīng)用了均值不等式，卻忽略了應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)的條件導(dǎo)致錯(cuò)誤。因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋皂殞?duì)的正負(fù)加以分類(lèi)討論。正解：1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)。所以當(dāng)時(shí)， 2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，.例2. 當(dāng)時(shí)，求的最小值。錯(cuò)解：因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，。分析：用均值不等式求“和”或“積”的最值時(shí)，必須分別滿足“積為定值”或“和為定值”，而上述解法中與的積不是定值，導(dǎo)致錯(cuò)誤。正解：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，。例3. 求的最小值。錯(cuò)解：因?yàn)椋苑治觯汉鲆暳巳∽钚≈禃r(shí)須成立的條件，而此式化解得，無(wú)解，所以原函數(shù)取不到最小值。正解：令，則又因?yàn)闀r(shí)，是

6、遞增的。所以當(dāng)，即時(shí)，。例4.已知且，求的最小值.錯(cuò)解： ,的最小值為.分析：解題時(shí)兩次運(yùn)用均值不等式，但取等號(hào)條件分別為和，而這兩個(gè)式子不能同時(shí)成立，故取不到最小值.正解：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立. 的最小值為.綜上所述，應(yīng)用均值不等式求最值要注意： 一要正：各項(xiàng)或各因式必須為正數(shù)；二可定：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結(jié)構(gòu)，如果找不出“定值”的條件用這個(gè)定理，求最值就會(huì)出錯(cuò)；三能等：要保證等號(hào)確能成立，如果等號(hào)不能成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：湊項(xiàng)例1：已知，求函數(shù)的最大值。解：因，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又不是常數(shù)，所以對(duì)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，當(dāng)且

7、僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，。技巧二：湊系數(shù)例2. 當(dāng)時(shí)，求的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，注意到為定值，故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即x2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x2時(shí)，的最大值為8。技巧三： 分離例3. 求的值域。解：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng),即時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”號(hào)）。技巧四：換元解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。當(dāng),即t=時(shí),（當(dāng)t=2即x1時(shí)取“”號(hào)）。技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椤＜记闪赫w代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。2：已知，且，求的最小值。解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，又，可得時(shí)， 。鞏固練習(xí)：1、已知：且，則的最大值為( )(A) (B) (C) (D)2、若，且恒成立，則a的最小值是( )(A) (B) (C)2 (D)13、已知下列不等式：；.其中正確的個(gè)數(shù)是( )(A)0個(gè) (B)1個(gè) (C)2個(gè) (D)3個(gè)4、設(shè)