數學物理方法綜合試題及答案

1、.復變函數與積分變換綜合試題（一）一、單項選擇題( 本大題共10 小題，每小題2 分，共 20 分 )在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1設 zcosi ，則（）A Imz0B RezC z0D argz2復數 z3(cos,i sin) 的三角表示式為（）55A 3(cos 4, i sin 4)B 3(cos 4,- i sin 4)C 3(cos 4,i sin 4 )555555D443(cos, - i sin)553設 C 為正向圓周 |z|=1，則積分dz 等于（）c| z |A 0B 2 iC 2D 24設

2、函數 fzze d，則 fz等于（）0A zezez1B zezez1 C zezez1 D zezez1解答：5 z1 是函數cot z的（）(z1) 4A 3 階極點B 4 階極點C 5 階極點D 6 階極點6下列映射中，把角形域0arg z保角映射成單位圓內部 |w|0 映射為上半平面Im0B. 將上半平面 Im z 0 映射為單位圓 | |1C.將單位圓 |z|0D.將單位圓 |z|1映射為單位圓 | |0;（ 4） w f (z) 把 D 映射成 G。3 / 8.y 2 y y 127利用拉氏變換解常微分方程初值問題：0, y (0)1y(0)4 / 8.綜合試題（一）答案一、 1.

3、A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A1 (1i二、 11 zi3), 或 e 312 e13 0214 4 i153i, 或 2 i3cos16633三、17解：因在 C 內 f(z)e z有二階級點 z=I ，所以(z - i) 2 (z3i) 2?cf ( z)dz2i limd ( z - i ) 2 f ( z)2i lime z-2e z(-1 2 i )1! z idzz i( z 3i ) 2( z 3i ) 31618.解：因為 n 為正整數，所以f(z)在整個 z 平面上可導 .f (z) n(z1)n1.19解 1：u2x2y， u2

4、x - 2y ，xy由 C R條件，有vx ,v- u ，yxxyvv dy(2x2y)dy2xyy 2(x) 。再由xu2y (x)-2x2y-u ，xy得 (x)-2x，于是(x)-x 2C ，v2xyy2 - x 2C 。由v(0,0)1,得。C1故 v2xyy 2 - x 21解 2：(x, y )vvv(x y)(0,0)dxydyCx(x, y)(2y - 2x)dx(2x2y)dyC(0,0)-x 22xyy 2C以下同解 1。5 / 8.20解 1：z z dz12Re zdz2cos2i (cosi sin )dc2c-蜒| z |4i (1cos2 )d4i 。0zzdz-

5、ii2iei d2e2e解 2： ?c | z | | z |20222i (20) 4i 。21解：因為f ( z) e-z2(- z2 )n(-1)n2 n)，（ 2 分）n 0n!z(| zn 0 n!所以由冪級數在收斂圓內逐項求積性質，得z(-1)nz2 n 1f ( z)f ( )d(| z)0n!2n1n 0122. 解：函數 f (z)z，而且在 0 ze z 有孤立奇點0 與式：內有如下Laurent展開e1ez1(1z1 z21 z3)(111 11 1)zezz2!3!z2! z23! z3(111111) 12!2! 3!3!4!z11故 c 1z,0Re s e zk0

6、 k!( k1)z11Re s ez ,k0 k! (k1)23. 解：Cn 1lim n 1 1limnCnnn故收斂半徑 R=1, 由逐項積分性質，有：z( 1)n znz( 1)n nzn -1dz0n 11 zn 1所以( 1)n nzn-1( z )12 , z 1n 11 z(1 z)6 / 8.于是有：( 1)n 1 nznz( 1)n n zn 1zz)2z 1n 1n1(124. 解：f ( z)6sin z3z3( z66)6sin z3z96 z36( z31 z91 z15L )z96z33!5!故 z=0 為 f(z) 的 15 級零點四、25.解：在上半平面內，f(

7、z)eiz有一階極點 z=i 和 z=3i 。(z 21)(z 29)QI1( x2cos x9)dx1 Re(x2eixdx2 -1)(x22-1)(x29)1 Re 2iResf ( z),i2 i Resf ( z),3 i，21Res f(z), i，16eiRes f(z),3i-1，3i48eI48e3(3e 2 - 1) 。26.解：（ 1）由zi2+1,z2=-1 。解得交點 z1i2z設 w1z1，則它把 D 映射成 W平面上的43D1：arg w1z114- i（ 2）設 w2 e 4 w1 ，則它把 D1 映射成W2 平面上的第一象限D2：0arg w2。2（ 3）設 ww 22 ，則它把 D2 映射成 W平面的上半平面G： Imw0。-i4z -1 2z - 12（ 4） w(ez） i()。1z1(Z)z1(W1)w1iz14-1017 / 80-i(W)(W2).27. 設 F ( p) L y t，對方程兩邊取拉氏變換，有