余弦定理公式大全-高中余弦定理公式大全;

1、4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)1三角形基本公式：（1）內(nèi)角和定理：a+b+c=180，sin(a+b)=sinc, cos(a+b)= -cosc,cos=sin, sin=cos（2）面積公式：s=absinc=bcsina=casinbs= pr = (其中p=, r為內(nèi)切圓半徑)（3）射影定理：a = bcosc + ccosb；b = acosc + ccosa；c = acosb + bcosa2正弦定理：證明：由三角形面積得畫出三角形的外接圓及直徑易得：3余弦定理：a2=b2+c2-2bccosa, ； 證明：如圖abc中，當(dāng)a、b是鈍角時(shí)，類似可證。正弦、余弦定理

2、可用向量方法證明。要掌握正弦定理、余弦定理及其變形，結(jié)合三角公式，能解有關(guān)三角形中的問(wèn)題4利用正弦定理，可以解決以下兩類問(wèn)題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角；有三種情況：bsinaab時(shí)有兩解；a=bsina或a=b時(shí)有 解；absina時(shí)無(wú)解。5利用余弦定理，可以解決以下兩類問(wèn)題：（1）已知三邊，求三角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角。6熟練掌握實(shí)際問(wèn)題向解斜三角形類型的轉(zhuǎn)化，能在應(yīng)用題中抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角形的方法；提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力練習(xí)題1(2006山東)在中，角的對(duì)邊

3、分別為，已知，則 （ ）a.1b.2c.d.2在abc中，ab=3，bc=，ac=4，則邊ac上的高為（ ）a. b. c. d.3（2002年上海）在abc中，若2cosbsina=sinc，則abc的形狀一定是a.等腰直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d.等邊三角形4. (2006全國(guó))用長(zhǎng)度分別為2、3、4、5、6（單位：）的5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為 ( )a. b. c. d. 5.（2006全國(guó)）已知的三個(gè)內(nèi)角a、b、c成等差數(shù)列，且ab=1，bc=4，則邊bc上的中線ad的長(zhǎng)為_.6.(2006春上海)在中，已知，三角形面

4、積為12，則 .答案:1-4.bbcb; 3.由2cosbsina=sinc得a=c，a=b.4.組成邊長(zhǎng)6,7,7時(shí)面積最大; 5. ; 6. 四、經(jīng)典例題【例1】(2006天津)如圖，在中，（1）求的值；（2）求的值. 解（）： 由余弦定理， （）解：由，且得由正弦定理: 解得。所以，。由倍角公式，且，故.解讀思想：已知兩邊夾角,用余弦定理,由三角函數(shù)值求三角函數(shù)值時(shí)要注意“三角形內(nèi)角”的限制.【例2】在abc中，已知a=,b=,b=45，求a,c及邊c解：由正弦定理得：sina=,因?yàn)閎=4590且ba,所以有兩解a=60或a=120(1)當(dāng)a=60時(shí),c=180-(a+b)=75， c

5、=,(2)當(dāng)a=120時(shí),c=180-(a+b)=15 ，c=解讀思想：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形問(wèn)題，用正弦定理求解，必需注意解的情況的討論【例3】(2006上海)如圖，當(dāng)甲船位于a處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的b處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救 甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里c處的乙船，試問(wèn)乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往b處救援（角度精確到）？解 連接bc,由余弦定理得_10_a_?_20_c_bbc2=202+10222010cos120=700 于是,bc=10 30 , sinacb=, acb90 acb=41乙船應(yīng)朝北偏東71方向沿直線

6、前往b處救援 點(diǎn)撥糾正:把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解斜三角形問(wèn)題，在問(wèn)題中構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角形的方法；【例4】已知o的半徑為r，在它的內(nèi)接三角形abc中，有成立，求abc面積s的最大值解：由已知條件得即有 ，又 當(dāng)時(shí), 思路方法:1.邊角互化是解三角形問(wèn)題常用的手段一般有兩種思路：一是邊化角；二是角化邊。2.三角形中的三角變換，應(yīng)靈活運(yùn)用正、余弦定理在求值時(shí)，要利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)【研討.欣賞】（2006江西）如圖,已知是邊長(zhǎng)為的正三角形, 、分別是邊、上的點(diǎn),線段經(jīng)過(guò)的中心.設(shè).(1) 試將、的面積(分別記為與)表示為的函數(shù);(2) 求的最大值與最小值.解: (1)因?yàn)闉檫?/p>

7、長(zhǎng)為的正三角形的中心, 所以 由正弦定理 因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),的最大值; 當(dāng)時(shí), 的最小值.提煉總結(jié)1掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理；2利用正弦定理，可以解決以下兩類問(wèn)題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）；3.利用余弦定理，可以解決以下兩類問(wèn)題：（1） 已知三邊，求三角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角。4邊角互化是解三角形的重要手段 4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 【選擇題】1.（2004浙江）在abc中，“a30”是“sina”的 ( )a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充分

8、必要條件d.既不充分也不必要條件2.（2004全國(guó)）abc中，a、b、c分別為a、b、c的對(duì)邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，b=30，abc的面積為，那么b等于 ( )a.b.1+c.d.2+3.下列條件中，abc是銳角三角形的是 ( )a.sina+cosa=b.0c.tana+tanb+tanc0d.b=3，c=3，b=304.(2006全國(guó))的內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則 ( )a. b. c. d. 【填空題】5.（2004春上海）在中，分別是、所對(duì)的邊。若， 則_6.在銳角abc中，邊長(zhǎng)a=1，b=2，則邊長(zhǎng)c的取值范圍是_.練習(xí)簡(jiǎn)答：1-4.b

9、bcb; 1.在abc中，a300sina1sina；sina30a150a30答案：b2. 2b=a+c.平方得a2+c2=4b22ac.由s=acsin30=ac=，得ac=6.a2+c2=4b212.得cosb=，解得b=1+.答案：b3.由tana+tanb+tanc=tanatanbtanc0，a、b、c都為銳角.答案：c5.2; 6.若c最大，由cosc0.得c.又cba=1，1c.【解答題】7.（2004春北京）在abc中，a、b、c分別是a、b、c的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2=acbc，求a的大小及的值.剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求a，需找a

10、與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.解法一：a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac.又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在abc中，由余弦定理得cosa=，a=60.在abc中，由正弦定理得sinb=，b2=ac，a=60，=sin60=.解法二：在abc中，由面積公式得bcsina=acsinb.b2=ac，a=60，bcsina=b2sinb.=sina=.評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理.8.（2005春北京）在abc中，sina+cosa=，ac=2，ab=3，求tana的值和abc的面積.

11、解法一：sina+cosa=cos（a45）=，cos（a45）=.又0a180，a45=60，a=105.tana=tan（45+60）=2.sina=sin105=sin（45+60）=sin45cos60+cos45sin60=.sabc=acabsina=23=（+）.解法二：sina+cosa=，（sina+cosa）2=.2sinacosa=.0a180，sina0，cosa0.90a180.（sinacosa）2=12sinacosa=，sinacosa=.+得sina=.得cosa=.tana=2.（以下同解法一）9. （2004全國(guó)）已知銳角abc中，sin（a+b）=，si

12、n（ab）=.（1）求證：tana=2tanb；（2）設(shè)ab=3，求ab邊上的高.剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）.（1）證明：sin（a+b）=，sin（ab）=，=2.tana=2tanb.（2）解：a+b，sin（a+b）=.tan（a+b）=，即=.將tana=2tanb代入上式整理得2tan2b4tanb1=0，解得tanb=（負(fù)值舍去）.得tanb=，tana=2tanb=2+.設(shè)ab邊上的高為cd，則ab=ad+db=+=.由ab=3得cd=2+，所以ab邊上的高為2+.評(píng)述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計(jì)算能力.10. 在abc中，sina=，判斷這個(gè)三角形的形狀.分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可由三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定.采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”.解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以,化簡(jiǎn)得a2=b2+c2.所以abc是直角三角形.評(píng)述：恒等變形是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，變形的方向是關(guān)鍵.若考慮三內(nèi)角的關(guān)系，本題可以從已知條件推出cosa=0.【探索題】已知a、b、c是abc的三個(gè)內(nèi)角，y=cota+.（1）若任意交換兩個(gè)角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論.（2）求y的最小值.解：（1）y=cota+=cot a+=cot a+=cota+co