函數(shù)知識講解

1、.函數(shù)【學習目標】1知道現(xiàn)實生活中存在變量和常量，變量在變化的過程中有其固有的范圍（即變量的取值范圍）；2能初步理解函數(shù)的概念；能初步掌握確定常見簡單函數(shù)的自變量取值范圍的基本方法；給出自變量的一個值，會求出相應的函數(shù)值3對函數(shù)關系的表示法（如解析法、列表法、圖象法）有初步認識4. 理解函數(shù)圖象上的點的坐標與其解析式之間的關系，會判斷一個點是否在函數(shù)的圖象上，明確交點坐標反映到函數(shù)上的含義.5. 初步理解函數(shù)的圖象的概念，掌握用“描點法”畫一個函數(shù)的圖象的一般步驟，對已知圖象能讀圖、識圖，從圖象解釋函數(shù)變化的關系【要點梳理】要點一、變量、常量的概念在某一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變

2、量.數(shù)值保持不變的量叫做常量.要點詮釋：一般地，常量是不發(fā)生變化的量，變量是發(fā)生變化的量，這些都是針對某個變化過程而言的.例如，速度60千米/時是常量，時間和里程為變量.要點二、函數(shù)的定義一般地，設在一個變化過程中有兩個變量與，如果對于在它允許取值范圍內(nèi)的每一個值，都有唯一確定的值與其對應，那么就說 是自變量，是的函數(shù).要點詮釋：對于函數(shù)的定義，應從以下幾個方面去理解： 前提：必須是在某一運動變化過程中，有兩個變化的量.（1）函數(shù)的實質(zhì)，揭示了兩個變量之間的對應關系；（2）對于自變量的取值，必須要使代數(shù)式有實際意義；（3）判斷兩個變量之間是否有函數(shù)關系，要看對于允許取的每一個值，是否都有唯一確

3、定的值與它相對應.（4）兩個函數(shù)是同一函數(shù)至少具備兩個條件：函數(shù)關系式相同（或變形后相同）；自變量的取值范圍相同.否則，就不是相同的函數(shù).而其中函數(shù)關系式相同與否比較容易注意到，自變量的取值范圍有時容易忽視，這點應注意.要點三、函數(shù)值是的函數(shù)，如果當時，那么叫做當自變量為時的函數(shù)值.要點詮釋：對于每個確定的自變量值，函數(shù)值是唯一的，但反過來，可以不唯一，即一個函數(shù)值對應的自變量可以是多個.比如：中，當函數(shù)值為4時，自變量的值為2.要點四、自變量取值范圍的確定使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體實數(shù)叫自變量的取值范圍.要點詮釋：自變量的取值范圍的確定方法：首先，要考慮自變量的取值必須使解析式有意義：

4、 （1）當解析式是整式時，自變量的取值范圍是全體實數(shù)；（2）當解析式是分式時，自變量的取值范圍是使分母不為零的實數(shù)；（3）當解析式是二次根式時，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)不小于零的實數(shù)；（4）當解析式中含有零指數(shù)冪或負整數(shù)指數(shù)冪時，自變量的取值應使相應的底數(shù)不為零；（5）當解析式表示實際問題時，自變量的取值必須使實際問題有意義.要點五、函數(shù)的幾種表達方式：變量間的單值對應關系有多種表示方法，常見的有以下三種：（1）解析式法：用數(shù)學式子表示函數(shù)關系的方法叫做解析式.其中的等式叫做函數(shù)表達式（或函數(shù)解析式）.（2）列表法：通過列出自變量的值與對應函數(shù)值的表格來表示函數(shù)關系的方法叫做列表法.（3）

5、圖象法：用圖象來表示兩個變量間的函數(shù)關系的方法.要點詮釋：函數(shù)的三種表示方法各有不同的長處.解析式法能揭示出兩個變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，但較抽象，不是所有的函數(shù)都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自變量和函數(shù)值的對應值，這會對某些特定的數(shù)值帶來一目了然的效果，例如火車的時刻表，平方表等；圖象法可以直觀形象地反映函數(shù)的變化趨勢，而且對于一些無法用解析式表達的函數(shù)，圖象可以充當重要角色.要點六、函數(shù)的圖象一般的，對于一個函數(shù)，如果把自變量x與函數(shù)y的每對對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應的點，這些點所組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.由函數(shù)表達式畫圖象，一般按下列步驟進行：1.

6、列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應值.2. 描點：以表中各組對應值為坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應的點.3. 連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線一次連接起來. 描出的點越多，描繪的圖象誤差越小.有時不能把所有的點都描出，就用平滑的曲線連接畫出的點，從而得到表示這個函數(shù)關系的近似圖象.要點詮釋：由函數(shù)解析式畫出圖象的一般步驟：列表、描點、連線.列表時，自變量的取值范圍應注意兼顧原則，既要使自變量的取值有一定的代表性，又不至于使自變量或?qū)暮瘮?shù)值太大或太小，以便于描點和全面反映圖象情況.【典型例題】類型一、變量與函數(shù)1、下列等式中，是的函數(shù)有（ ） A .1個 B.2個 C.

7、3個 D.4個【答案】C；【解析】要判斷是否為函數(shù)，需判斷兩個變量是否滿足函數(shù)的定義.對于 當取2，有兩個值和它對應，對于，當取2，有兩個值2和它對應，所以這兩個式子不滿足函數(shù)的定義的要求：都有唯一確定的值與對應，所以不是函數(shù)，其余三個式子滿足函數(shù)的定義，故選C.【總結(jié)升華】在一個變化過程中，如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說是自變量，是的函數(shù).抓住函數(shù)定義中的關鍵詞語“都有唯一確定的值”，與之間的對應，可以是“一對一”，也可以是“多對一”，不能是“一對多”.舉一反三：【變式】下列函數(shù)中與表示同一函數(shù)的是（ ）A. B. C. D.【答案】D；提

8、示：表示同一函數(shù)，自變量的取值要相同，化簡后的解析式要相同.2、（2016南寧）下列各曲線中表示y是x的函數(shù)的是（） A. B. C. D.【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的意義求解即可求出答案【答案】 D；【解析】根據(jù)函數(shù)的意義可知：對于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對應，故D正確【總結(jié)升華】在函數(shù)概念中注意兩點：有兩個變量，其中一個變量每取一個確定的值，另一個變量就有唯一的一個值與其對應類型二、函數(shù)解析式3、求出下列函數(shù)中自變量的取值范圍（1）（2）（3）（4）（5）（6）【思路點撥】自變量的范圍，是使函數(shù)有意義的的值，大致是開平方時，被開方數(shù)是非負數(shù)，分式的分母不為零等等.【答案與解析】 解

9、：（1），為任何實數(shù)，函數(shù)都有意義；（2），要使函數(shù)有意義，需230，即；（3），要使函數(shù)有意義，需230，即；（4），要使函數(shù)有意義，需210，即；（5），為任何實數(shù)，函數(shù)都有意義；（6），要使函數(shù)有意義，需，即3且2.【總結(jié)升華】自變量的取值范圍必須使整個解析式有意義.4、如圖所示，在ABC中，C90，AC6，BC10，設P為BC上任一點，點P不與點B、C重合，且CP若表示APB的面積 (1)求與之間的函數(shù)關系式； (2)求自變量的取值范圍【答案與解析】 解： (1)因為AC6，C90，BC10，所以又，所以，即(2)因為點P不與點B、C重合，BC10，所以010【總結(jié)升華】利用三角形面積

10、公式找到函數(shù)關系式，要把握點P是一動點這個規(guī)律，結(jié)合圖形觀察到點P移動到特殊點，便可求出自變量的取值范圍舉一反三：【變式】 小明在勞動技術課中要制作一個周長為80的等腰三角形請你寫出底邊長()與腰長()的函數(shù)關系式，并求自變量的取值范圍【答案】解：由題意得，80,所以，由于三角形兩邊之和大于第三邊，且邊長大于0，所以，解得所以.類型三、函數(shù)值5、 若與的關系式為，當時，的值為（ ） A5 B10 C4 D4【思路點撥】把代入關系式可求得函數(shù)值.【答案】C；【解析】.【總結(jié)升華】是的函數(shù)，如果當時，那么叫做當自變量為時的函數(shù)值.舉一反三：【變式】（2015春撫州期末）為了解某種品牌小汽車的耗油量

11、，我們對這種車在高速公路上做了耗油試驗，并把試驗的數(shù)據(jù)記錄下來，制成下表：汽車行駛時間t（h）0123油箱剩余油量Q（L）100948882（1）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，請你寫出Q與t的關系式；（2）汽車行駛5h后，油箱中的剩余油量是多少？（3）該品牌汽車的油箱加滿50L，若以100km/h的速度勻速行駛，該車最多能行駛多遠？【答案】解：（1）Q=508t；（2）當t=5時，Q=5085=10，答：汽車行駛5h后，油箱中的剩余油量是10L；（3）當Q=0時，0=508t 8t=50，解得：t=，100=625km答：該車最多能行駛625km；類型四、函數(shù)的圖象6、（2015春東平縣校級期末）陳杰騎自行

12、車去上學，當他以往常的速度騎了一段路時，忽然想起要買某本書，于是又折回到剛經(jīng)過的一家書店，買到書后繼續(xù)趕去學校以下是他本次上學所用的路程與時間的關系示意圖根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題：（1）陳杰家到學校的距離是多少米？書店到學校的距離是多少米？（2）陳杰在書店停留了多少分鐘？本次上學途中，陳杰一共行駛了多少米？（3）在整個上學的途中哪個時間段陳杰騎車速度最快？最快的速度是多少米？（4）如果陳杰不買書，以往常的速度去學校，需要多少分鐘？本次上學比往常多用多少分鐘？【思路點撥】（1）根據(jù)函數(shù)圖象的縱坐標，可得答案；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的橫坐標，可得到達書店時間，離開書店時間，根據(jù)有理數(shù)的減法，可得

13、答案，根據(jù)函數(shù)圖象的縱坐標，可得相應的路程，根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的縱坐標，可得路程，根據(jù)函數(shù)圖象的橫坐標，可得時間，根據(jù)路程與時間的關系，可得速度；（4）根據(jù)路程、速度，即可得到時間【答案與解析】解：（1）陳杰家到學校的距離是1500米，1500600=900（米）答：書店到學校的距離是900米（2）128=4（分鐘）答：陳杰在書店停留了4分鐘1200+（1200600）+（1500600）=2700（米）答：本次上學途中，陳杰一共行駛了2700米（3）（1500600）（1412）=450米/分答：在整個上學的途中12分鐘到14分鐘時段陳杰騎車速度最快，最快的速度是450米/分；（4）1500（12006）=7.5（分鐘），147.5=6.5（分鐘）答：陳杰以往常的速度去學校，需要7.5分鐘，本次上學比往常多用6.5分鐘【總結(jié)升華】本題考查利用函數(shù)的圖象解決實際問題，正確理解函數(shù)圖象橫縱坐標表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象得到函數(shù)問題的相應解決需注意計算單位的統(tǒng)一舉一反三：【變式】一列貨運火車從南京站出發(fā)，勻加速行駛一段時間后開始勻速行駛，過