直角三角形-知識講解

1、直角三角形（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解和掌握判定直角三角形全等的一種特殊方法“斜邊，直角邊”（即“HL”）.2能熟練地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定兩個直角三角形全等. 3. 能應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)解題.【要點梳理】要點一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形就全等了。這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要點二、判定直角三角形全等的特殊方法斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL

2、”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.要點詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了. （2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.要點三、直角三角形的性質(zhì)定理1：直角三角形的兩個銳角互余.定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.推論1：在直角三角形中，如果一

3、個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30. 要點詮釋：這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.【典型例題】類型一、直角三角形全等的判定“HL”1、 判斷滿足下列條件的兩個直角三角形是否全等，不全等的畫“”，全等的注明理由：（1）一個銳角和這個角的對邊對應(yīng)相等；（ ）（2）一個銳角和斜邊對應(yīng)相等； （ ）（3）兩直角邊對應(yīng)相等； （ ）（4）一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等 （ ）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，

4、“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解題意，畫出圖形，根據(jù)全等三角形的判定來判斷.【總結(jié)升華】直角三角形全等可用的判定方法有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.舉一反三：【變式】下列說法中，正確的畫“”；錯誤的畫“”，并舉出反例畫出圖形.（1）一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（ ）（2）有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ ）（3）有兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ ）【答案】（1）；（2）；在ABC和DBC中，ABDB，AE和DF是其中一邊上的高，AEDF（3）. 在ABC和ABD中，ABAB，ADAC，AH為

5、第三邊上的高，2、已知：如圖，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF.求證：ABDC.【答案與解析】證明：DEAC，BFAC， 在RtADE與RtCBF中 RtADERtCBF （HL） AECF，DEBFAEEFCFEF，即AFCE 在RtCDE與RtABF中， RtCDERtABF（SAS） DCEBAF ABDC.【總結(jié)升華】從已知條件只能先證出RtADERtCBF，從結(jié)論又需證RtCDERtABF.我們可以從已知和結(jié)論向中間推進(jìn)，證出題目.3、如圖 ABAC，BDAC于D，CEAB于E，BD、CE相交于F求證：AF平分BAC 【答案與解析】證明：在RtABD與RtACE中RtABDRt

6、ACE(AAS)ADAE(全等三角形對應(yīng)邊相等)在RtADF與RtAEF中RtADFRtAEF(HL)DAFEAF(全等三角形對應(yīng)角相等)AF平分BAC(角平分線的定義)【總結(jié)升華】若能證得ADAE，由于ADB、AEC都是直角，可證得RtADFRtAEF，而 要證ADAE，就應(yīng)先考慮RtABD與RtAEC，由題意已知ABAC，BAC是公共角，可證得RtABDRtACE條件和結(jié)論相互轉(zhuǎn)化，有時需要通過多次三角形全等得出待求的結(jié)論.舉一反三：【變式】已知，如圖，AC、BD相交于O，ACBD，CD90 .求證：OCOD.【答案】CD90ABD、ACB為直角三角形在RtABD和RtBAC中RtABDRtBAC(HL)ADBC在AOD和BOC中AODBOC(AAS)ODOC類型二、直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用4、如圖所示，在等邊ABC中，AECD，AD、BE相交于點P，BQAD于Q，求證：BP2PQ【答案與解析】證明： ABC為等邊三角形， ACBCAB，CBAC60在ACD和BAE中， ACDBAE(SAS) CADABE CADBAPBAC60， ABEBAP60， BPQ60 BQAD， BQP90， PBQ906030， BP2PQ【總結(jié)升華】(1)從結(jié)論入手，從要證BP2PQ聯(lián)想到要求PBQ30(2)不能盲