數(shù)列極限的概念（經(jīng)典課件）

1、第二章 數(shù)列極限u 引言:在第一章中我們已經(jīng)指出，數(shù)學分析課程研究的對象是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，那么數(shù)學分析用什么方法研究實數(shù)集上的函數(shù)呢？從本質上來說，這個方法就是極限。極限思想和方法貫穿于數(shù)學分析課程的始終，幾乎所有的概念都離不開極限，是我們數(shù)學分析課程的基礎。 數(shù)列極限的概念教學內容：數(shù)列極限的概念，應用定義證明簡單數(shù)列的極限，無窮小數(shù)列。教學要求：使學生逐步建立起數(shù)列極限的定義的清晰概念。深刻理解數(shù)列發(fā)散、單調、有界和無窮小數(shù)列等有關概念。會應用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列的有關命題，并能運用語言正確表述數(shù)列不以某實數(shù)為極限等相應陳述。教學重點：數(shù)列極限的概念。教學難點：數(shù)列極限的定義及其應

2、用。教學方法：講授為主。教學學時：2學時。一、數(shù)列概念：數(shù)列的定義：簡單的說，數(shù)列就是“一列數(shù)”，是有一定的規(guī)律，有一定次序性的“一列數(shù)”。若函數(shù)的定義域為全體正整數(shù)集合，則稱或為數(shù)列。若記，則數(shù)列就可寫作為：，簡記為，其中稱為該數(shù)列的通項。數(shù)列的例子：（1）； （2）（3）； （4）二、數(shù)列極限的概念：引言：對于這個問題，先看一個例子：古代哲學家莊周所著的莊子. 天下篇引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。把每天截下的部分的長度列出如下（單位為尺）：第天截下，第天截下，第天截下，第天截下，得到一個數(shù)列： 不難看出，數(shù)列的通項隨著n的無限增大而無限地接近于零。一般地說，對于數(shù)列，若當

3、n無限增大時，能無限地接近某一個常數(shù)，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)稱為它的極限。不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂的數(shù)列，或稱為發(fā)散數(shù)列。據(jù)此可以說，數(shù)列是收斂數(shù)列，是它的極限。數(shù)列都是發(fā)散的數(shù)列。需要提出的是，上面關于“收斂數(shù)列”的說法，并不是嚴格的定義，而僅是一種“描述性”的說法，如何用數(shù)學語言把它精確地定義下來。還有待進一步分析。以為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性：隨著n的無限增大，無限地接近于1隨著n的無限增大，與的距離無限減少隨著n的無限增大，無限減少會任意小，只要n充分大。如：要使，只要即可；要使，只要即可；任給無論多么小的正數(shù)，都會存在數(shù)列的一項，從該項之后，。即，當時，。如何找？（或存

4、在嗎？）解上面的數(shù)學式子即得：，取即可。這樣當時，。綜上所述，數(shù)列的通項隨n的無限增大，無限接近于，即是對任意給定正數(shù)，總存在正整數(shù)，當時，有。此即以為極限的精確定義。2數(shù)列極限的定義：定義1 設為數(shù)列,a為實數(shù),若對任給的正數(shù),總存在正整數(shù)N,使得當時有, 則稱數(shù)列收斂于a,實數(shù)a稱為數(shù)列的極限,并記作或.讀作：當n趨于無窮大時,的極限等于a或趨于a。由于n限于取正整數(shù),所以在數(shù)列極限的記號中把寫成,即或.若數(shù)列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列。舉例說明如何用定義來驗證數(shù)列極限：例證明 證明：，則當時，便有，所以 （注：這里取整保證為非負整數(shù)；保證為正整數(shù)。）例證明 .證明：（不妨設），

5、則當時，便有，所以. (注：這里限制保證為正數(shù)，但這并不影響證明過程；并不一定是整數(shù)。)例證明.證明：，則當時，便有，所以.例證明.證明: 由于，因此，則當時，便有，所以.例證明，其中.證明：當時，結論顯然成立.現(xiàn)設，記，則.由 得于是， ，則當時，便有，所以. 對于的情形，留作練習。關于數(shù)列的極限的定義的幾點說明：（） 關于： 的任意性。定義中的正數(shù)的作用在于衡量數(shù)列通項與常數(shù)a的接近程度，越小，表示接近得越好；而正數(shù)可以任意小，說明與常數(shù)a可以接近到任何程度；的暫時固定性。盡管有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出；的多值性。既是任意小的正數(shù)，那么等等，同樣也是任意小

6、的正數(shù)，因此定義中的不等式中的可用等來代替。從而“”可用“”代替；正由于是任意小正數(shù)，我們可以限定小于一個確定的正數(shù)。（） 關于： 相應性，一般地，隨的變小而變大，因此常把定作，來強調是依賴于的；一經(jīng)給定，就可以找到一個；多值性。的相應性并不意味著是由唯一確定的，因為對給定的，若時能使得當時,有,則或更大的數(shù)時此不等式自然成立。所以不是唯一的。事實上，在許多場合下，最重要的是的存在性，而不是它的值有多大?；诖耍趯嶋H使用中的也不必限于自然數(shù)，只要是正數(shù)即可；而且把“”改為“”也無妨。的取值也不一定必須是正整數(shù)，可以為為正數(shù)，因為滿足條件的正數(shù)如果存在，比大的任何正整數(shù)必能使條件成立。（）數(shù)列

7、極限的幾何理解：在定義中，“當時有”“當時有” “當時有” 所有下標大于的項都落在鄰域內；而在之外，數(shù)列中的項至多只有個（有限個）。反之，任給，若在之外數(shù)列中的項只有有限個，設這有限個項的最大下標為，則當時有，即當時有，由此寫出數(shù)列極限的一種等價定義（鄰域定義）：定義 任給，若在之外數(shù)列中的項只有有限個，則稱數(shù)列收斂于極限a.由此可見：）若存在某個，使得數(shù)列中有無窮多個項落在之外，則一定不以a為極限；）應該注意，任給，若在內數(shù)列中的項有無限多個，并不能說明數(shù)列收斂于極限a。例6. 證明和都是發(fā)散數(shù)列。分析：即證數(shù)列不以任何為極限，利用定義。證明：，取，則數(shù)列中所有滿足的項（有無窮多個）顯然都在

8、 之外，故不以任何為極限，即數(shù)列是發(fā)散數(shù)列。 取，則在之外有中所有奇數(shù)項（無窮多項），故不以1為極限；對，取，則在之外有中所有偶數(shù)項（無窮多項），故不以為極限。從而不以任何為極限，即是發(fā)散數(shù)列。例7. 設，作數(shù)列如下：. 證明.證明：因，故，數(shù)列和在之外的項都至多只有有限個，所以數(shù)列中落在之外的項至多只有有限個，從而。例8. 設為給定的數(shù)列，為對增加、減少或改變有限項之后得到的數(shù)列。證明：數(shù)列與同時收斂或發(fā)散，且在收斂時兩者的極限相等。證明：設為收斂數(shù)列，且，故，數(shù)列中落在之外的項至多只有有限個，而數(shù)列為對增加、減少或改變有限項之后得到的數(shù)列，故從某一項開始，中的每一項都是中確定的一項，所以中落在之外的項至多只有有限個，這就證得數(shù)列收斂，且有。 現(xiàn)設為發(fā)散數(shù)列，倘若收斂，則因可看成是對增加、減少或改變有限項之后得到的數(shù)列，