函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)(6).ppt

1、第四節(jié),兩類問(wèn)題:,在收斂域內(nèi),和函數(shù),本節(jié)內(nèi)容:,一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù),二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,第十二章,一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù),其中,( 在 x 與 x0 之間),稱為拉格朗日余項(xiàng) .,則在,先回憶一下n 階泰勒公式，若函數(shù),具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù),此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,x0= 0時(shí)麥克勞林公式的余項(xiàng)為,的某鄰域內(nèi),為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù) .,則稱,當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù) .,1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是

2、什么 ？,2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?,待解決的問(wèn)題 :,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,注意這里并沒(méi)有等式,只有解決了以下問(wèn)題，才能有以上等式。,定理1 .,各階導(dǎo)數(shù),則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要,條件是,f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:,證明:,令,設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域,內(nèi)具有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定理2.,若 f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù), 則這種展開(kāi)式是,唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.,證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為,則,顯然結(jié)論成立 .,機(jī)動(dòng)

3、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),1. 直接展開(kāi)法,由泰勒級(jí)數(shù)理論可知,第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;,第二步 寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ;,第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi),是否為,驟如下 :,展開(kāi)方法,直接展開(kāi)法, 利用泰勒公式,間接展開(kāi)法, 利用已知其級(jí)數(shù)展開(kāi)式,0.,的函數(shù)展開(kāi),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,（較難）,例1. 將函數(shù),展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).,解:,其收斂半徑為,對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足,故,( 在0與x 之間),故得級(jí)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 將,展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).,

4、解:,得級(jí)數(shù):,其收斂半徑為,對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,類似可推出:,(P220 例3),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 將函數(shù),展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中m,為任意常數(shù) .,解: 易求出,于是得 級(jí)數(shù),由于,級(jí)數(shù)在開(kāi)區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂.,因此對(duì)任意常數(shù) m,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,推導(dǎo),則,推導(dǎo) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,為避免研究余項(xiàng) , 設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為,稱為二項(xiàng)展開(kāi)式 .,說(shuō)明：,(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .,(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)

5、中的二項(xiàng)式定理.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,由此得,對(duì)應(yīng),的二項(xiàng)展開(kāi)式分別為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,以上的結(jié)果都應(yīng)熟記作為公式用,2. 間接展開(kāi)法,利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),例4. 將函數(shù),展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).,解: 因?yàn)?把 x 換成, 得,將所給函數(shù)展開(kāi)成 冪級(jí)數(shù).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5. 將函數(shù),展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).,解:,從 0 到 x 積分, 得,定義且連續(xù),區(qū)間為,利用此題可得,上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,所以展開(kāi)式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例6. 將,展成,解:,

6、的冪級(jí)數(shù).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例7. 將,展成 x1 的冪級(jí)數(shù).,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法,(1) 直接展開(kāi)法, 利用泰勒公式 ;,(2) 間接展開(kāi)法, 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi),2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,式的函數(shù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,當(dāng) m = 1 時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 函數(shù),處 “有泰勒級(jí)數(shù)” 與 “能展成泰勒級(jí),數(shù)” 有何不同 ?,提示: 后者必需證明,前者無(wú)此要求.,2. 如何求,的冪級(jí)數(shù) ?,提示:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,作業(yè) P223 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6,第五節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,備用題 1.,將下列函數(shù)