山東省招遠市第二中學高一數(shù)學《3．12　用二分法求方程的近似解》導學案

1、山東省招遠市第二中學高一數(shù)學312用二分法求方程的近似解導學案 學習目標理解求方程近似解的二分法的基本思想，能夠借助科學計算器用二分法求給定方程的滿足一定精確度要求的近似解 自學導引1二分法的概念對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法由函數(shù)的零點與相應方程根的關(guān)系，可用二分法來求方程的近似解2用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟(給定精確度)(1)確定區(qū)間a，b，使f(a)f(b)0.(2)求區(qū)間(a，b)的中點，x1.(3)計算f(x1)若f(x1)0

2、，則x1就是函數(shù)的零點；若f(a)f(x1)0，則令bx1(此時零點x0(a，x1)；若f(x1)f(b)0，則令ax1(此時零點x0(x1，b)(4)繼續(xù)實施上述步驟，直到區(qū)間an，bn，函數(shù)的零點總位于區(qū)間an，bn上，當an和bn按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)yf(x)的近似零點，計算終止這時函數(shù)yf(x)的近似零點滿足給定的精確度. 一、能用二分法求零點的條件例1下列函數(shù)中能用二分法求零點的是()答案C解析在A中，函數(shù)無零點在B和D中，函數(shù)有零點，但它們均是不變號零點，因此它們都不能用二分法來求零點而在C中，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，且圖象與x軸有交點，并且其

3、零點為變號零點，C中的函數(shù)能用二分法求其零點，故選C.點評判定一個函數(shù)能否用二分法求其零點的依據(jù)是：其圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且該零點為變號零點因此，用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適用，對函數(shù)的不變號零點不適用變式遷移1下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，但不宜用二分法求交點橫坐標的是()答案B 二、求函數(shù)的零點例2判斷函數(shù)yx3x1在區(qū)間1,1.5內(nèi)有無零點，如果有，求出一個近似零點(精確度0.1)分析由題目可獲取以下主要信息：判斷函數(shù)在區(qū)間1,1.5內(nèi)有無零點，可用根的存在性定理判斷；精確度0.1.解答本題在判斷出在1,1.5內(nèi)有零點后可用二分法求解解因為f(1)10，且函

4、數(shù)yx3x1的圖象是連續(xù)的曲線，所以它在區(qū)間1,1.5內(nèi)有零點，用二分法逐次計算，列表如下：區(qū)間中點值中點函數(shù)近似值(1,1.5)1.250.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 50.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08由于|1.3751.312 5|0.062 50.1，所以函數(shù)的一個近似零點為1.312 5.點評由于用二分法求函數(shù)零點的近似值步驟比較繁瑣，因此用列表法往往能比較清晰地表達事實上，還可用二分法繼續(xù)算下去，進而得到這個零點精確度更高的近似值變式遷移2求函數(shù)f(x)x32x23x6的一個正數(shù)零點(精確度0.1)解由于f

5、(1)60，可取區(qū)間(1,2)作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算，列表如下：區(qū)間中點中點函數(shù)值(1,2)1.52.625(1.5,2)1.750.234 4(1.5,1.75)1.6251.302 7(1.625,1.75)1.687 50.561 8(1.687 5,1.75)1.718 750.170 7由于|1.751.687 5|0.062 50.1，所以可將1.687 5作為函數(shù)零點的近似值 三、二分法的綜合運用例3證明方程63x2x在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一一個實數(shù)解，并求出這個實數(shù)解(精確度0.1)分析由題目可獲取以下主要信息：證明方程在 1,2內(nèi)有唯一實數(shù)解；求出方程的解解答本題可

6、借助函數(shù)f(x)2x3x6的單調(diào)性及根的存在性定理證明，進而用二分法求出這個解證明設函數(shù)f(x)2x3x6，f(1)10，又f(x)是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)2x3x6在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一的零點，則方程63x2x在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一一個實數(shù)解設該解為x0，則x01,2，取x11.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25)，取x31.125，f(1.125)0.4450，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125,1.25)，取x41.187 5，f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，x0(1.187

7、 5,1.25)|1.251.187 5|0.062 50.1，1.187 5可以作為這個方程的實數(shù)解點評用二分法解決實際問題時，應考慮兩個方面，一是轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點問題，二是逐步縮小考察范圍，逼近問題的解變式遷移3求的近似解(精確度為0.01并將結(jié)果精確到0.01)解設x，則x320.令f(x)x32，則函數(shù)f(x)的零點的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零點的近似值由于f(1)10，故可以取區(qū)間1,2為計算的初始區(qū)間用二分法逐步計算，列表如下：區(qū)間中點中點函數(shù)值1,21.51.3751,1.51.250.046 91.25,1.51.3750.599 61.25,1.3751.312

8、50.261 01.25,1.312 51.281 250.103 31.25,1.281 251.265 6250.027 31.25,1.265 6251.257 812 50.011.257 812 5,1.265 6251.261 718 750.008 6由于|1.265 6251.257 812 5|0.007 810.01，所以函數(shù)f(x)零點的近似值是1.26，即的近似值是1.26.1能使用二分法求方程近似解的方法僅對函數(shù)的變號零點適用，對函數(shù)的不變號零點不適用2二分法實質(zhì)是一種逼近思想的應用區(qū)間長度為1時，使用“二分法”n次后，精確度為.3求函數(shù)零點的近似值時，所要求的精確度

9、不同，得到的結(jié)果也不相同精確度為，是指在計算過程中得到某個區(qū)間(a，b)后，若其長度小于，即認為已達到所要求的精確度，可停止計算，否則應繼續(xù)計算，直到|ab|為止一、選擇題1下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是()Af(x)2x3 Bf(x)lnx2x6Cf(x)x22x1 Df(x)2x1答案C解析因為f(x)(x1)20，即含有零點的區(qū)間a，b，不滿足f(a)f(b)0.2設f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1，2)內(nèi)近似解的過程中得f (1)0，f(1.25)0，則方程的根落在區(qū)間()A(1,1.25) B(1.25,1.5)C(1.5,2) D不能確定答案B解析1.5為區(qū)

10、間(1,2)的中點，且f(1)0，方程的根x0(1,1.5)，又1.25是(1,1.5)的中點且f(1.5)0，f(1.25)0， x0(1.25,1.5)3函數(shù)f(x)x25的正零點的近似值(精確到0.1)是()A2.0 B2.1 C2.2 D2.3答案C4方程2x1x5的解所在的區(qū)間是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案C5用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點時，第一次經(jīng)計算f(0)0，可得其中一個零點x0_，第二次應計算_以上橫線上應填的內(nèi)容為()A(0,0.5)，f(0.25) B(0,1)，f(0.25)C(0.5,1)，f(0.25) D(0,0.5)

11、，f(0.125)答案A解析f(0)0，f(0)f(0.5)0，故f(x)在(0,0.5)必有零點，利用二分法，則第二次計算應為ff(0.25)二、填空題6在用二分法求方程f(x)0在0,1上的近似解時，經(jīng)計算，f(0.625)0，f(0.687 5)0，即可得出方程的一個近似解為_(精確度為0.1)答案0.75或0.687 5解析因為|0.750.687 5|0.062 50.1，所以0.75或0.687 5都可作為方程的近似解7用二分法求方程x250在區(qū)間(2,3)的近似解經(jīng)過_次二分后精確度能達到0.01.答案7解析區(qū)間(2,3)的長度為1，當7次二分后區(qū)間長度為0.01.8用二分法求函

12、數(shù)的零點，函數(shù)的零點總位于區(qū)間an，bn (nN)上，當|anbn|m時，函數(shù)的零點近似值x0與真實零點a的誤差最大不超過_答案解析假設a，因為|x0a|.三、解答題9求函數(shù)f(x)x3x22x2的一個正實數(shù)零點(精確度為0.1)解由于f(1)20，所以函數(shù)在(1,2)內(nèi)存在零點取(1,2)的中點1.5，經(jīng)計算f(1.5)0.6250，故函數(shù)在(1.5,2)內(nèi)存在零點，如此繼續(xù)下去，得到函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間.(a，b)(a，b) 的中點f(a)f(b)f(1,2)1.5f(1)0f(1.5)0(1,1.5)1.25f(1)0f(1.25) 0f(1.25)0f(1.375) 0f(1.375) 0)(1.375，1.437 5)1.3751.437 5|0.062 50.1所以原函數(shù)的一個正實數(shù)零點的近似解可取為1.437 5.10利用計算器，求方程lgx2x的近似解(精確度為0.1)解作出y=lgx，y=2-x的圖象，可