高中數(shù)學(xué) 專題1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)試題 新人教A版選修2-2

1、1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)1函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個區(qū)間內(nèi)，如果_，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果_，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減注意：在某個區(qū)間內(nèi)，（）是函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充分條件，而不是必要條件函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充要條件是（）在內(nèi)恒成立，且在的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于02函數(shù)圖象與之間的關(guān)系一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較_，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快，這時，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些K知識參考答案：12大K重點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性K難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在解決單調(diào)性問題中的應(yīng)用K易錯（1）由函數(shù)的單調(diào)性確定

2、參數(shù)的取值范圍時，不要忽略的情況；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，一定要在定義域范圍內(nèi)求解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實(shí)質(zhì)上就是判斷或證明不等式（）在給定區(qū)間上恒成立一般步驟如下：求導(dǎo)數(shù)；判斷的符號；給出單調(diào)性結(jié)論（2）在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解題過程中，只能在定義域內(nèi)討論，定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集可以省略不寫在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)外，還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)（3）當(dāng)求得的單調(diào)區(qū)間不止一個時，單調(diào)區(qū)間要用“，”或“和”字等隔開，不要用符號“”連接求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）【答案】

3、（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為令，解得當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）函數(shù)的定義域?yàn)榱睿獾?；令，解得故函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【名師點(diǎn)睛】由于在某區(qū)間上，個別點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零不影響函數(shù)的單調(diào)性，故單調(diào)區(qū)間也可以寫為閉區(qū)間的形式已知函數(shù)其中（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間【答案】（1）；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是若，則當(dāng)變化時，的變化情況如下表：+ 所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，;的單調(diào)遞減區(qū)間是若，則當(dāng)變化時，的變化情況如下表：+所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，；的單調(diào)遞減

4、區(qū)間是【名師點(diǎn)睛】對于含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要注意分類討論的標(biāo)準(zhǔn)及函數(shù)的定義域函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系判斷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間對應(yīng)關(guān)系時，首先要弄清所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導(dǎo)函數(shù)的圖象，其次對于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)可能為ABCD【答案】D【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象的判定根據(jù)題意，已知函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在y軸左側(cè)為增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)恒大于等于零，排除A，C，然后在y軸右側(cè)，函數(shù)先增后減

5、再增，導(dǎo)數(shù)值先正后負(fù)再正，故可知排除B，滿足題意的為D【名師點(diǎn)睛】常見的函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為：對于，函數(shù)值增加得越來越快，且越來越大；對于，函數(shù)值增加得越來越慢，且越來越??；對于，函數(shù)值減少得越來越快，且越來越小，絕對值越來越大；對于，函數(shù)值減少得越來越慢，且越來越大，絕對值越來越小已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是【答案】D【解析】當(dāng)時，在上的函數(shù)值非負(fù)在上，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上的函數(shù)值非負(fù)在上，故在上單調(diào)遞減，觀察各選項可知選D導(dǎo)數(shù)在解決單調(diào)性問題中的應(yīng)用（1）已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍問題，是一類非常重要的題型，其基本解法是利用分離參數(shù)法，將或的參數(shù)分

6、離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題（2）利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題時，一般先由零點(diǎn)的存在性定理說明在所求區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷在所給區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由此求解已知函數(shù)，若函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求的取值范圍【答案】當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，即，的取值范圍為方法2：函數(shù)的定義域?yàn)?，方程的根的判別式為當(dāng)，即時，此時，對都成立，故函數(shù)在定義域上是增函數(shù)當(dāng)，即或時，要使函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，只需對都成立設(shè)，則，得故綜合得的取值范圍為【名師點(diǎn)睛】函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充要條件是（）在內(nèi)恒成立，且在的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0求解時一定要注意（2016北京）設(shè)函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

7、（2）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；（3）求證：是有三個不同零點(diǎn)的必要而不充分條件【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析（2）當(dāng)時，所以令，得，解得或與在區(qū)間上的情況如下：所以，當(dāng)且時，存在，使得由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)有三個不同零點(diǎn)故c的取值范圍為（3）當(dāng)時，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能有三個不同零點(diǎn)所以不可能有三個不同零點(diǎn)綜上所述，若函數(shù)有三個不同零點(diǎn)，則必有故是有三個不同零點(diǎn)的必要條件當(dāng)，時，只有兩個不同零點(diǎn)，所以不是有三個不同零點(diǎn)的充分條件因此是有三個不同零點(diǎn)的必要而不充分條件【名師點(diǎn)睛】此題綜合了導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)、充要條件等知識，這就要求同學(xué)們在學(xué)習(xí)時，要注意與

8、前面的知識綜合，做到知識的靈活運(yùn)用第（3）問在證明必要而不充分條件時，一定分清誰是條件，誰是結(jié)論求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時忽略函數(shù)的定義域函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_【錯解】由得，令，得或，則或故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，【錯因分析】錯解中忽略了函數(shù)的定義域?yàn)椤菊狻坑傻?，且，令，得，則故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【名師點(diǎn)睛】討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，一定要在函數(shù)的定義域范圍內(nèi)求解，即要遵循定義域優(yōu)先的原則1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是ABCD2函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是ABCD3函數(shù)的圖象如圖，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是4函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是ABCD5若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的

9、取值范圍是ABCD6函數(shù)為上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_7函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_8已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間9已知函數(shù)，（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍10函數(shù)為上增函數(shù)的一個充分不必要條件是ABCD11函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是ABCD12若，則ABCD13若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是ABCD14已知，若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_15已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間16（2017浙江）函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是17（2

10、017新課標(biāo)全國II）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是ABCD 18（2017新課標(biāo)全國I）已知函數(shù)，則A在（0，2）單調(diào)遞增B在（0，2）單調(diào)遞減C的圖像關(guān)于直線x=1對稱D的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱19（2017山東）若函數(shù)(e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有M性質(zhì)下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是ABCD20（2017新課標(biāo)全國I節(jié)選）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性21（2017新課標(biāo)全國II節(jié)選）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性22（2017新課標(biāo)全國III節(jié)選）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性1【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，令，解得故選C2【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，解得，故選D4【答案】D【解析

11、】，由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選D5【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得根?jù)題意，可得且，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是故選B6【答案】【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)為上的減函數(shù)，所以在上恒成立，即恒成立因?yàn)?，所以，故?shí)數(shù)的取值范圍為7【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，令，解得或（舍去），所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為8【答案】單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為【解析】由題可得，令，即，解得，當(dāng)或時，；當(dāng)時，故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為9【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時，則，所以又，所以所求切線方程為，即所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，若在區(qū)間上是減函數(shù)，則，解得綜上所述，實(shí)數(shù)的取

12、值范圍是10【答案】B【解析】函數(shù)為上增函數(shù)的充分必要條件是在上恒成立，所以恒成立，因?yàn)?，所以，觀察各選項可知函數(shù)為上增函數(shù)的一個充分不必要條件是，故選B11【答案】D【解析】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，又，所以故選D13【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是故選B14【答案】【解析】由題意可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因?yàn)榍?，所以，故?shí)數(shù)的取值范圍是15【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）當(dāng)時，所以，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（2）易知函數(shù)的定義域?yàn)?，令，解得，?dāng)時，恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞

13、增區(qū)間是當(dāng)，即時，在區(qū)間和上，在區(qū)間上，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是當(dāng)，即時，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是當(dāng)，即時，在區(qū)間上，在區(qū)間上，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是16【答案】D【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)

14、的單調(diào)區(qū)間17【答案】D【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得：或，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為故選D【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：(1)定義法和導(dǎo)數(shù)法，通過解相應(yīng)不等式得單調(diào)區(qū)間；(2)圖象法，由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn)：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集：二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“”連接18【答案】C【解析】由題意知，所以的圖像關(guān)于直線對稱，故C正確，D錯誤；又（），由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以A，B錯誤，故選C19【答案】A【解析】對于A，令，則在R上單調(diào)遞增，故具有M性質(zhì)，故選A20【答案】當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【思路分析】分，分別討論函數(shù)的單調(diào)性即可若，則由得當(dāng)時，；當(dāng)時，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的討論：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，首先考慮函數(shù)的定義域，再求出，由的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間21