高觀點下的初等數學選講.ppt

1、福建師范大學數學與計算機科學學院 陳清華 Email： 網 址：,2,一、矩陣代數（從代數的角度看變換）,1、定義 2、低階矩陣 3、零矩陣、單位矩陣與純量矩陣（數量陣）,3,一、矩陣代數（從代數的角度看變換）,4、矩陣運算 （1）加法（減法） （2）乘法（除法？未必都有意義？何時有意義？類似整數除法） 注：矩陣乘法的幾何意義：變換的合成！ （3）數乘“?！保ㄟ@不同于數與行列式的乘法） （4）轉置（共軛轉置）,4,一、矩陣代數（從代數的角度看變換）,5、數域F的n*n階矩陣（即n階方陣，關于以上定義的加法、乘法、數乘構成數域F上的一個n2維非交換，有零因子的代數，即運算律！） 6、可逆矩陣與矩

2、陣求逆 （1）定義： （2）可逆陣的判定: （3）基本性質,5,一、矩陣代數（從代數的角度看變換）,（4）可逆陣求逆法 （i）初等變換法 （ii）公式法 （iii）根據變換的幾何意義求逆矩陣 （iv）特別地n=2時 7、矩陣的特征值、特征向量與特征多項式,6,二、線性變換（從幾何角度看變換）,1、向量空間（線性空間）定義回顧 2、低維向量空間 3、基與維數 4、線性變換的定義 5、線性變換與矩陣的一一對應關系,7,二、線性變換（從幾何角度看變換）,6、可逆線性變換的性質 （1）將直線變成直線 （2）將線段變成線段 （3）將平行四邊形變成平行四邊形,8,三、初等數學中常見的線性變換及對應的矩陣,

3、1、旋轉變換 設平面上建立了直角坐標系，所有的點繞原點沿著逆時間方向旋轉同一個角度，則這個變換是線性變換，求這個線性變換及對應的矩陣 2、關于原點的中心對稱變換是特殊的旋轉變換 3、恒等變換是特殊的旋轉變換,9,三、初等數學中常見的線性變換及對應的矩陣,4、反射變換 證明關于直線Ax+By=0的反射變換是線性變換，試求出該變換對應的矩陣，它是可逆矩陣嗎？,10,三、初等數學中常見的線性變換及對應的矩陣,例：平面上建立了直角坐標系，直線l1,l2繞原點O，傾斜角分別是，設A,B分別是表示直線l1,l2的反射變換，求 （1） A,B復合變換BA的矩陣 （2） BA的復合AB的矩陣 （3）根據矩陣說

4、明BA,AB是什么變換？這兩個變換是否相同。,11,5、位似變換 6、伸壓變換 7、投影變換 注：平面上的變換T有逆變換，必須滿足兩個條件： （1）平面上不同的點被T變到不同的點 （2） T將平面變到整個平面。 （由此可知：投影變換不是可逆變換？平面變到一條直線）,三、初等數學中常見的線性變換及對應的矩陣,12,8、根據變換的幾何意義求矩陣的逆 思考：保持長度不變（內積不變，距離不變）的線性變換是什么變換？,三、初等數學中常見的線性變換及對應的矩陣,13,1、定理 2、推論 3、定理 例1：求下面圖形的面積 （1）平行四邊形OABC，其中A(1,1),B(-2,1) （2）三角形OAB，其中A(1,1),B(-2,1) （3）平面四邊形ABCD，其中A(1,1),B(2,0),C(3,2),四、矩陣（變換）思想在有關面積求解中的應用,14,（4）已知矩形OBCD的頂點A(t,0),B(0,k)， 矩陣 T 代表的變換個將矩形OABC變到圖形OABC ，求變換后的圖形OABC與變換前的圖形OABC的面積比。,四、矩陣（變換）思想在有關面積求解中的應用,15,4、定理：線性變量將平面上所有的圖形的面積放大同一個倍數，這個倍數就是變換行列式的絕對值。 例2、求橢圓x2/a2+ y2/b2 =1（其中ab0）的內接菱形的面積的最大值，以及何時取得最大值。 例