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1、高 等 數(shù) 學(xué) (下),第十二章 級數(shù),第三節(jié) 函數(shù)展成冪級數(shù) （2）,一、Taylor級數(shù),上節(jié)例題,即:是否存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù).,問題:,1.如果能展開, 是什么?,2.展開式是否唯一?,3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?,研究的是給定一個冪級數(shù)，如何求它的和函數(shù). 反過來，給定一個函數(shù)，能否展成冪級數(shù)？,假設(shè) f(x) 能展成冪級數(shù) , 即,因為冪級數(shù)在收斂域內(nèi)無窮次可微 , 所以 f(x)能 展成冪級數(shù)的必要條件是具有任意階導(dǎo)數(shù) .,逐項求導(dǎo)任意次,得,Taylor系數(shù)是唯一的,Taylor系數(shù),問題,定義,Taylor級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?,不一定.

2、,實際上：Taylor多項式就是Taylor級數(shù)的部分和.,證明,因為 任意可導(dǎo)，則它的Taylor公式為,f（x）的 Taylor 級數(shù)的 Sn+1,若 f (x) 可以展成 Taylor 級數(shù) ,證明,(由比值判別法可得),二、函數(shù)展開成冪級數(shù),1.直接法 ( Taylor級數(shù)法 ),步驟:,例1,解,例2,解,例3,解,f (x) 的 M 級數(shù)：,收斂區(qū)間為(1,1),兩邊積分,得,即,牛頓二項式展開式,注意:,2.間接法,根據(jù)唯一性, 利用常見展開式, 通過變量代換, 四則運算, 恒等變形, 逐項求導(dǎo), 逐項積分等方法,求展開式.,例如,例：設(shè) 試將 f（x）展成 x 的冪級數(shù) . 并求 .,例4,解,例5 把 展成為 的冪級數(shù)，它的收斂半徑是,例6 把 ln(49x2) 展成 x 的冪級數(shù), 并求其收斂半徑.,解,常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)(常見展開式),常見變換:,XT,第三節(jié) 冪級數(shù)展開式的應(yīng)用（3）,一、近似計算,兩類問題:,1.給定項數(shù),求近似值并估計誤差；,2.給出誤差,確定項數(shù).,關(guān)健:,通過估計余項,確定誤差或項數(shù).,常用方法:,1.若級數(shù)是交錯(L) 級數(shù),則可用余項的首項來解決;,2.若不是交錯級數(shù),則放大余項中的各項,使之成為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù),

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