高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性 一 平行線等分線段定理創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-1

1、一 行線等分線段定理對應(yīng)學(xué)生用書P11平行線等分線段定理(1)如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等(2)用符號語言表述：已知abc，直線m、n分別與a、b、c交于點(diǎn)A、B、C和A、B、C(如圖)，如果ABBC，那么ABBC.說明(1)定理中的平行線組是指每相鄰的兩條距離都相等的一組特殊的平行線；它是由三條或三條以上的平行線組成的(2)“相等線段”是指在“同一條直線”上截得的線段相等2平行線等分線段定理的推論文字語言圖形語言符號語言推論1經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊在ABC中，若ABBB，BC平行于BC交AC于點(diǎn)C，則ACCC推論2經(jīng)過

2、梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰在梯形ABCD中，ADBC，若AEEB，EF平行于BC交DC于F點(diǎn)，則DFFC對應(yīng)學(xué)生用書P1平行線等分線段定理例1已知如圖，直線l1l2l3l4，l，l分別交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，ABBCCD.求證：A1B1B1C1C1D1.思路點(diǎn)撥直接利用平行線等分線段定理即可證明直線l1l2l3，且ABBC，A1B1B1C1.直線l2l3l4且BCCD，B1C1C1D1，A1B1B1C1C1D1.平行線等分線段定理的應(yīng)用非常廣泛，在運(yùn)用的過程中要注意其所截線段的確定與對應(yīng)，分析存在相等關(guān)系的線段，并會運(yùn)用相等線段來進(jìn)行

3、相關(guān)的計(jì)算與證明1已知：如圖，l1l2l3，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A由ABBC可得FGGHB由ABBC可得OBOGC由CE2CD可得CA2BCD由GHFH可得CDDE解析：OB、OG不是一條直線被平行線組截得的線段答案：B2如圖，已知線段AB，求作線段AB的五等分點(diǎn)作法：如圖，(1)作射線AC；(2)在射線AC上依任意長順次截取ADDEEFFGGH；(3)連接HB；(4)過點(diǎn)G，F(xiàn)，E，D分別作HB的平行線GA1，F(xiàn)A2，EA3，DA4，分別交AB于點(diǎn)A1，A2，A3，A4.則A1，A2，A3，A4就是所求的五等分點(diǎn)證明：過點(diǎn)A作MNHB，則MNDA4EA3FA2GA1HB.又ADDEEF

4、FGGH，AA4A4A3A3A2A2A1A1B(平行線等分線段定理)平行線等分線段定理推論1的運(yùn)用例2如圖，在ABC中，AD，BF為中線，AD，BF交于G，CEFB交AD的延長線于E.求證：AG2DE.思路點(diǎn)撥 證明在AEC中，AFFC，GFEC，AGGE.CEFB，GBDECD，BGDE.又BDDC，BDGCDE.故DGDE，即GE2DE，因此AG2DE.此類問題往往涉及平行線等分線段定理的推論1的運(yùn)用，尋找便于證明三角形中線段相等或平行的條件，再結(jié)合三角形全等或相似的知識，達(dá)到求解的結(jié)果3.如圖，在ABCD中，對角線AC、BD相交于O，OE平行于AB交BC于E，AD6，求BE的長解：因?yàn)樗?/p>

5、邊形ABCD是平行四邊形，所以O(shè)AOC，BCAD.又因?yàn)锳BDC，OEAB，所以DCOEAB.又因?yàn)锳D6，所以BEECBCAD3.4已知：AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，BE的延長線交AC于點(diǎn)F.求證：AFAC.證明：如圖，過D作DGBF交AC于G.在BCF中，D是BC的中點(diǎn)，DGBF，G為CF的中點(diǎn)即CGGF.在ADG中，E是AD的中點(diǎn)，EFDG，F(xiàn)是AG的中點(diǎn)即AFFG.AFAC.平行線等分線段定理推論2的運(yùn)用例3已知，如圖，梯形ABCD中，ADBC，ABC90，M是CD的中點(diǎn)，求證：AMBM.思路點(diǎn)撥解答本題應(yīng)先通過作輔助線構(gòu)造推論2的應(yīng)用條件證明過點(diǎn)M作MEBC交AB于點(diǎn)E，A

6、DBC，ADEMBC.又M是CD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)ABC90，ME垂直平分AB.AMBM.有梯形且存在線段中點(diǎn)時(shí)，常過該點(diǎn)作平行線，構(gòu)造平行線等分線段定理的推論2的基本圖形，進(jìn)而進(jìn)行幾何證明或計(jì)算5若將本例中“M是CD的中點(diǎn)”與“AMBM”互換，那么結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明解：結(jié)論成立證明如下：過點(diǎn)M作MEAB于點(diǎn)E，ADBC，ABC90，ADAB，BCAB.MEAB，MEBCAD.AMBM，且MEAB，E為AB的中點(diǎn)，M為CD的中點(diǎn)6已知：如圖，ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A，B，C，D，O分別作直線a的垂線，垂足分別為A，B，C，D，O；求證：ADBC.證明：ABC

7、D的對角線AC，BD交于O點(diǎn)，OAOC，OBOD.AAa，OOa，CCa，AAOOCC.OAOC.同理：ODOB.ADBC.對應(yīng)學(xué)生用書P3一、選擇題1梯形ABCD中，ABCD，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，且EF2 cm，則ABCD等于()A1 cmB2 cmC3 cm D4 cm解析：由梯形中位線定理知EF(ABCD)，ABCD4 cm.答案：D2如圖，AD是ABC的高，E為AB的中點(diǎn)，EFBC于F，如果DCBD，那么FC是BF的()A.倍 B.倍C.倍 D.倍解析：EFBC，ADBC，EFAD.又E為AB的中點(diǎn)，由推論1知F為BD的中點(diǎn)，即BFFD.又DCBD，DCBF.FCFDDCBF

8、DCBF.答案：A3梯形的中位線長為15 cm，一條對角線把中位線分成32兩段，那么梯形的兩底長分別為()A12 cm18 cm B20 cm10 cmC14 cm16 cm D6 cm9 cm解析：如圖，設(shè)MPPN23，則MP6 cm，PN9 cm.MN為梯形ABCD的中位線，在BAD中，MP為其中位線，AD2MP12 cm.同理可得BC2PN18 cm.答案：A4梯形的一腰長10 cm，該腰和底邊所形成的角為30，中位線長為12 cm，則此梯形的面積為()A30 cm2 B40 cm2C50 cm2 D60 cm2解析：如圖，過A作AEBC，在RtABE中，AEABsin 305 cm.又

9、已知梯形的中位線長為12 cm，ADBC21224(cm)梯形的面積S(ADBC)AE52460 (cm2)答案：D二、填空題5如圖所示，已知abc，直線m、n分別與a、b、c交于點(diǎn)A、B、C和A、B、C，如果ABBC1，AB，則BC_.解析：直接利用平行線等分線段定理答案：6.如圖，在ABC中，E是AB的中點(diǎn)，EFBD，EGAC交BD于G，CDAD，若EG2 cm，則AC_；若BD10 cm，則EF_.解析：由E是AB的中點(diǎn)，EFBD，得EGADFD2 cm，結(jié)合CDAD，可以得到F、D是AC的三等分點(diǎn)，則AC3EG6(cm)由EFBD，得EFBD5(cm)答案：6 cm5 cm7如圖，梯形

10、ABCD中，ADBC，E為AB的中點(diǎn)，EFBC，G是BC邊上任一點(diǎn)，如果SGEF2 cm2，那么梯形ABCD的面積是_cm2.解析：因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，EFBC，所以EF為梯形ABCD的中位線，所以EF(ADBC)，且EGF的高是梯形ABCD高的一半，所以S梯形ABCD4SEGF428(cm2)答案：8三、解答題8已知ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是BC的三等分點(diǎn)(BECE)，AE、CD交于點(diǎn)F.求證：F是CD的中點(diǎn)證明：如圖，過D作DGAE交BC于G，在ABE中，ADBD，DGAE，BGGE.E是BC的三等分點(diǎn)，BGGEEC.在CDG中，GECE，DGEF，DFCF.即F是CD的中點(diǎn)9如圖，先把矩形紙片ABCD對折后展開，并設(shè)折痕為MN；再把點(diǎn)B疊在折痕線上，得到RtAB1E.沿著EB1線折疊，得到EAF.求證：EAF是等邊三角形證明：因?yàn)锳DMNBC，AMBM，所以B1EB1F.又因?yàn)锳B1EB90，所以AEAF，所以B1AEB1AF.根據(jù)折疊，得BAEB1AE，所以BAEB1AEB1AF30，所以EAF60，所以EAF是等邊三角形10.已知：梯形ABCD中，ADBC，四邊形ABDE是平行四邊形，AD的延長線交EC于F.求證：EFFC.證明：法一：如圖，連接BE交AF于O，四邊形ABDE是平行四邊形，BOO