正方體異面點(diǎn)截面的作法問題

1、正方體“異面點(diǎn)”截面的作法問題高二十班 史威、馮心怡【引言】： 用平面去截一個(gè)幾何體,所截出的面,就叫截面?？梢韵胂?類似于用刀去切(截)幾何體,把幾何體分成兩部分,刀在幾何體上留下的痕跡就是截面的形狀,截面是一個(gè)平面圖形。在醫(yī)學(xué)診斷上,有一種與“截幾何體”類似的儀器和方法,它是通過X射線掃過人體的患病器官,然后通過計(jì)算機(jī)處理相關(guān)測(cè)量數(shù)據(jù),重建人體斷層圖象,并作出診斷,這就是是“CT影像診斷技術(shù)”在醫(yī)學(xué)史上具有劃時(shí)代意義?？梢?數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于生活何等重要。在立體幾何中，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，歷來(lái)是立體幾何的一個(gè)基本問題.而已知不共線三點(diǎn)，作幾何體的截面，既是轉(zhuǎn)化為平面問題的一個(gè)方法，也是深化

2、理解空間點(diǎn)線面關(guān)系的一個(gè)很好的途徑.本文通過舉例引申出過正方體異面的點(diǎn)（以下簡(jiǎn)稱為“異面點(diǎn)”）作截面的幾種常見方法.【正文】： 用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)幾何體的截面此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線此平面與幾何體的棱的交集(交點(diǎn))叫做截點(diǎn)而對(duì)于“異面點(diǎn)”做圖方法大致可分為兩類：平面作圖法和空間向量法。下面筆者將對(duì)于這兩類方法進(jìn)行介紹。 一、平面作圖法： 1方法(交線法)該作圖關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，有了位于多面體同一表面上的兩個(gè)截點(diǎn)即可連結(jié)成截線，從而求得截面 2作截線與截點(diǎn)的主要根據(jù)有： (1)確定平面的條件 (2)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于

3、過此點(diǎn)的一條直線 (3)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi) (4)如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行 (5)如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行3.作圖的的主要思想方法有： (1)若已知兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點(diǎn)，就可以得到截面與多面體的一個(gè)面的截線。 (2)若面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確定的點(diǎn)。 (3)若兩個(gè)已知點(diǎn)分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個(gè)平面的交線與截面的交點(diǎn)。 (4)若兩平行平面中一個(gè)平面與截面有交線，另一個(gè)面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，則按平行平面與第三平面

4、相交，那么它們的交線互相平行的性質(zhì)，可得截面與平面的交線。 (5)若有一點(diǎn)在面上而不在棱上，則可通過作輔助平面轉(zhuǎn)化為棱上的點(diǎn)的問題；若已知點(diǎn)在體內(nèi)，則可通過輔助平面使它轉(zhuǎn)化為面上的點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為棱上的點(diǎn)的問題來(lái)解決。4. 具體題目分析： 已知：P、Q、R三點(diǎn)分別在直四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和AB上，試畫出過P、Q、R三點(diǎn)的截面方法一：(1)先過R、P兩點(diǎn)作輔助平面。過點(diǎn)R作R1RBB1交A1B1于R1，則面CRR1C1為所作的輔助平面。(2)在面CRR1C1內(nèi)延長(zhǎng)R1C1，交RP的延長(zhǎng)線于M。(3)在面A1B1C1D1內(nèi)，連接MQ，交C1D1于點(diǎn)S，延長(zhǎng)MQ交B1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T。(4

5、)連接TR，交AA1于點(diǎn)N，延長(zhǎng)TR交B1B于點(diǎn)K，再連接KP交BC于點(diǎn)L。(5)連接RL、PS、QN。則多邊形QNRLPS為所求。方法二：(1) 先過Q作QEAA1,聯(lián)結(jié)RE、QR(2) 聯(lián)結(jié)AC交RE于O點(diǎn)(3) 過O作FOQE，交QR于F點(diǎn)(4) 聯(lián)結(jié)PF并延長(zhǎng)，交AA1于G(5) 聯(lián)結(jié)GQ并延長(zhǎng)，交DD1于J(6) 聯(lián)結(jié)JP，交C1D1于H，延長(zhǎng)線交DC延長(zhǎng)線于K(7) 聯(lián)結(jié)KR，交BC于I(8) 聯(lián)結(jié)RGQHPC則多邊形RGQHPC為所求方法三：(1) 過Q作輔助平面QGHL平行于ADD1A1(2) 聯(lián)結(jié)RC1，交GH于K，聯(lián)結(jié)RP。(3) 過K作KICC1交RP于I，這點(diǎn)便是RP與

6、輔助平面的交點(diǎn)。(4) 聯(lián)結(jié)QI并延長(zhǎng)交平面CDD1C1于M，過F、E分別作QI的平行線，交BC、AA1于E、F(5) 聯(lián)結(jié)PM交C1D1于J(6) 聯(lián)結(jié)JREQFP則多邊形JREQFP為所求2、 空間向量法： 接下來(lái)讓我們從解析幾何的角度來(lái)思考：如圖的M、N、P三點(diǎn)所構(gòu)成的平面在正六面體ABCD-A1B1C1D1上的截面是怎么樣的？首先，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，可得。設(shè)：先看該平面在面ABCD、CD上的截面如右圖，作平面MQPS/面A1B1C1D1設(shè)直線NP與平面MQPS交于點(diǎn)H且面MQPS上所有點(diǎn)在z軸坐標(biāo)均為z2又過點(diǎn)P作PK/HM交CD于K，聯(lián)結(jié)MK則又則MK、PK即為兩條截線。再看面NMP在平面、上的截面。如右圖，過點(diǎn)N作平面NJGI平行于平面。聯(lián)結(jié)MP，設(shè)點(diǎn)E為直線MP與平面NJGI的交點(diǎn)。且平面NJGI上的所有點(diǎn)的x軸左邊為x3作PF/NE聯(lián)結(jié)NF、PF所得即面NMP在平面、上的截線。最后，我們來(lái)看面NMP在平面、上的截線。作MT/NE得到NT、MT就是面NMP在平面、上的截線。綜上，如圖就是平面MNP在正六面體上的截線【總結(jié)】： 截面問題是立體幾何中的典型問題之一 本文就對(duì)于給定三個(gè)