中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)資料 人教版 中考沖刺：代數(shù)綜合問題--知識(shí)講解（提高）

1、中考沖刺：代數(shù)綜合問題知識(shí)講解（提高）撰稿：SSSSSSS 審稿：ASASASAS【中考展望】初中代數(shù)綜合題，主要以方程、函數(shù)這兩部分為重點(diǎn)，因此牢固地掌握方程與不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判別式、函數(shù)的解析式的確定及函數(shù)性質(zhì)等重要基礎(chǔ)知識(shí)，是解好代數(shù)綜合題的關(guān)鍵在許多問題中，代數(shù)和幾何問題交織在一起，就要溝通這些知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，以數(shù)形結(jié)合的方法找到解決問題的突破口通過解綜合題有利于透徹和熟練地掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更深刻地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提高分析問題和解決問題的能力【方法點(diǎn)撥】(1)對“數(shù)學(xué)概念”的深刻理解是解綜合題的基礎(chǔ)；(2)認(rèn)識(shí)綜合題的結(jié)構(gòu)是解綜合題的前提；(3)靈活

2、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是解綜合題的關(guān)鍵；(4)幫助學(xué)生建立思維程序是解綜合題的核心* 審題(讀題、斷句、找關(guān)鍵)；* 先宏觀(題型、知識(shí)塊、方法)； 后微觀(具體條件，具體定理、公式)* 由已知，想可知(聯(lián)想知識(shí))； 由未知，想須知(應(yīng)具備的條件)，注意知識(shí)的結(jié)合；* 觀察挖掘題目結(jié)構(gòu)特征； 聯(lián)想聯(lián)系相關(guān)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)； 突破抓往關(guān)鍵實(shí)現(xiàn)突破； 尋求學(xué)會(huì)尋求解題思路(5)準(zhǔn)確計(jì)算，嚴(yán)密推理是解綜合題的保證【典型例題】類型一、函數(shù)綜合1已知函數(shù)和ykx+1(k0)(1)若這兩個(gè)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1，a)，求a和k的值；(2)當(dāng)k取何值時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象總有公共點(diǎn)?【思路點(diǎn)撥】本題是一次函數(shù)，反比例函數(shù)的

3、綜合題本題考查了函數(shù)解析式的求法和利用判別式判斷函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案與解析】 解：(1)兩函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1，a)， 解得(2)將代入ykx+1，消去y，得k0，要使得兩函數(shù)的圖象總有公共點(diǎn)，只要0即可1+8k1+8k0，解得kk且k0時(shí)這兩個(gè)函數(shù)的圖象總有公共點(diǎn)【總結(jié)升華】兩圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)常常通過建立方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根的判別式來判斷若0，兩圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)；若0，兩圖象有一個(gè)公共點(diǎn)；若0，兩圖象沒有公共點(diǎn)舉一反三：【變式】如圖，一元二次方程的兩根，（）是拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，的橫坐標(biāo)，且此拋物線過點(diǎn)A（3，6）(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P，

4、對稱軸與線段AC相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)MQ+MA取得最小值時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo) 【答案】解：(1)解方程，得=-3，=1.拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：C（-3，0），B（1，0）.將 A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入拋物線的解析式，得 解這個(gè)方程組，得 拋物線解析式為.(2)由，得拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-2），對稱軸為直線x=-1.設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,將A（3，6），C（-3，0）代入,得解這個(gè)方程組，得 直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+3.由于Q點(diǎn)是拋物線的對稱軸與直線AC的交點(diǎn)，故解方程組得 點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-1，2）.

5、(3)作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，與軸交點(diǎn)即為所求的點(diǎn). 設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b. 解這個(gè)方程組，得 直線的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x.令x=0，則y=0. 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）.類型二、函數(shù)與方程綜合2已知關(guān)于x的二次函數(shù)與，這兩個(gè)二次函數(shù)的圖象中的一條與x軸交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn) (1)試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)；(2)若A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，試求B點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，對于經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的二次函數(shù)，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值隨x值的增大而減小?【思路點(diǎn)撥】本題是二次函數(shù)與一元二次方程的綜合題本題考查了利用一元二次方程根的判別式判斷二次函數(shù)圖象，與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

6、及二次函數(shù)的性質(zhì)【答案與解析】解：(1)對于關(guān)于x的二次函數(shù)，由于(-m)241，所以此函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)對于關(guān)于x的二次函數(shù)，由于， 所以此函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)故圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的二次函數(shù)為(2)將A(-1，0)代入，得整理，得解之，得m0，或m2當(dāng)m0時(shí)，令y0，得解這個(gè)方程，得，此時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是B(1，0)當(dāng)m2時(shí)，令y0，得解這個(gè)方程，得x3-1，x43此時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是B(3，0)(3)當(dāng)m0時(shí)，二次函數(shù)為，此函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為x0，所以當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小當(dāng)m2時(shí)，二次函數(shù)為，此函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為x1，所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)值y隨

7、x的增大而減小【總結(jié)升華】從題目的結(jié)構(gòu)來看，二次函數(shù)與一元二次方程有著密切的聯(lián)系，函數(shù)思想是變量思想，變量也可用常量來求解舉一反三：【變式】已知：關(guān)于x的一元二次方程：.（1）求證：這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)拋物線與x軸的交點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等時(shí)，求此拋物線的解析式；（3）將（2）中的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，得到圖形C1,將圖形C1向右平移一個(gè)單位,得到圖形C2，當(dāng)直線(b0)與圖形C2恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出b的取值范圍. 【答案】（1）證明 該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）由題意可知y軸是拋物線的對稱軸， ，解得 此拋物線的解析式為

8、（3）-3b0類型三、以代數(shù)為主的綜合題3如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120得到線段OB (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)求經(jīng)過A，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式； (3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BOC的周長最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 (4)如果點(diǎn)P是(2)中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由 【思路點(diǎn)撥】(1)由AOB120可得OB與x軸正半軸的夾角為60，利用OB2及三角函數(shù)可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)利用待定系數(shù)法可求出

9、解析式；(3)OB為定值，即求BC+CO最小利用二次函數(shù)的對稱性可知點(diǎn)C為直線AB與對稱軸的交點(diǎn)；(4)利用轉(zhuǎn)化的方法列出關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式求解【答案與解析】 解：(1)B(1，) (2)設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)B(1，)，得所以(3)如圖所示，拋物線的對稱軸是直線x-1，因?yàn)锳，O關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，所以當(dāng)點(diǎn)C位于對稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，BOC的周長最小設(shè)直線AB的解析式為，則 解得因此直線AB的解析式為當(dāng)時(shí)，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4)如圖所示，過P作y軸的平行線交AB于D，設(shè)其交x軸于E，交過點(diǎn)B與x軸平行的直線于F設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x則當(dāng)時(shí)，PAB的面積的最大值為，此時(shí)【總

10、結(jié)升華】 本題為二次函數(shù)的綜合題，綜合程度較高，要掌握利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示坐標(biāo)軸上線段的方法因?yàn)榫€段的長度為正數(shù)，所以在用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長度時(shí)，我們用“右邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)減左邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)，上邊點(diǎn)的縱坐標(biāo)減下邊點(diǎn)的縱坐標(biāo)”，從而不用加絕對值號(hào)，本題中線段PD的長為就是利用了這一規(guī)律 4如圖所示，已知拋物線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8)(1)求拋物線C1關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線C2的解析式； (2)設(shè)拋物線C1的頂點(diǎn)為M，拋物線C2與x軸分別交于C，D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))，頂點(diǎn)為N，四邊形MDNA的面積為S若點(diǎn)A，D同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)

11、動(dòng)；此時(shí)，點(diǎn)M，N同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止求出四邊形MDNA的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍； (3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；(4)在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形MDNA能否形成矩形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請說明理由【思路點(diǎn)撥】此題一題多問，分別考查對拋物線性質(zhì)、直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)與線段之間的關(guān)系、代數(shù)式或者函數(shù)最值的求解方法的理解，并考查應(yīng)用方程思想解決問題的意識(shí)和能力【答案與解析】 解：(1)點(diǎn)A(-4，0)，點(diǎn)B(-2，0)，點(diǎn)E(0，8)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為D(4，0)

12、，C(2，0)，F(xiàn)(0，-8)設(shè)拋物線C2的解析式是，則 解得所求拋物線的解析式是.(2)由(1)可計(jì)算得點(diǎn)M(-3，-1)，N(3，1)過點(diǎn)N作NHAD，垂足為H當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)刻t時(shí)，AD2OD8-2t，NH1+2t根據(jù)中心對稱的性質(zhì)OAOD，OMON，四邊形MDNA是平行四邊形四邊形MDNA的面積運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止，據(jù)題意可知0t4，所求關(guān)系式是（0t4）(3) (0t4)時(shí)，S有最大值.(4)在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形MDNA能形成矩形由(1)知四邊形MDNA是平行四邊形，對角線是AD、MN，當(dāng)ADMN時(shí)四邊形MDNA是矩形ODONOD2ON2OH2+NH2解得，(不合題意，舍去)在運(yùn)動(dòng)過程中

13、四邊形MDNA可以形成矩形，此時(shí)【總結(jié)升華】直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)與線段長的關(guān)系；用等量關(guān)系列方程以形為背景給出的題干信息中有等腰梯形，等腰三角形，等邊三角形，某線段是某線段的幾倍，或者隱含著這些條件存在，都是利用方程思想解決問題的有效信息舉一反三：【變式】如圖所示，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)； (3)若E點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)點(diǎn)在拋物線上，如果A，C，E，F(xiàn)構(gòu)成平行四邊形，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)【答案】解：(1)，C(0，3)又，A(1，0)又，AB4。B(-3，0)(2)把A(1，0)，B(-3，0)代入得：a-1，b-2，頂點(diǎn)坐標(biāo)(

14、-1，4)(3)如圖1和圖2 當(dāng)AC為平行四邊形的一邊時(shí)， (-1，0)，E2(，0)，E3(，0)當(dāng)AC為平行四邊形的對角線時(shí)，E4(3，0)5已知函數(shù)y1x，y2x2+bx+c，為方程的兩個(gè)根，點(diǎn)M(t，T)在函數(shù)y2的圖象上 (1)若，求函數(shù)y2的解析式； (2)在(1)的條件下，若函數(shù)y1與y2的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，當(dāng)ABM的面積為時(shí)，求t的值； (3)若01，當(dāng)0tl時(shí)，試確定T，三者之間的大小關(guān)系，并說明理由 【思路點(diǎn)撥】第(1)問由得的兩根為，利用根的定義代入得到b，c的方程組可求出b，c值；第(2)問分別求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線yx與x軸夾角為45得到關(guān)于t的方程；第(3)問利用求差法比較T，的大小，注意對t的范圍進(jìn)行分類討論來的確定相應(yīng)T，的大小關(guān)系【答案