二次函數(shù)綜合(動(dòng)點(diǎn))問(wèn)題——三角形存在問(wèn)題培優(yōu)教案(一)

1、.二次函數(shù)綜合（動(dòng)點(diǎn)）問(wèn)題三角形存在問(wèn)題（一）適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中三年級(jí)適用區(qū)域全國(guó)新課標(biāo)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60分鐘知識(shí)點(diǎn)1、三角形的性質(zhì)和判定2、求作等腰三角形，直角三角形的方法教學(xué)目標(biāo)一、 知識(shí)與技能1、掌握各類(lèi)三角形的判定以及性質(zhì)；2、會(huì)用“兩圓一線(xiàn)”、“兩線(xiàn)一圓”求作等腰三角形和直角三角形；二、 過(guò)程與方法1、首先要明確各種三角形的性質(zhì)以及判定；2、理解等腰三角形的特征，明確腰相等，可以任意兩腰相等；3、理解直角三角形的特征，明確有一個(gè)角是直角，可以是任意的內(nèi)角；4、先研究三角形的性質(zhì)，再將三角形放到二次函數(shù)圖像中進(jìn)行綜合運(yùn)用。5、充分運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合、轉(zhuǎn)化、方程等數(shù)學(xué)思想來(lái)幫助解題

2、。三、 情感、態(tài)度與價(jià)值觀1、培養(yǎng)學(xué)生的處理圖像綜合運(yùn)用的能力；2、讓學(xué)生養(yǎng)成從特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的學(xué)習(xí)方法；3、形成對(duì)圖形的處理能力，形成解題技巧，樹(shù)立對(duì)解決此類(lèi)問(wèn)題的信心。教學(xué)重點(diǎn)是否存在一點(diǎn)使得三角形是等腰三角形、直角三角形，如果存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)教學(xué)難點(diǎn)是否存在一點(diǎn)使得三角形是等腰三角形、直角三角形，如果存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)教學(xué)過(guò)程一、課堂導(dǎo)入1、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，4）、B（-4，4），試在x軸上找出點(diǎn)P，使APB為直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)2、在平面直角坐標(biāo)系中找出所有的點(diǎn)C，使得ABC是以AB為腰的等腰三角形，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)為自然數(shù)畫(huà)出C

3、點(diǎn)的位置并寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題：這是我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系那章學(xué)習(xí)的內(nèi)容，如果我們將二次函數(shù)容納其中，在拋物線(xiàn)上求作一點(diǎn)，使得三角形是等腰三角形（等邊三角形、直角三角形等）并求出該點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),又該如何解答呢？ 二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式：1、列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個(gè)變量的等式對(duì)于應(yīng)用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)(2)設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確(3)

4、列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句，將此語(yǔ)句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問(wèn)題。(5)檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問(wèn)題的答案(6)寫(xiě)出答案2、常見(jiàn)題目類(lèi)型 (1)幾何類(lèi)(三角形、四邊形、圓等) 一般問(wèn)題是求圖形的面積，首先可以根據(jù)特殊圖形的面積公式來(lái)求解，這時(shí)關(guān)鍵是表示出公式里各個(gè)部分的代數(shù)式；其次，如果不是特殊的圖形，可以通過(guò)特殊圖形的面積相加減來(lái)表示；最后，還可以通過(guò)構(gòu)造特殊圖形來(lái)進(jìn)行表示求解；總之，要根據(jù)題目給的條件實(shí)際運(yùn)用。 (2)橋梁?jiǎn)栴} 這類(lèi)題型是出現(xiàn)較多的類(lèi)型，首先應(yīng)該建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將橋梁的拱形轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)

5、來(lái)進(jìn)行求解，強(qiáng)調(diào)的是特殊點(diǎn)的表示與運(yùn)用。 (3)銷(xiāo)售問(wèn)題 這類(lèi)題型會(huì)在考試中頻繁出現(xiàn)，解題的方法就是：圍繞總利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）數(shù)量這個(gè)公式去進(jìn)行，難度大一點(diǎn)的就是會(huì)涉及提價(jià)跟降價(jià)兩種情況，關(guān)鍵是要根據(jù)題意分別表示出降價(jià)或者提價(jià)后商品的售價(jià)、數(shù)量（進(jìn)價(jià)一般不變），然后再通過(guò)公式將各個(gè)部分組合在一起就可以了。 二次函數(shù)的應(yīng)用： 1、應(yīng)用類(lèi)型一、利用二次函數(shù)求實(shí)際問(wèn)題中的最大（?。┲担哼@類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)有面積、利潤(rùn)銷(xiāo)售量的最大（?。┲?，一般這類(lèi)問(wèn)題的解題方法是：先表示出二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解即可。2、 應(yīng)用類(lèi)型二、利用二次函數(shù)解決拋物線(xiàn)形建筑問(wèn)題:這類(lèi)型的題目關(guān)鍵是要求出二次函數(shù)

6、解析式，再根據(jù)解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。3、 應(yīng)用類(lèi)型三、利用二次函數(shù)求跳水、投籃、網(wǎng)球等實(shí)際問(wèn)題；這類(lèi)型的題目關(guān)鍵是要求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。三、知識(shí)講解考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1 三角形的性質(zhì)和判定：1、等腰三角形性質(zhì)：兩腰相等，兩底角相等，三線(xiàn)合一（中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)）。判定：兩腰相等，兩底角相等，三線(xiàn)合一（中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性質(zhì)：滿(mǎn)足勾股定理的三邊關(guān)系，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半。判定：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形性質(zhì)：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)，兩底角相等且等于45。判定：具有等腰三角形和等邊三角形的所

7、以性質(zhì)的三角形是等腰直角三角形4、等邊三角形性質(zhì)：三邊相等，三個(gè)角相等且等于60，三線(xiàn)合一，具有等腰三角形的一切性質(zhì)。判定：三邊相等，三個(gè)角相等，有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形。考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2求作等腰三角形、直角三角形的方法：圖一 兩圓一線(xiàn)圖解 圖二 兩線(xiàn)一圓圖解總結(jié)：（1）通過(guò)“兩圓一線(xiàn)”可以找到所有滿(mǎn)足條件的等腰三角形，要求的點(diǎn)（不與A、B點(diǎn)重合）即在兩圓上以及兩圓的公共弦上 （2）通過(guò)“兩線(xiàn)一圓”可以找到所有滿(mǎn)足條件的直角三角形，要求的點(diǎn)（不與A、B點(diǎn)重合）即在圓上以及在兩條與直徑AB垂直的直線(xiàn)上?？键c(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)3等腰三角形、直角三角形可能的情況：A(1)當(dāng)所求三角形是等腰三角形時(shí)

8、，可以是三角形任意兩邊相等，即：AB=AC、AB=BC、AC=BC如圖；CBA(2)當(dāng)所求三角形是直角三角形時(shí)，可以是三角形任意的內(nèi)角為直角,即：A=90、B=90、C=90，如圖所示；CB考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)4二次函數(shù)中三角形的存在性問(wèn)題解題思路：（1）先分類(lèi)，羅列線(xiàn)段的長(zhǎng)度，如果是等腰三角形則分別令三邊兩兩相等去求解；如果是直角三角形則分別令每個(gè)內(nèi)角等腰90去分類(lèi)討論；（2）再畫(huà)圖；（3）后計(jì)算。 四、例題精析【例題1】 【題干】（揚(yáng)州）已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)

9、點(diǎn)，當(dāng)PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)M，使MAC為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2) P（1，2）；(3) M（1，6）（1，-6）（1，1）（1，0）【解析】解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c中，得：a-b+c09a+3b+c0c3 ，解得：a-1b2c3拋物線(xiàn)的解析式：y=-x2+2x+3（2）連接BC，直線(xiàn)BC與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為P；點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，PA=PB，BC=PC+PB=PC+PA設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b（k

10、0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：3k+b0b3，解得：k-1b3直線(xiàn)BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3；當(dāng)x=1時(shí)，y=2，即P的坐標(biāo)（1，2）（3）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=- b2a=1，設(shè)M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），則： MA2=m2+4，MC2=（3-m）2+1=m2-6m+10，AC2=10；若MA=MC，則MA2=MC2，得： m2+4=m2-6m+10，得：m=1；若MA=AC，則MA2=AC2，得： m2+4=10，得：m=6；若MC=AC，則MC2=AC2，得：m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；當(dāng)m=6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線(xiàn)，構(gòu)不成三角

11、形，不合題意，故舍去；綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為 M（1，6）（1，- 6）（1，1）（1，0）【例題2】 【題干】（攀枝花）如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，設(shè)PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，DEx軸于點(diǎn)E，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得ADM是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1) y=x2+2x-3；(2) P的坐標(biāo)為（- 32，- 154）；(3) （0，32）或（0，-72）或（0，-1

12、）或（0，-3）【解析】解：（1）由于拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-3，0），B（1，0），可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a（x+3）（x-1），將C點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3）代入，得： a（0+3）（0-1）=-3，解得 a=1，則y=（x+3）（x-1）=x2+2x-3，所以?huà)佄锞€(xiàn)的解析式為：y=x2+2x-3；（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，交AC于點(diǎn)N設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+m，由題意，得-3k+m0m-3，解得k-1m-3直線(xiàn)AC的解析式為：y=-x-3設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x-3），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，-x-3），PN=PE-NE=-（x2+2x-3）+（-x-3）=-x2-3xSP

13、AC=SPAN+SPCN，S=12PNOA=123（-x2-3x）=- 32（x+32）2+278，當(dāng)x=- 32時(shí)，S有最大值278，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（- 32，- 154）；（3）在y軸上是存在點(diǎn)M，能夠使得ADM是直角三角形理由如下：y=x2+2x-3=y=（x+1）2-4，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-4），A（-3，0），AD2=（-1+3）2+（-4-0）2=20設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，t），分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t-0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=32，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，32）；當(dāng)D為直角

14、頂點(diǎn)時(shí)，如圖3，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t-0）2，解得t=- 72，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，- 72）；當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t-0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=-1或-3，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-1）或（0，-3）；綜上可知，在y軸上存在點(diǎn)M，能夠使得ADM是直角三角形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，32）或（0，- 72）或（0，-1）或（0，-3）【例題3】 【題干】（東營(yíng)）在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A

15、（0，2），點(diǎn)C（1，0），如圖所示，拋物線(xiàn)y=ax2-ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線(xiàn)的解析式；（3）在拋物線(xiàn)上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1) 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；(2) y=12x2-12x-2；(3) P1（-1，-1），P2（-2，1）.【解析】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BDx軸，垂足為D，BCD+ACO=90，AC0+OAC=90，BCD=CAO，又BDC=COA=90，CB=AC，BDCCOA，BD=OC=1，CD=OA=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；（2）拋物線(xiàn)y=

16、ax2-ax-2過(guò)點(diǎn)B（3，1），1=9a-3a-2，解得：a=12，拋物線(xiàn)的解析式為y=12x2-12x-2；（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得ACP是等腰直角三角形，若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過(guò)點(diǎn)P1作P1Mx軸，如圖（1），CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，MP1CDBC，CM=CD=2，P1M=BD=1，P1（-1，-1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線(xiàn) y=12x2-12x-2上；若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過(guò)點(diǎn)P2作P2Ny軸，如圖（

17、2），同理可證AP2NCAO，NP2=OA=2，AN=OC=1，P2（-2，1），經(jīng)檢驗(yàn)P2（-2，1）也在拋物線(xiàn)y=12x2-12x-2上；若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作AP3CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過(guò)點(diǎn)P3作P3Hy軸，如圖（3），同理可證AP3HCAO，HP3=OA=2，AH=OC=1，P3（2，3），經(jīng)檢驗(yàn)P3（2，3）不在拋物線(xiàn)y=12x2-12x-2上；故符合條件的點(diǎn)有P1（-1，-1），P2（-2，1）兩點(diǎn) 五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1. （曲靖模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)C（0，-5）（

18、1）求該二次函數(shù)的解析式和它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)（2）在上面所求二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P（2，-2），連接OP，找出x軸上所有點(diǎn)M的坐標(biāo)，使得OPM是等腰三角形【答案】(1) y=x2-4x-5， B（5，0）；(2) M的坐標(biāo)是（4，0）、（2，0）、（-22，0）、（22，0）.【解析】解：（1）根據(jù)題意，得0a(-1)2-4(-1)+c-5a02-40+c，解得a1c=-5，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-4x-5，當(dāng)y=0時(shí)，x2-4x-5=0，解得：x1=5，x2=-1，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），B（5，0），答：該二次函數(shù)的解析式是y=x2-4x-5，和它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B

19、的坐標(biāo)是（5，0）（2）令y=0，得二次函數(shù)y=x2-4x-5的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)B（5，0），由于P（2，-2），符合條件的坐標(biāo)有共有4個(gè)，分別是M1（4，0）M2（2，0）M3（-22，0）M4（22，0），答：x軸上所有點(diǎn)M的坐標(biāo)是（4，0）、（2，0）、（-22，0）、（22，0），使得OPM是等腰三角形2. （德宏州）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2，且過(guò)點(diǎn)A（0，3）（1）求b、c的值；（2）求出該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（3）如果某個(gè)一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)M問(wèn)在這個(gè)一次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得PBC是直角三

20、角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1) b=-4，c=3 ；(2) B（3，0），C（1，0）；(3) P的坐標(biāo)是（65，-35）或（2，-1）或（3，- 32）或（1，- 12）.【解析】解：（1）二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2，且過(guò)點(diǎn)A（0，3），代入得：- b21=2，3=c，解得：b=-4，c=3，答：b=-4，c=3（2）把b=-4，c=3代入得：y=x2-4x+3，當(dāng)y=0時(shí)，x2-4x+3=0，解得：x1=3，x2=1， B（3，0），C（1，0），答：二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是（3，0），（1，0）（3）存在：理由

21、是：y=x2-4x+3， =（x-2）2-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-1），設(shè)一次函數(shù)的解析式是y=kx+b，把（0，0），（2，-1）代入得：0b-12k+b，解得：k-12b0，y=- 12x，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，- 12x），取BC的中點(diǎn)M，以M為圓心，以BM為半徑畫(huà)弧交直線(xiàn)于Q、H，則Q、H符合條件，由勾股定理得；（x-2）2+(- - 12xx0)2=12，解得：x1=- 65x，x2=2，Q（65，- 35），H（2，-1）；過(guò)B作BFX軸交直線(xiàn)于F，把x=3代入y=- 12x得：y=- 32，F(xiàn)（3，- 32），過(guò)C作CEX軸交直線(xiàn)于E，同法可求：E（1，- 12），P的坐標(biāo)是（65，

22、-35）或（2，-1）或（3，- 32）或（1，- 12）.答：存在，P的坐標(biāo)是（65，-35）或（2，-1）或（3，- 32）或（1，- 12）3. （淮安）如圖已知二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（1）求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P使得PAB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】y=-x2+134x+3，B（0，3）；(2) P的坐標(biāo)為（78，0）.【解析】解：（1）把點(diǎn)A（4，0）代入二次函數(shù)有： 0=-16+4b+3得：b=134所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=-x

23、2+134x+3當(dāng)x=0時(shí)，y=3點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）（2）如圖：作AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)P，連接BP， 則：BP=AP，設(shè)BP=AP=x，則OP=4-x，在直角OBP中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+（4-x）2解得：x=258OP=4- 258= 78所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（78，0）綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（78，0）【鞏固】1. （貴陽(yáng)）如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-6）的拋物線(xiàn)y=12x2+bx+c與x軸相交于B（-2，0），C兩點(diǎn)（1）求此拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）將（1）中求得的拋物線(xiàn)向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移m（m0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線(xiàn)y1，若新拋物線(xiàn)y1

24、的頂點(diǎn)P在ABC內(nèi)，求m的取值范圍；（3）在（2）的結(jié)論下，新拋物線(xiàn)y1上是否存在點(diǎn)Q，使得QAB是以AB為底邊的等腰三角形？請(qǐng)分析所有可能出現(xiàn)的情況，并直接寫(xiě)出相對(duì)應(yīng)的m的取值范圍【答案】(1) （2，-8）；(2) 3m8；(3) 3m10318; m=10318.【解析】解：（1）將A（0，-6），B（-2，0）代入y=12x2+bx+c，得：-6c02-2b+c，解得：b-2c-6，y=12x2-2x-6，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-8）；（2）將（1）中求得的拋物線(xiàn)向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移m（m0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線(xiàn)y1=12（x-2+1）2-8+m，P（1，-8+m），在拋物線(xiàn)y

25、=12x2-2x-6中易得C（6，0），直線(xiàn)AC為y2=x-6，當(dāng)x=1時(shí)，y2=-5，-5-8+m0，解得：3m8；（3）A（0，-6），B（-2，0），線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-3），直線(xiàn)AB的解析式為y=-3x-6，過(guò)AB的中點(diǎn)且與AB垂直的直線(xiàn)的解析式為：y=13x- 83，直線(xiàn)y=13x- 83與y=12（x-1）2-8+m有交點(diǎn)，聯(lián)立方程，求的判別式為：=64-12（6m-29）0解得：m10318當(dāng)3m10318時(shí)，存在兩個(gè)Q點(diǎn)，可作出兩個(gè)等腰三角形；當(dāng)m=10318時(shí)，存在一個(gè)點(diǎn)Q，可作出一個(gè)等腰三角形；當(dāng)10318m8時(shí)，Q點(diǎn)不存在，不能作出等腰三角形2. （賀州）二次函

26、數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，14）；點(diǎn)F（0，1）在y軸上直線(xiàn)y=-1與y軸交于點(diǎn)H（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)與直線(xiàn)y=-1交于點(diǎn)M，求證：FM平分OFP；（3）當(dāng)FPM是等邊三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】(1) y=14x2 ；(2)見(jiàn)解析；(3) P的坐標(biāo)為（23，3）或（-23，3）【解析】（1）解：二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2，將點(diǎn)A（1，14）代入y=ax2得：a=14，二次函數(shù)的解析式為y=14x2；（2）證明：點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=14x2上，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，14x2），過(guò)點(diǎn)P作PBy軸于點(diǎn)B

27、，則BF=14x2-1，PB=x，RtBPF中， PF=(14x2-1)2+x2=14x2+1，PM直線(xiàn)y=-1，PM=14x2+1，PF=PM，PFM=PMF，又PMy軸，MFH=PMF，PFM=MFH，F(xiàn)M平分OFP；（3）解：當(dāng)FPM是等邊三角形時(shí)，PMF=60，F(xiàn)MH=30，在RtMFH中，MF=2FH=22=4，PF=PM=FM，14x2+1=4，解得：x=23，14x2=1412=3，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（23，3）或（-23，3）【拔高】1. （江寧區(qū)二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-1，0）、B（0，2），將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90至AC（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)；

28、（2）若二次函數(shù)y=12x2-ax-2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C求二次函數(shù)y=12x2-ax-2的關(guān)系式；當(dāng)-1x4時(shí)，直接寫(xiě)出函數(shù)值y對(duì)應(yīng)的取值范圍；在此二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)C除外），使ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1) （-3，1）； (2) y=12x2+12x-2； -178y8；p1（1，-1），p2（2，1）【解析】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CDx軸于點(diǎn)D，旋轉(zhuǎn)角為90，BAO+CAD=180-90=90，又BAO+ABO=90，CAD=ABO，在ABO和CAD中，CADABOAOBCDA90ACAB，ABOCAD（AAS

29、），AD=BO=2，CD=AO=1，OD=AO+AD=1+2=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，1）；（2）二次函數(shù)y=12x2-ax-2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-3，1），12（-3）2-（-3）a-2=1，解得a=- 12，故二次函數(shù)的關(guān)系式為y=12x2+12x-2；y=12x2+12x-2=12（x+12）2-178，當(dāng)-1x4時(shí)，x=- 12時(shí)取得最小值y=- 178， x=4時(shí)，取得最大值y=12（4+12）2- 178=8，所以，函數(shù)值y的取值范圍為：- 178y8；（i）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)P1，使AP1=AC=AB，則ABP1是以AB為直角邊的等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)P1作P1Ex軸，A

30、P1=AC，EAP1=DAC，P1EA=CDA=90，EP1ADCA，AE=AD=2，EP1=CD=1，可求得P1的坐標(biāo)為（1，-1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在二次函數(shù)的圖象上；（ii）當(dāng)B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)LBA，在直線(xiàn)L上分別取BP2=BP3=AB，得到以AB為直角邊的等腰直角ABP2和等腰直角ABP3，作P2Fy軸，同理可證BP2FABO，則P2F=BO=2，BF=OA=1，可得點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（2，1），經(jīng)檢驗(yàn)P2點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，同理可得點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（-2，3），經(jīng)檢驗(yàn)P3點(diǎn)不在二次函數(shù)的圖象上綜上所述：二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P1（1，-1），P2（2，1）兩點(diǎn)，使得ABP1和ABP2是以AB為直角邊的等腰直角三角形2. （重慶）如圖，已知拋物線(xiàn)y=-x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），PMy軸，且PM交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)BCM的面積最大時(shí)，求BPN的周長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)BCM的面積最大時(shí)，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)Q，使得CNQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)【答案】(1) A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；(2) 3+322；(3) Q1（1