高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題一

1、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題一第一試一、選擇題：本大題共有6個(gè)小題，每小題6分，共計(jì)36分。oh hv1 向高為h的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量v與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖像如右圖所示，那么水瓶的形狀是( )(a) (b) (c) (d)2 3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法共有( )(a)90種(b)180種(c)270種(d)540種3 橢圓1的焦點(diǎn)為f1和f2，點(diǎn)p在橢圓上，如果線段pf1的中點(diǎn)在y軸上，那么|pf1|是|pf2|的( )(a)7倍(b)5倍(c)4倍(d)3倍4 球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)這

2、3個(gè)點(diǎn)的小圓面積為4，那么這個(gè)球的半徑為( )(a)4(b)2(c)2(d)5 一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為( )(a)arccos(b)arcsin(c)arccos(d)arcsin6 在等比數(shù)列an中，a11，且前n項(xiàng)和sn滿足，那么a1的取值范圍是( )(a)(1，)(b)(1，4)(c)(1，2)(d)(1，)二、填空題:本大題共6個(gè)小題，每小題9分，共54分，把答案填在題中橫線上.1. mn是雙曲線1(a0，b0)的弦，p是mn的中點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率kmn和kop均存在且不等于0，則兩斜率的乘積kmnkop_2. 設(shè)x1、x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2b

3、xc0的兩個(gè)根，若x1是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，則s1的值為_3. 平面上有相異的11個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)連成一條直線，共得48條不同的直線，這11個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成的不同的三角形的個(gè)數(shù)為_4. 設(shè)數(shù)列an，當(dāng)an取最大值時(shí)，n_5. 對(duì)四位整數(shù)，若存在素?cái)?shù)p使abcdpk(kn)，abcdpp5，則這樣的四位數(shù)最小為_6. 對(duì)于每一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，函數(shù)f(t)滿足f(x)f(y)f(xy)xy1，且f(1)1，則方程f(x)x的整數(shù)解為_三、(滿分20分)設(shè)曲線c的方程是yx3x，將c沿x軸、y軸正方向分別平行移動(dòng)t、s單位長(zhǎng)度后得到曲線c1，寫出曲線c1的方程;證明曲線c與c1關(guān)于點(diǎn)a()對(duì)稱.如果曲線c與c有且僅

4、有一個(gè)公共點(diǎn)，證明:st且t0.四、(滿分20分)已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b11，b1b2b10145.求數(shù)列bn的通項(xiàng)bn;設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)anloga(1)(其中a0且a1)，記sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和.試比較sn與的大小，并證明你的結(jié)論.五、(滿分20分)已知：0,0,+,求coscossin(+)的最大值sinsincos(+)的最大值六、證明：存在4條兩兩異面的直線，使得沒(méi)有任何直線能與之同時(shí)相交。第二試一、(50分)已知圓內(nèi)接四邊形abcd中，ba與cd交于p，ad于bc交于q，ac與bd交于m，求證圓心o是pqm的垂心。二、(50分)對(duì)滿足 x01 x的數(shù)列，求使xk1的最小正整

5、數(shù)k，這里a為小于1999得正整數(shù)。三、(50分)用兩種顏色去染正九邊形的頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)只染一種顏色。證明：在以這9點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形中，一定有兩個(gè)全等的三角形，每一個(gè)的三個(gè)頂點(diǎn)都同顏色。參考答案一、bdabbd二、1. 2.999 3.160 4.92 5.1399 6.2，1三.解:曲線c的方程為 y(xt)3(xt)s證明:在曲線c上任取一點(diǎn)b(x，y)，設(shè)b(x，y)使b關(guān)于a的對(duì)稱點(diǎn)，則有 (xx)/2t/2 (yy)/2s/2 xtx ysy 代入曲線c的方程，得x和y滿足方程: sy(tx)3(tx) 即 y(xt)3(xt)s 可知點(diǎn)b(x，y)在曲線c上. 反過(guò)來(lái)，同樣可以

6、證明，在曲線c上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)a的對(duì)稱點(diǎn)在曲線c上. 因此，曲線c與c關(guān)于點(diǎn)a對(duì)稱.證明:因?yàn)榍€c與c有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程組 yx3x y(xt)3(xt)s有且僅有一組解，消去y，整理得 3tx23t2x(t3ts)0這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個(gè)根.所以t0并且其根的判別式 9t412t(t3ts)0解得 st3/4t且t0.四解:設(shè)數(shù)列bn得公差是d，由題意得 b11 10b110(101)d/2145 解得 b11 d3 bn3n2.由bn3n2知， snloga(11)loga(11/4)loga11/(3n2) loga(11)(11/4)11/(3n2) (logab

7、n1)/3loga3 3n1 因此要比較sn與(logabn1)/3的大小，可先比較(11)(11/4)11/(3n2)與3 3n1的大小. 取n1，有(11)3 311 取n2，有(11)(11/4)3 321 由此推測(cè)(11)(11/4)11/(3n2)3 3n1 (*) 若(*)式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定: 當(dāng)a1時(shí)，sn(logabn1)/3; 當(dāng)0a1時(shí)，sn(logabn1)/3.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明(*)式:(i)當(dāng)n1時(shí)已驗(yàn)證(*)式成立.(ii)設(shè)nk(k1)時(shí)(*)式成立，即(11)(11/4)11/(3n2)loga3 3n1 (11)(11/4)11/(3k2)3 3k1 那么，當(dāng)nk1時(shí)， (11)(11/4)11/(3k2)11/3(k1)2 3 3k111/(3k1) 3 3k1(3k2)/(3k1) 3 3k1(3k2)/(3k1)33 3k43 (3k2)3(3k4)(3k1)2/(3k1)2 (9k4)/(3k1)20 3 3k1(3k2)/(3k1)33 3k433 3(k1)1