奧賽2011年第十六屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試卷b小學組

1、 （小“華羅庚金杯”年第十六屆B2011少年數(shù)學邀請賽決賽試卷學組） 分）分，共80一、填空題（每小題10 +5+7+9 13 2將120名男生和140名女生分成若干小組，要求每組男生的人數(shù)相同，女生的人數(shù)也相同，則最多可以分成 組 3A、B兩地相距500千米，甲、乙兩人同時騎自行車從A地出發(fā)去B地甲每天騎30千米，乙每天騎50千米，但乙騎一天休息一天，第 天的行程結束時，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍 4三個牧人在一起，甲對乙說：“如果把你的羊給我一只，然后把我的羊總數(shù)的五分之一給你，我們兩個的羊就一樣多了”甲對丙說：“如果把你的羊給我兩只，然后把我的羊總數(shù)的七分之二給你，我們兩個的羊

2、就一樣多了”那么三個人羊的總數(shù)最少是 5如圖，兩條線段將邊長10厘米的正方形分為兩個高度相等的直角梯形S、S和一個直21角三角形，其中兩個梯形的面積相差10平方厘米那么圖中所示的直角三角形的邊長X 厘米 6用同一種顏色對44方格的6個格子進行涂色，如果某列有涂色的方格則必須從最底下的格子逐格往上涂色，相鄰兩列中左側(cè)的涂色的方格數(shù)大于或等于右側(cè)涂色的方格數(shù)（如圖），那么共有 種涂色的圖案 7已知某個幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中標示的尺寸（單位：厘米），這個幾何體的體積 （立方厘米） 是 8不能寫成3個不相等的合數(shù)之和的最大奇數(shù)是 二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程） 9長方

3、形ABCD的面積是416平方厘米，梯形AFGE的頂點F在BC上，D是腰EG的中點試求梯形AFGE的面積 10某年級一、二兩個班在植樹節(jié)進行植樹活動，兩個班植樹的總棵數(shù)相同，都在205300棵之間，兩個班都有一人不植樹，為大家送水，一班的其他人每人植樹7棵，二班的其他人每人植樹13棵求這兩個班的總?cè)藬?shù) 11求所有滿足如下條件的四位數(shù)n： （1）n的第一位和第三位數(shù)字相同； （2）n的第二位和第四位數(shù)字相同； 2的約數(shù)n ）n的各位數(shù)字的乘積是（312100名運動員的編號是從1到100若每個運動員在黑板上寫下自己編號中的最大奇因子，那么所有運動員在黑板上寫下的數(shù)的總和是多少？ 三、解答下列各題（每

4、小題15分，共30分，要求寫出詳細過程） 13（15分）一個長40、寬25、高50的無蓋長方體容器（厚度忽略不計）盛有水，深度為a，其中0a50，現(xiàn)將棱長為10的立方體鐵塊放在容器的底面，問放入鐵塊后水深是多少？ 14（15分）在下面的加法堅式中，不同的漢字可以代表相同的數(shù)字，那么滿足要求的不同算式共有多少種？ 年第十六屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽試2011（小學組）卷B 參考答案與試題解析 分，共80分）一、填空題（每小題10 +5+7+92713分數(shù)”的形式，然后把整數(shù)與分數(shù)通過觀察，此題可先把每個分數(shù)拆成“整數(shù)+【分析】 分別相加，分數(shù)部分進行通分計算 +7+9【解答】解：3+5

5、）（+（3+5+7+9）+ ）+24+（+ 24+3 27 27故答案為： 名女生分成若干小組，要求每組男生的人數(shù)相同，女生的人數(shù)也相名男生和1402將120 組 同，則最多可以分成 20和120【分析】要使每組男生的人數(shù)相同，女生的人數(shù)也相同，最多分幾組，只要求出 的最大公約數(shù)，即可得解140 ，5223【解答】解：1202 7，251402所以120和140的最大公約數(shù)是22520， 答：最多可以分成20組 故答案為：20 3A、B兩地相距500千米，甲、乙兩人同時騎自行車從A地出發(fā)去B地甲每天騎30千米，乙每天騎50千米，但乙騎一天休息一天，第 15 天的行程結束時，乙距B地的路程是甲距

6、B地的路程的二倍 天行程結束時，n，設第（千米）25250如果天數(shù)是雙數(shù)，乙相當于每天騎【分析】 乙距b地的路程是甲距b地路程的2倍，根據(jù)題意得方程：（50030n）250025n 解得：n14.2857 天數(shù)不會是小數(shù)，所以天數(shù)肯定是單數(shù)設第n+1天行程結束時，乙距b地的路程是甲距b地路程的2倍，然后列方程解答即可 【解答】解：如果天數(shù)是雙數(shù)， 乙相當于每天騎50225（千米）， 設第n天行程結束時，根據(jù)題意得方程： （50030n）250025n 解得：n14.2857， 天數(shù)不會是小數(shù)，所以天數(shù)肯定是單數(shù) 設第n+1天行程結束時，根據(jù)題意得方程： 50025n5050030（n+1）2

7、解得：n14， n+115（天）； 答：第15天行程結束時，乙距b地的路程是甲距b地路程的2倍 4三個牧人在一起，甲對乙說：“如果把你的羊給我一只，然后把我的羊總數(shù)的五分之一給你，我們兩個的羊就一樣多了”甲對丙說：“如果把你的羊給我兩只，然后把我的羊總數(shù)的七分之二給你，我們兩個的羊就一樣多了”那么三個人羊的總數(shù)最少是 43 【分析】根據(jù)甲對乙說的那句話，首先給甲一個，再拿5分之1給乙，所以甲加1就是5的倍數(shù)；同理，根據(jù)甲對丙說的，可以得到，甲加2就是7的倍數(shù)；通過計算，甲至少19個，然后再推理計算出乙和丙的只數(shù)即可解解答問題 【解答】解：根據(jù)題干分析可得，甲的只數(shù)加1，是5的倍數(shù)，加2是7的倍

8、數(shù)，所以甲最少有19只羊， 19+120（只）， 204（只）， 20416（只）， 所以乙至少有164+113（只）， 19+221（只）， 216（只）， ，（只）15621 156+211（只）， 所以丙至少有19+13+1143（只）， 答：三個人至少一共有43只 故答案為：43 5如圖，兩條線段將邊長10厘米的正方形分為兩個高度相等的直角梯形S、S和一個直21角三角形，其中兩個梯形的面積相差10平方厘米那么圖中所示的直角三角形的邊長X 4 厘米 【分析】因為ABCD是正方形，而正方形的邊長是10厘米，所以BE1025厘米，再根據(jù)梯形的面積公式與兩個梯形的面積相差10平方厘米，列出等式

9、求出AB與CG的差 【解答】解：（AB+EF）52（CG+EF）5210 AB+EFCGEF2054 所以ABCG4， 即x4 故答案為：4 6用同一種顏色對44方格的6個格子進行涂色，如果某列有涂色的方格則必須從最底下的格子逐格往上涂色，相鄰兩列中左側(cè)的涂色的方格數(shù)大于或等于右側(cè)涂色的方格數(shù)（如圖），那么共有 8 種涂色的圖案 4x4方格的【分析】6按照要求把個格子進行涂色，左側(cè)的涂色的方格數(shù)大于或等于右側(cè)涂色的方格數(shù)，把6分成幾個數(shù)的和，左邊的數(shù)最大是4，例如4+1+16，涂在第一列開始或從第二列開始有2種圖案； 4+26，分別從1、2、3列開始涂色，有3種圖案； 3+2+1，分別從1、2

10、列開始涂色，有2種圖案； 3+1+1+1，只有從第1列開始涂色1種圖案； 把它們加起來，即可得解 【解答】解：如圖， 2+3+2+18（種）， 答：那么共有8種涂色的圖案 故答案為：8 7已知某個幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中標示的尺寸（單位：厘米），這個幾何體的體積 是 （立方厘米） 由三視圖可知，該幾何體為四棱錐，分別確定底面積和高，利用錐體的體積公【分析】 式求解即可 【解答】解：由三視圖可知，該幾何體為四棱錐，底面ABCD為邊長為10cm的正方體，OECD且E是CD的中點， 所以棱錐的高OE10cm， 23）； 10（所以四棱錐的體積為10cm 立方厘米 答：這個幾何體的體積是 故答案為

11、： 8不能寫成3個不相等的合數(shù)之和的最大奇數(shù)是 17 【分析】在正整數(shù)中，三個最小的合數(shù)是4，6，8，先計算它們的和，然后將其與最接近的奇數(shù)比較，最后再來證明此結論的正確性 【解答】解：在正整數(shù)中，三個最小的合數(shù)是4，6，8，它們的和是4+6+818，于是17是不能用三個不同的合數(shù)的和表示的奇數(shù) 下面證明大于等于19的奇數(shù)n都能用三個不同的合數(shù)的和來表示 由于當k3時，4，9，2k是三個不同的合數(shù)，并且4+9+2k19，所以只要適當選擇k， 就可以使大于等于19的奇數(shù)n都能用4，9，2k（k）的和來表示 綜上所述，不能表示為3個不相等的合數(shù)的和的最大奇數(shù)是17 故答案為：17 二、解答下列各題

12、（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程） 9長方形ABCD的面積是416平方厘米，梯形AFGE的頂點F在BC上，D是腰EG的中點試求梯形AFGE的面積 【分析】根據(jù)題意可連接DF，三角形ADF和長方形ABCD是同底等高的，因此可知三角形ADF的面積是長方形ABCD面積的一半，因為點D是EG的中點，AE平行與FG，所以三角形ADF也是梯形AFGE面積的一半，因為點D是線段EG的中點，所以三角形ADE和三角形DGF的面積就為梯形AFGE面積的一半，即梯形的面積等于長方形的面積，據(jù)此解答即可 【解答】解：三角形ADF4162208（平方厘米）， 因為點D為EG的中點， 所以三角形AED+三角形DF

13、G208（平方厘米）， 梯形AFGE的面積：208+208416（平方厘米）， 答：梯形AFGE的面積是416平方厘米 10某年級一、二兩個班在植樹節(jié)進行植樹活動，兩個班植樹的總棵數(shù)相同，都在205300棵之間，兩個班都有一人不植樹，為大家送水，一班的其他人每人植樹7棵，二班的其他人每人植樹13棵求這兩個班的總?cè)藬?shù) 【分析】因為兩個班植樹的總棵數(shù)相同，是7和13的整數(shù)倍，所以求出7和13的最小公倍數(shù)，然后乘一個整數(shù)倍所得的數(shù)在205和300之間，這個數(shù)就是兩個班每班植樹的總棵數(shù)，這個數(shù)除以7加1是一班人數(shù)，除以13加1是二班人數(shù)，最后加起來，即可得解 【解答】解：7和13互質(zhì)， 所以7和13的

14、最小公倍數(shù)是71391， 913273（棵）， 205273300， 一班人數(shù)：2737+140（人）， 二班人數(shù)：27313+122（人）， 總?cè)藬?shù)：40+2262（人）； 答：求這兩個班的總?cè)藬?shù)是62人 ：n求所有滿足如下條件的四位數(shù)11 （1）n的第一位和第三位數(shù)字相同； （2）n的第二位和第四位數(shù)字相同； 2的約數(shù) n的各位數(shù)字的乘積是n（3）【分析】首先設出未知數(shù)的形式，然后討論兩數(shù)之間的關系，同時注意這個四位數(shù)是101的倍數(shù)，而且是質(zhì)數(shù)，找到數(shù)字關系枚舉即可 【解答】解：依題意可知： 222的約數(shù)，所以ab就是nn的約數(shù)由于101101設n，還有a是質(zhì)數(shù)，b 是 的約數(shù)，于是有ab

15、|（10a+b）， 即ab是101的約數(shù)，因為ab與101互質(zhì)，故ab是則a|b且b|10a，所以ba，2a或5a， 即的值可以為11、12、15、24、36 答：四位數(shù)為：1111、1212、1515、2424、3636 12100名運動員的編號是從1到100若每個運動員在黑板上寫下自己編號中的最大奇因子，那么所有運動員在黑板上寫下的數(shù)的總和是多少？ 【分析】由于從1100中，64的奇數(shù)倍有1個，它的最大奇因子為1，32的奇數(shù)倍為2個（32、96），它的最大奇因子為分別為1、3同理分別求出16、4、2、1的最大奇數(shù)倍的個數(shù)及它們的最大奇因子后，即能求出數(shù)的總和是多少 【解答】解：由于從110

16、0中，64的奇數(shù)倍有1個，它的最大奇因子為1 32的奇數(shù)倍為2個，它的最大奇因子為分別為1、3 16的奇數(shù)倍為3個，它的最大奇因子為分別為1、3、5 8的奇數(shù)倍為6個，它的最大奇因子為分別為1、3、5、7、9 4的奇數(shù)倍為13個，它的最大奇因子為分別為1、3、5、7、925 2的奇數(shù)倍為25個，它的最大奇因子為分別為1、3、5、7、49 1的奇數(shù)倍為50個，它的最大奇因子為分別為1、3、5、7、99 1+（1+3）+（1+3+5）+（1+3+5+11）+（1+3+5+25）+（1+3+5+49）+（1+3+5+99） 1+4+9+（1+11）（111）2+12+（1+25）（251）2+12+

17、（1+49）（491）2+12+（99+1）（991）2+12 14+36+169+625+2500 3344 3344即它們的總和是 三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細過程） 13（15分）一個長40、寬25、高50的無蓋長方體容器（厚度忽略不計）盛有水，深度為a，其中0a50，現(xiàn)將棱長為10的立方體鐵塊放在容器的底面，問放入鐵塊后水深是多少？ 【分析】此題要分情況進行討論，若放入鐵塊時水溢出容器，此時先計算水恰好上升至至容器口時這種臨界情況，根據(jù)容器的體積等于原來水的體積加上鐵塊的體積，列出等式計算此種情況下原來的水深，則當原水深介于此值到50之間時，放入鐵塊后水深為5

18、0厘米；若原來容器中的水較，放入鐵塊后還未溢出，此時先計算水恰好與鐵塊同高這種臨界情況，根據(jù)放入鐵塊前容器中水的體積加上鐵塊的體積等于容器的底面積乘以此時水面的高度，列出等式計算此情況下原來的水深，當原來的水深介于此值與第一種情況的臨界值時，計算放入鐵塊后的水深；最后一種情況是當容器中的水非常少時，放入鐵塊后仍未淹沒鐵塊，同理列出燈亮關系求解 2），（cm 40251000【解答】解：由題設，知水箱底面積S3），cm （10005050000水箱體積V水箱3）cm 101000（鐵塊體積V1010鐵（1）若放入鐵塊后，水箱中的水深恰好為50cm時 1000a+100050000，得a49（cm

19、） 所以，當49a50時，水深為50cm（多余的水溢出） （2）若放入鐵塊后，水箱中的水深恰好為10cm時 1000a+100010000，得a9（cm） 所以，當9a49時，水深為 cm）+1a（ 92）知，當0a時，設水深為xcm，則3（）由（ （）cm得10001000xa+100xx 50a49；當cm）+1 9a0答：當時，水深為a時，水深為（49a9；當acm 時，水深為cm50分）在下面的加法堅式中，不同的漢字可以代表相同的數(shù)字，那么滿足要求的不同14（15 算式共有多少種？ 【分析】根據(jù)整數(shù)加法的計算方法進行推算即可 【解答】解：由豎式可得：“華”1； 因為加法堅式中，不同的漢字可以代表相同的數(shù)字； 所以，個位上的“月”+“日”+“賽”的和是21、11或1； 個位上的“月”+“日”+“賽”的和是21，向十位上進2； 十位上4+6+“決”+2的末尾是1，由4+6+9+221，可得“決”9，向百位上進2； 百位上1+“杯”+2的末尾是0，由1+7+210，可得“杯”7，向千位上進1； 千位上1+1正好是2； 由以上可