高層設(shè)計中的二階效應(yīng)

1、P-與與P-效應(yīng)效應(yīng) 及各國計算方法比較及各國計算方法比較 摘要：二階效應(yīng)是指軸向力作用在產(chǎn)生撓曲的構(gòu)件上或豎向荷載作用在產(chǎn)生側(cè)移的結(jié)構(gòu)上 引起的附加作用效應(yīng)，屬于結(jié)構(gòu)分析設(shè)計中的幾何非線性問題，在較精確的結(jié)構(gòu)分析設(shè)計 中必須加以考慮。對這一問題國內(nèi)外已進行了多年的系統(tǒng)研究，取得了重要進展。本文就 二階效應(yīng)的兩種情況進行討論分析并給出具體的例子。 關(guān)鍵詞：混凝土，二階效應(yīng)，彎矩，結(jié)構(gòu) 1 混凝土結(jié)構(gòu)的二階效應(yīng)概念混凝土結(jié)構(gòu)的二階效應(yīng)概念 結(jié)構(gòu)物受力后將產(chǎn)生內(nèi)力和變形，內(nèi)力和變形是相互伴生和對應(yīng)的兩類物理量。按現(xiàn) 代控制論的觀點，結(jié)構(gòu)自身是一個非線性系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)所受荷載Fex是系統(tǒng)的激勵，產(chǎn)生的內(nèi)

2、 力Fin和變形D是結(jié)構(gòu)在外部激勵下的輸出響應(yīng)。結(jié)構(gòu)靜力學(xué)中一般將內(nèi)力作為狀態(tài)變量， 荷載作為輸入變量，變形作為輸出變量，而聯(lián)系輸入變量和狀態(tài)變量的狀態(tài)方程就是平衡 方程，見式(1.1) （1.1） 1 t () inex SFF 輸出方程是聯(lián)系內(nèi)力和變形的物理方程，見式(1.2) （1.2）() in Py DF 為了簡化分析，結(jié)構(gòu)靜力學(xué)在建立平衡方程時往往忽略結(jié)構(gòu)的微小變形，以結(jié)構(gòu)變形 前的狀態(tài)作為平衡態(tài)，由此建立的平衡方程是一組線性方程，這種分析思路實際是將非線 性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)。一般情況，結(jié)構(gòu)的變形相對于結(jié)構(gòu)自身的尺寸來說都很小，因此 將結(jié)構(gòu)簡化為線性系統(tǒng)給結(jié)構(gòu)分析帶來的誤差可以接

3、受，這種結(jié)構(gòu)分析處理方式稱為結(jié)構(gòu) 的一階分析，一階分析得到的結(jié)構(gòu)內(nèi)力和變形分別稱為結(jié)構(gòu)的一階內(nèi)力和一階變形。 系統(tǒng)狀態(tài)變量的選取是相對的，若將結(jié)構(gòu)的變形作為狀態(tài)變量，也可以得到結(jié)構(gòu)的狀 態(tài)方程，見式(1.3) （1.3） 2 t () inex SFF 通過物理方程(1.2)可以得到兩種狀態(tài)方程的關(guān)系 （1.4） 12 ()()0St Py DStD 狀態(tài)方程(1.1)與(1.3)是對結(jié)構(gòu)等效的描述，結(jié)構(gòu)內(nèi)力和變形是相互對等的變量。狀態(tài) 方程(1.3)表明荷載與結(jié)構(gòu)變形也是直接聯(lián)系的，而結(jié)構(gòu)一階分析的簡化處理忽略了這種直 接聯(lián)系，只是將結(jié)構(gòu)變形作為結(jié)構(gòu)內(nèi)力的效應(yīng)，這種簡化處理存在概念性的誤區(qū)，

4、在某些 情況下還會給結(jié)構(gòu)分析帶來較大的誤差。例如圖1.1中柱頂鉸接懸臂柱，柱端作用有軸向力 和彎矩。一階分析只能求得由柱端彎矩引起的柱中一階變形撓曲線和一階內(nèi)彎矩，如圖1.1 (a), (b)中實線所示。此外，柱端軸向力作用在由柱端彎矩產(chǎn)生的撓曲線上，將使柱中產(chǎn)生附加 作用效應(yīng)。最終柱中內(nèi)力還將包括軸向力在已經(jīng)產(chǎn)生撓曲變形的柱中引起的附加內(nèi)力(產(chǎn)生 的附加彎矩如圖1.1(c)所示)，而柱的變形中也將包括軸向力在已變形柱中引起的附加變形 ，如圖1.1(a), (b)中虛線所示。事實上，在同時受軸力和彎矩作用的柱類構(gòu)件的內(nèi)力和變形中也應(yīng)該包括 軸力在已變形柱中引起的附加內(nèi)力和附加變形。這種附加作用

5、效應(yīng)是一階分析不能得到而 且也未曾涉及的新問題，因此必須進行專門的研究，即結(jié)構(gòu)分析中的二階效應(yīng)問題。 結(jié)構(gòu)中的二階效應(yīng)泛指結(jié)構(gòu)上的荷載或構(gòu)件中的軸向力在產(chǎn)生變形后的結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中 引起的附加作用效應(yīng)，附加作用效應(yīng)包括附加變形和相應(yīng)的附加內(nèi)力。一般來說二階效應(yīng) 可分為豎向荷載在已產(chǎn)生側(cè)移的結(jié)構(gòu)中引起的P- 效應(yīng)和各桿件軸力(主要是軸壓力)在產(chǎn)生了撓曲變形的各單桿中引起的p- 效應(yīng)。二階效應(yīng)，在結(jié)構(gòu)分析中也被稱為“幾何非線性”，是各類結(jié)構(gòu)中大多數(shù)受力構(gòu)件 均存在的一般性力學(xué)現(xiàn)象，是較精確結(jié)構(gòu)分析方法中必然要考慮的普遍性問題。到目前為 止，學(xué)術(shù)界對結(jié)構(gòu)分析設(shè)計中的二階效應(yīng)問題已經(jīng)作了比較系統(tǒng)的研究。

6、混凝土結(jié)構(gòu)的二階效應(yīng)應(yīng)由兩部分組成：p-效應(yīng)和P-效應(yīng)。 p- 效應(yīng)是指由于構(gòu)件在軸向壓力作用下，自身發(fā)生撓曲引起的附加效應(yīng)，可稱之為構(gòu)件撓曲 二階效應(yīng)，通常指軸向壓力在產(chǎn)生了撓曲變形的構(gòu)件中引起的附加彎矩，附加彎矩與構(gòu)件 的撓曲形態(tài)有關(guān)，一般中間大，兩端部小。 P- 效應(yīng)是指由于結(jié)構(gòu)的水平變形而引起的重力附加效應(yīng)，可稱之為重力二階效應(yīng)，結(jié)構(gòu)在 水平力（風(fēng)荷載或水平地震力）作用下發(fā)生水平變形后，重力荷載因該水平變形而引起附 加效應(yīng)，結(jié)構(gòu)發(fā)生的水平側(cè)移絕對值越大，P- 效應(yīng)越顯著，若結(jié)構(gòu)的水平變形過大，可能因重力二階效應(yīng)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。 P-效應(yīng)與P-效應(yīng)具有很強的非線性特征，準確分析現(xiàn)階段還有

7、困難。 2 二二階階效效應(yīng)計應(yīng)計算方法算方法 2.1構(gòu)件撓曲二階效應(yīng)（構(gòu)件撓曲二階效應(yīng)（P-效應(yīng)）計算效應(yīng)）計算 2.1.1 混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范建議的方法建議的方法 混凝土規(guī)范7.3.9和7.3.12條建議了兩種方法： 第一種方法是采用考慮二階效應(yīng)的彈性分析方法（即折減彈性抗彎剛度的有限元法， 見上文的討論），直接計算出結(jié)構(gòu)構(gòu)件各控制截面包括彎矩設(shè)計值在內(nèi)的內(nèi)力設(shè)計值，并 按相應(yīng)的內(nèi)力設(shè)計值進行各構(gòu)件的截面設(shè)計，不再考慮受壓構(gòu)件的偏心距增大系數(shù); 第二種方法即偏心距增大系數(shù)法。當偏心受壓構(gòu)件的長細比l/r17.5時，在確定偏心受壓構(gòu)件的內(nèi)力 設(shè)計值時，可以近似考慮二階彎矩對軸

8、向壓力偏心距的影響，將軸向壓力對截面中心的處 事偏心距e乘以第7.3.10條規(guī)定的偏心距增大系數(shù)。 按照混凝土設(shè)計規(guī)范第7.3.9條和第7.3.10條的條文說明解釋，偏心距增大系數(shù)反 映了偏心受壓構(gòu)件達到其最大軸向壓力時的“極限曲率”所對應(yīng)的偏心距增大系數(shù)，綜合反 映p-效應(yīng)和P-效應(yīng)。從7.3.10條的公式可以看出偏心距增大系數(shù)對p- 效應(yīng)反映比較充分，但與水平荷載作用下結(jié)構(gòu)發(fā)生的側(cè)移絕對值大小無關(guān)，由偏心距增 大系數(shù)很難真實的反映P-效應(yīng)影響。 2.1.2 建筑抗震設(shè)計規(guī)范建筑抗震設(shè)計規(guī)范建議的方法建議的方法 建筑抗震設(shè)計規(guī)范第3.6.3條的條文說明中給出了以樓層穩(wěn)定系數(shù)表達的內(nèi)力增大 系

9、數(shù)計算公式（在上文已有提及），在第3.6.3條的條文說明中還特別強調(diào)，混凝土柱考慮 多遇地震作用產(chǎn)生的重力二階效應(yīng)的內(nèi)力時，不應(yīng)與混凝土規(guī)范承載力計算時考慮的重力 二階效應(yīng)重復(fù)。這里體現(xiàn)了綜合考慮p-效應(yīng)和P-效應(yīng)的思想 2.1.3 高規(guī)高規(guī)的建議的建議 對于一般的高層建筑結(jié)構(gòu)，由于結(jié)構(gòu)側(cè)移相對較大，約為樓層層高的1/30001/500，P- 效應(yīng)相對較為顯著，而構(gòu)件的長細比不大，其p- 效應(yīng)相對較小，一般可以忽略不計。高規(guī)宣貫培訓(xùn)教材建議:為保證設(shè)計安全，不論 是否考慮了P- 效應(yīng)，對長細比大于17.5的偏心受壓構(gòu)件，計算其偏心受壓承載力時，仍按照混凝土設(shè) 計規(guī)范的規(guī)定考慮偏心距增大系數(shù)。

10、2.2重力二階效應(yīng)（重力二階效應(yīng)（P-效應(yīng)）計算效應(yīng)）計算 計算P- 效應(yīng)的近似方法有等效幾何剛度的有限元法、等效水平力的有限元迭代法、折減彈性抗 彎剛度的有限元、結(jié)構(gòu)位移和構(gòu)件內(nèi)力增大系數(shù)法等。 2.2.1 等效幾何剛度的有限元法等效幾何剛度的有限元法 在不考慮P- 效應(yīng)影響時，是在結(jié)構(gòu)的初始拓撲關(guān)系基礎(chǔ)上建立結(jié)構(gòu)的平衡方程。一般可記為：Ku =F 考慮P-效應(yīng)影響時，對于結(jié)構(gòu)的任一節(jié)點j，因P- 效應(yīng)而引起的Mj=Gjuj，相應(yīng)的等效附加水平力為Vj 。對于所有節(jié)點，則形成一個等效附加水平分力向量。 可以看出，考慮P-效應(yīng)相當于結(jié)構(gòu)的初始剛度矩陣K修改為等效剛度矩陣K- KG。新規(guī)范版的S

11、ATWE、TAT、PMSAP等軟件都采用了等效幾何剛度的有限元法，這種 方法具有一般性，它既適用于采用剛性樓板假定的結(jié)構(gòu)，也適用于存在獨立彈性節(jié)點的結(jié) 構(gòu)。與不考慮P-效應(yīng)的分析結(jié)果相比，結(jié)構(gòu)的周期、位移和構(gòu)件的內(nèi)力都有所不同。 2.2.2 折減彈性抗彎剛度的有限元法折減彈性抗彎剛度的有限元法 折減彈性抗彎剛度的有限元法是今年來美國、加拿大等國設(shè)計規(guī)范推薦的一種考慮效 益方法。這種分析方法的基本思路是采用折減等效剛度，近似的考慮鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中各 類構(gòu)件在極限狀態(tài)時因開裂而導(dǎo)致剛度減小現(xiàn)象，使分析結(jié)果與設(shè)計狀態(tài)盡可能一致。 混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范引進該方法，第7.3.12規(guī)定，當采用考慮二階效應(yīng)的

12、彈性分析 方法時，宜在結(jié)構(gòu)分析中對鋼筋混凝土構(gòu)件的彈性抗彎剛度乘以一下折減系數(shù)：梁取0.4， 柱取0.6，對未開裂的剪力墻和核心筒取0.7，對已開裂的剪力墻和核心筒壁取0.45。 彈塑性階段結(jié)構(gòu)剛度的衰減是十分復(fù)雜的，采用統(tǒng)一的剛度折減系數(shù)，僅僅可能近似 的反映在極限狀態(tài)下結(jié)構(gòu)整體的、宏觀的性能，但很難真實的反映結(jié)構(gòu)在極限狀態(tài)下的剛 度變化規(guī)律，特別是內(nèi)力變化規(guī)律。而且，結(jié)構(gòu)剛度折減后，按照目前的建筑抗震設(shè)計 規(guī)范規(guī)定的反應(yīng)譜方法計算的地震力隨之減小，構(gòu)件之間的內(nèi)力會產(chǎn)生不同的分配關(guān)系 ，另外，結(jié)構(gòu)位移控制條件也不明確，因為彈性位移和彈塑性位移的控制條件相差很大。 鑒于上述原因，在目前的SAT

13、WE、TAT、PMSAP等軟件中，都未提供折減彈性抗彎剛度 的有限元法。 2.2.3 結(jié)構(gòu)位移和構(gòu)件內(nèi)力增大系數(shù)法結(jié)構(gòu)位移和構(gòu)件內(nèi)力增大系數(shù)法 增大系數(shù)法是一種簡單可行的考慮重力二階效應(yīng)的方法。這類方法是對不考慮重力二 階效應(yīng)的分析結(jié)果（結(jié)構(gòu)位移、構(gòu)件彎矩和剪力），乘以增大系數(shù)，近似考慮重力二階效 應(yīng)的影響。 高規(guī)第5.4.2條和5.4.3條規(guī)定，高層建筑結(jié)構(gòu)的重力二階效應(yīng)，可采用彈性方法進 行計算，也可采用對未考慮二級效應(yīng)的計算結(jié)果乘以增大系數(shù)的方法近似考慮，并建議了 結(jié)構(gòu)位移增大系數(shù)，以及結(jié)構(gòu)構(gòu)件彎矩和剪力增大系數(shù)。 建筑抗震設(shè)計規(guī)范第3.6.3的條文說明中也給出了以樓層穩(wěn)定系數(shù)表達的內(nèi)力

14、增大 系數(shù)計算公式。 目前的SATWE、TAT、PMSAP等軟件中，都未提供樓層內(nèi)力和位移增大系數(shù)法。 2.2.4等效水平力的有限元迭代法等效水平力的有限元迭代法 這種方法的基本思路是：根據(jù)樓層重力荷載，以及樓層在水平荷載作用下產(chǎn)生的層間 位移，計算出考慮效應(yīng)的近似等效水平荷載向量，然后，對結(jié)構(gòu)的有限元方程進行迭代求 解，直到迭代結(jié)果收斂，得到最終的位移和相應(yīng)的構(gòu)件內(nèi)力。 這種方法計算效率不如等效幾何剛度的有限元法，因為要對每一個水平荷載作用工況（或 組合）進行迭代求解。02規(guī)范版的SATWE、TAT軟件是采用這種方法考慮P- 效應(yīng)影響的。 3 構(gòu)件二構(gòu)件二階階彎矩彎矩簡簡化化計計算方法算方法

15、 當判斷不能忽略構(gòu)件的二階效應(yīng)時，設(shè)計中應(yīng)考慮二階彎矩的影響。下面介紹不同國 家的簡化計算方法。 3.1 我國規(guī)范我國規(guī)范 中國混凝上規(guī)范采用偏心距增大系數(shù)法考慮二階效應(yīng)對構(gòu)件承載力的影響，假定外荷載產(chǎn) 生的附加彎矩為m，構(gòu)件可承受的彎矩為，則份， m m m ，m為構(gòu)件截而可承受的 2 12 1 0.121 (0.0033) yk ss f ml mmn Eh m=m-m 彎矩；的計算公式為 （3.1） 2 12 0 0.0033/ 1 1 10 ys i fE l eh 式中: 為鋼筋混凝柱長度；為偏心距，本文中不考慮附加偏心距，故取，為考l i e 0i ee 1 慮偏心距變化對截而曲率

16、影響的系數(shù)，為考慮長細比l/h對截面曲率影響的系數(shù)。 2 由上述可得 （3.2） 0 000 i eeMmm hhNhnn 對大偏心受壓情況，取= 1. b NN 1 0；對小偏心受壓情況。與N的線性關(guān)系表示為 b NN 1 （3.3） 0 1 0 0.2 u ub NN NN 式中：為不考慮縱向彎曲系數(shù)的軸心受壓承載力，構(gòu)件對稱配筋時 0u N ；為界限情況下的軸向力，對稱配筋時近似取。2 uocsy Nf bhA f b N0.5 bcc Nf A 由上式可得 0 1 0 0.792/ 0.392/ yck u ubyck ffn NN NNff 當時，對截面曲率影響不大；當時，按下式計算

17、，即/8 15l h / l h/15l h 2 2 1.150.011 l h 將式（3.2）代入式（3.1）整理得 （3.4） 1 2 12 0.1210.0033/ 1 ykss nfE l mh A （3.5） 2 12 1 0.121 (0.0033) yk ss f ml mmn Eh （3.5） 2 12 1 0.121 (0.0033) yk ss f l mmmn Eh 利用上式計算得出構(gòu)件截面m- n曲線，聯(lián)立式（3.5）、（3.6）可分別計算不同長細比時構(gòu)件的曲線和附加彎矩mn 曲線。mn 3.2 美國規(guī)范美國規(guī)范 美國規(guī)范中的二階效應(yīng)計算分為有側(cè)移框架和無側(cè)移框架。對于

18、無側(cè)移框架，采用彎 矩增大系數(shù)法。在相對軸力n作用下，考慮二階效應(yīng)的混凝上受壓構(gòu)件較大的乘系數(shù)的端部 彎矩為m，按式（3.6）計算 2 212 12/(1.1) ( )/(0.60.4/) 0.62/(1.1) 3.72 yksckyk yksckss ffnf l mmmmmnmm ffEh A （3.6）m ns m （3.7）1.0 1/(0.75) m ns c C NP （3.8） 2 11 2 0.60.40.60.40.4 m Mm C Mm （3.9） 2 2 c EI P l （3.10） 0.4 1 cg d E I EI （3.11） 0.2 1 cgsse d E IE

19、 I EI 式中:為無側(cè)移框架的彎矩增大系數(shù)，為將實際彎矩圖等效為均布彎矩圖的等效 ns m C 系數(shù)，對于支座間有橫向荷載的構(gòu)件，取1. m C 0，對于支座間無橫向荷載的構(gòu)件，按式（3.8）計算；分別為受壓構(gòu)件的端部彎 11 Mm、 矩和相對彎矩，構(gòu)件單曲率彎曲時為正，雙曲率彎曲時為負；M2 、m2分別為受壓構(gòu)件較大的乘系數(shù)的端部彎矩和相對彎矩，恒為正，如圖3.1所示， Pc為臨界荷載，按式(3.9)計算；EI為構(gòu)件的剛度， Ec為混凝上彈性模量，Ec= 30 GPa；Ig為不考慮鋼筋的混凝上毛截而對重心軸的慣性矩，Ise為鋼筋對構(gòu)件截而重心軸的慣 性矩，為無側(cè)移框架最大系數(shù)的軸向持續(xù)荷載

20、與相同荷載組合最大乘系數(shù)的軸向荷載之 d 比。 圖3.1 單、雙曲率的定義 對于本文中討論的矩形截面構(gòu)件， 3 /12 g Ibh ，則EI按式（3.10）計算時，分別為 2 2( / 2) ses IA hdmm ne 、 （3.12） 2 2 2 2 2 2 ( / ) 1 0.0275 ( / ) m =1 0.0275 ( / ) m=m-m =m-1 0.0275 c nem c c nemc c mc nf l h C E nf l hmm CE nf l hm CE EI按式（3.11）計算時，分別為mm ne 、 1 2222 2222 2222 / 1( / )0.013751.5(1/ 2/ ) 1( / )0.013751.5(1/ 2/ ) 1( / )0.013751.5(1/ 2/ ) nsmccs ccs nsm ccs m Cnf l hEEd h mm mnf l hEEd h C m mmmmnf l hEEd h C 3.3 歐洲規(guī)范歐洲規(guī)范 歐洲規(guī)范有2種分析結(jié)構(gòu)二階效應(yīng)的簡化方法，即基于名義剛度的方法和基于名義曲率的方 法。本文就基于名義曲率方法進行說明。 考慮二階效應(yīng)的混凝上結(jié)構(gòu)受壓構(gòu)件截而所承受的彎知為 （3.13） 12 22 2 (0.60.4) me mmnm md （3.14） 2 2 0