空間向量角的求法

1、 空間向量角的求法 內(nèi)容摘要：空間向量作為新加入的內(nèi)容，在處理空間問(wèn)題中具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性，比原來(lái)處理空間問(wèn)題的方法更有靈活性。如把立體幾何中的線面關(guān)系問(wèn)題及求角求距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標(biāo)系，找到所論證的平行垂直等關(guān)系，所求的角和距離用向量怎樣來(lái)表達(dá)是問(wèn)題的關(guān)鍵關(guān)鍵詞：空間角 向量向量法求兩條異面直線所成的角：夾角公式：.模長(zhǎng)公式：（）.1.異面直線所成角：（1）范圍：；（2）向量法：設(shè)、分別為異面直線、的方向向量, 則兩異面直線所成角的余弦值為.(則兩異面直線所成的角；)證明兩條異面直線垂直,即所成角為.一般步驟：.建立合適的空間直角坐標(biāo)系.將各點(diǎn),各線段所在向量標(biāo)出

2、.利用向量夾角公式計(jì)算.判斷所得夾角是兩條直線所成角還是補(bǔ)角,并得出結(jié)論例1 、直三棱柱A1B1C1ABC，BCA=90，點(diǎn)D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是_分析：用向量法求異面直線所成的角，是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩條異面直線各自的方向向量，把異面直線所成角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算解：(向量法)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)BC=1則A（1,0,0），F(xiàn)1（,0,1），B（0,1,0），D1（,1）即 =（,0,1）， =（,1）cos=. BD1與AF1所成角的余弦值是2向量法求直線與平面所成的角：（1）定義：（課本）平面的一條斜

3、線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角；一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是直角.（2）范圍 ；向量法：設(shè)是斜線的方向向量，是平面的法向量，則斜線與平面所成的角的正弦值例2 、在正四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，求直線CE與平面BCD成的角的正弦值分析: 求線面角的向量法是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的一個(gè)方向向量和平面的一個(gè)法向量，把線面角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算解：如圖建立以三角形BCD的中心O為原點(diǎn)，,OD,OA依次為y軸，z 軸X軸平行于BC設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為，則 E為AD的中點(diǎn)， 又因?yàn)槠矫鍮CD的法向量為，即CE與平面BCD成的角滿足：

4、直線CE與平面BCD成的角的正弦值3向量法求二面角：（1）定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分叫做半平面.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角，叫做這個(gè)二面角的平面角.規(guī)定：二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，二面角為，當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，二面角為，因此，二面角的大小范圍為.（2）確定二面角的方法：向量法：在內(nèi)作，在內(nèi)作.其方向如左圖，則二面角 的平面角的余弦值.；其方向如右圖，則二面角的平面角的余弦值為上面值的相反數(shù).（同等異補(bǔ)）例3 、如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCBB11，E為D1C1的中點(diǎn)，求二面角EBDC的正切值分析: 求二面角的向量法是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的一個(gè)法向量，把二面角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算解：如圖，建立坐標(biāo)系，則D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)設(shè)平面DBE的方程為：（過(guò)原點(diǎn)D=0）則平面DBE的一個(gè)法向量為又因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量為二面角EBDC的余