一元二次不等式（組）與簡單線性規(guī)劃問題學(xué)案（人教A版必修5）

1、3 31二元一次不等式（組）與平面區(qū)域【教學(xué)目標(biāo)】1 了解二元一次不等式（組）這一數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生的實(shí)際背景。2 理解二元一次不等式的幾何意義3 會判定或正確畫出給定的二元不一次等式（組）所表示的點(diǎn)集合【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：1. 理解二元一次不等式（組）的幾何意義；2. 掌握不等式（組）確定平面區(qū)域的 一般方法教學(xué)難點(diǎn)：1 把實(shí)際問題抽象化，用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域。2 掌握不等式（組）確定平面區(qū)域的一般方法【教學(xué)過程】一、 設(shè)置情境，引入新課一家銀行信貸部計劃年初投入元用于企業(yè)和個人貸款，希望這筆資金至少可以帶來30000元的收益，其中從企業(yè)貸款中獲益12%，從個人貸款中獲益10%，

2、那么信貸部如何分配資金呢？問題1.那么信貸部如何分配資金呢？問題2.用什么不等式模型來刻畫它們呢？二、 合作探究，得出概念（1）設(shè)用于企業(yè)資金貸款的資金為元，用于個人貸款的資金元，由于資金總數(shù)為元，得到 由于預(yù)計企業(yè)貸款創(chuàng)收12%，個人貸款創(chuàng)收10%，共創(chuàng)收30000元以上，所以即。 最后考慮到用于企業(yè)貸款和個人貸款的資金數(shù)額都不能是負(fù)值，于是 將合在一起，得到分配資金應(yīng)該滿足的條件：二元一次不等式組：二元一次不等式（組）的解集的意義：（2）二元一次不等式（組）的幾何意義研究：二元一次不等式 表示的圖形邊界的概念二元一次不等式（組）的幾何意義，畫法要求判定方法（1）特殊點(diǎn)法（2）公式法三、 典

3、型例題例題1畫出不等式2+y60表示的平面區(qū)域。解：先畫直線2+y60（畫成虛線）。取原點(diǎn)（0，0），代入2+y6，20+0660，原點(diǎn)在2+y60表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式2+y60表示的區(qū)域如圖：例題2 用平面區(qū)域表示不等式組的解集解：不等式y(tǒng)+50表示直線y+50上及右下方的點(diǎn)的集合，+y0表示直線x+y0上及右上方的點(diǎn)的集合，x3表示直線x3上及左方的點(diǎn)的集合。不等式組表示平面區(qū)域即為圖示的三角形區(qū)域：例題3：要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得

4、所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)量少？答案:：設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，則且x，y都是整數(shù) 例題4 某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力、煤和電耗如下表：產(chǎn)品品種勞動力（個）煤（噸）電（千瓦）A產(chǎn)品394B產(chǎn)品1045已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是7萬元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動力300個，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦，列出滿足生產(chǎn)條件的關(guān)系式，并畫出平面區(qū)域。答案：設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各為x、y噸，利潤為z萬元，則 平面區(qū)域如圖（陰影部分）四、 反饋測評1 不等式表示的區(qū)域在直線的（ ）A 右上方 B 右下方 C 左上

5、方 D 左下方2下列二元一次不等式組可用來表示圖中陰影部分表示的平面區(qū)域的是（）3 畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域4 一個小型家具廠計劃生產(chǎn)兩種類型的桌子A和B.每類桌子都要經(jīng)過打磨、著色、上漆三道工序。桌子A需要10min打磨，6min著色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min著色，9min上漆。如果一個工人每天和上漆分別至多工作450min，著色每天至多工作480min，請你列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并在直角坐標(biāo)系中劃出相應(yīng)的平面區(qū)域。答案：1.(1)D；(2) ；五 課堂小結(jié)1了解二元一次不等式（組）這一數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生實(shí)際背景2理解二元一次不等式（組）的意義，掌握不等

6、式（組）確定平面區(qū)域的 一般方法六 作業(yè)課本P93 習(xí)題3.3 A組 1、2題331二元一次不等式（組）與平面區(qū)域課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、 預(yù)習(xí)目標(biāo)1了解二元一次不等式（組）這一數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生的實(shí)際背景。2理解二元一次不等式的幾何意義3能正確畫出給定的二元不一次等式（組）所表示的點(diǎn)集合二、預(yù)習(xí)內(nèi)容1.閱讀課本引例，回答下列問題設(shè)用于企業(yè)資金貸款的資金為元，用于個人貸款的資金元，如何用這兩個變量表示引例中的三個數(shù)字條件二元一次不等式，二元一次不等式組二元一次不等式（組）的解集及幾何意義2思考：一元一次不等式（組）的解集可以表示為數(shù)軸上的區(qū)間，那么在直角坐標(biāo)系內(nèi)，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形呢？3

7、.通過研究二元一次不等式 表示的圖形，你能得到什么結(jié)論？三、總結(jié)結(jié)論和提出疑惑 同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還那些收獲和疑惑，請把它填在下面的表格中收獲疑惑課內(nèi)探究學(xué)案一、 學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解二元一次不等式（組）這一數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生的實(shí)際背景。2理解二元一次不等式的幾何意義3能正確畫出給定的二元不一次等式（組）所表示的點(diǎn)集合二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1. 理解二元一次不等式（組）的幾何意義；2. 掌握不等式（組）確定平面區(qū)域的 一般方法學(xué)習(xí)難點(diǎn)：1 把實(shí)際問題抽象化，用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域。2 掌握不等式（組）確定平面區(qū)域的一般方法 三、學(xué)習(xí)過程（一）自主學(xué)習(xí)大家預(yù)習(xí)課本P82頁，并回答以下

8、幾個問題：問題1.那么信貸部如何分配資金呢？問題2 .用什么不等式模型來刻畫它們呢？ (二) 合作探究，得出概念二元一次不等式（組）的幾何意義研究：二元一次不等式 表示的圖形通過探究上述問題，你能回答下面的問題嗎？ 邊界的概念 二元一次不等式（組）的幾何意義，畫法的要求？ 判定方法（1）特殊點(diǎn)法：一般選擇哪一個點(diǎn) （2）公式法三、 典型例題例1、畫出下列不等式表示的區(qū)域(1) ；解析：原不等式可化為例2某人準(zhǔn)備投資 1 200萬興辦一所完全中學(xué)，對教育市場進(jìn)行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表格（以班級為單位）：學(xué)段班級學(xué)生人數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)/萬元教師年薪/萬元初中45226/班2/人高中403

9、54/班2/人分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述的限制條件。分析：設(shè)開設(shè)初中班x個，開設(shè)高中班y個，根據(jù)題意，總共招生班數(shù)應(yīng)限制在20-30之間，根據(jù)題意可列出：變式訓(xùn)練. 畫出下列不等式表示的區(qū)域(1) ；（2）（1）； （2）； （3）答案：反饋測評（1）畫出不等式表示的平面區(qū)域；四、 課堂小結(jié)1了解二元一次不等式（組）這一數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生的實(shí)際背景。2理解二元一次不等式的幾何意義3會判定或正確畫出給定的二元不一次等式（組）所表示的點(diǎn)集合課后練習(xí)與提高（1）不等式表示的區(qū)域在直線的 .（2）畫出不等式組表示的平面區(qū)域.（3）用平面區(qū)域表示不等式組的解集（4）某廠使用兩種零件A，B裝配兩種產(chǎn)品X，Y

10、. 該廠月生產(chǎn)能力X最多2500個，Y最多1200個. A最多為14000個，B最多為12000個. 組裝X需要4個A，2個B，組裝Y需要6個A，8個B. 列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.（5）某工廠用A，B 兩種配件生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件并耗時1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件并耗時2 h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，工廠每天工作不超過8h. 列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.學(xué)校：二中 學(xué)科：數(shù)學(xué) 編寫人：郝福強(qiáng) 一審：丁良之 二審：馬英濟(jì)332簡單的線性規(guī)劃問題【教學(xué)目標(biāo)】4 了解線性規(guī)劃的意義以及

11、約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念。5 了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)： 用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解【教學(xué)過程】一 復(fù)習(xí)提問1、二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示什么圖形？2、怎樣畫二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域？應(yīng)注意哪些事項？3、熟記“直線定界、特殊點(diǎn)定域”方法的內(nèi)涵。二 設(shè)置情境，引入新課在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常會遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題。1、下面我們就來看有關(guān)與生產(chǎn)安排的一個問題：引例：某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配

12、件耗時1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？（1）用不等式組表示問題中的限制條件：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，又已知條件可得二元一次不等式組： .（1）（2）畫出不等式組所表示的平面區(qū)域：如圖，圖中的陰影部分的整點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)）就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。（3）提出新問題：進(jìn)一步，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？（4）嘗試解答：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件時，工廠獲得的利潤為z,則z=2x+3y.這樣，上述問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x,y

13、滿足不等式（1）并且為非負(fù)整數(shù)時，z的最大值是多少？把z=2x+3y變形為，這是斜率為，在y軸上的截距為的直線。當(dāng)z變化時，可以得到一族互相平行的直線，如圖，由于這些直線的斜率是確定的，因此只要給定一個點(diǎn)，（例如（1，2），就能確定一條直線（），這說明，截距可以由平面內(nèi)的一個點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定?？梢钥吹?，直線與不等式組（1）的區(qū)域的交點(diǎn)滿足不等式組（1），而且當(dāng)截距最大時，z取得最大值。因此，問題可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與不等式組（1）確定的平面區(qū)域有公共點(diǎn)時，在區(qū)域內(nèi)找一個點(diǎn)P，使直線經(jīng)過點(diǎn)P時截距最大。（5）獲得結(jié)果：由上圖可以看出，當(dāng)實(shí)現(xiàn)金國直線x=4與直線x+2y-8=0的交點(diǎn)M（4，2）時，截

14、距的值最大，最大值為，這時2x+3y=14.所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時，工廠可獲得最大利潤14萬元。2、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=2x+y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問

15、題的最優(yōu)解3、 變換條件，加深理解探究：課本第100頁的探究活動（1） 在上述問題中，如果生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利2萬元，有應(yīng)當(dāng)如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤？在換幾組數(shù)據(jù)試試。（2） 有上述過程，你能得出最優(yōu)解與可行域之間的關(guān)系嗎？三、 典型分析例題1 營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)21元。為了滿足營養(yǎng)專家指出的日

16、常飲食要求，同時使花費(fèi)最低，需要同時食用食物A和食物B多少kg？分析:要完成一項確定的任務(wù),如何統(tǒng)籌安排,盡量做到用最少的資源去完成它,這是線性規(guī)劃中最常見的問題之一.解：設(shè)每天食用（1），目標(biāo)函數(shù)為二元一次不等式組（1）等價于（2）做出二元一次不等式組（2）所表示的平面區(qū)域，即可行域考慮考慮z=28x+21y,將它變形為 ,這是斜率為 、隨z變化的一族平行直線. 是直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最小值時，z的值最小.當(dāng)然直線與可行域相交，即在滿足約束條件時目標(biāo)函數(shù)z=28x+21y取得最小值.由圖可見，當(dāng)直線z=28x+21y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時，截距最小，即z最小.解方程組 得點(diǎn)M( , )，

17、因此，當(dāng) , 時，z=28x+21y取最小值，最小值為16.由此可知每天食用食物A約143克，食物B約571克，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為16元.例題2：在上一節(jié)例題3中，各截這兩種鋼板多少張可得所需A 、B、C三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？解：設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，則且x，y都是整數(shù) 做出不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時，即z最小。解方程組得M的坐標(biāo)為。由于都不是整數(shù)，此問題中最優(yōu)解中橫縱坐標(biāo)都必須是整數(shù)，所以點(diǎn)不是最優(yōu)解。經(jīng)過可行域內(nèi)整點(diǎn)且使截距z最小的直線是，經(jīng)過的整點(diǎn)是B它們是最優(yōu)解。所以Zmin =答：略

18、五、 反饋測評求2求五 課堂小結(jié)1了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念。2了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題六 作業(yè)課本P93 習(xí)題3.3 A組 3、4題學(xué)校：二中 學(xué)科：數(shù)學(xué) 編寫人：郝福強(qiáng) 一審：王夢炬 二審：馬英濟(jì)332二元一次不等式（組）與平面區(qū)域課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、 預(yù)習(xí)目標(biāo)1了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念。2了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題二、預(yù)習(xí)內(nèi)容1.閱讀課本引例，回答下列問題線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)：線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目

19、標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解2.通過研究引例及例題5、6，你能總結(jié)出求線性規(guī)劃問題的最值或最優(yōu)解的步驟嗎？那些問題較難解決？課內(nèi)探究學(xué)案一、 學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念。2了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)： 用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解三、學(xué)習(xí)過程（一）自主

20、學(xué)習(xí)大家預(yù)習(xí)課本P87頁，并回答以下幾個問題：問題1. 線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)：線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解： (二) 合作探究，得出解決線性規(guī)劃問題的一般步驟（三）典型例題例1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 滿足約束條件解析：注意可行域的準(zhǔn)確畫出求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件解析：注意可行域的準(zhǔn)確性不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：從圖示可知，直線3x+5y=t在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時，以經(jīng)過點(diǎn)（-2，-1）的直線所對應(yīng)的t最小，以經(jīng)過點(diǎn)（）的直線所對應(yīng)的t最大.所以zmin=3(-2)+(-1)=-11.zmax=3+5=14例2. 有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸，每天每艘輪船和每架飛機(jī)的運(yùn)輸效果見表方式效果種類輪船運(yùn)輸量飛機(jī)運(yùn)輸量糧食石油現(xiàn)在要在一天內(nèi)運(yùn)輸至少糧食和石油，需至少安排多少