雙曲線的漸近線和離心率問題.doc

1、第30練雙曲線的漸近線和離心率問題題型分析高考展望雙曲線作為圓錐曲線三大題型之一，也是高考熱點(diǎn)，其性質(zhì)是考查的重點(diǎn)，尤其是離心率與漸近線.考查形式除?？嫉慕獯痤}外，也會在填空題中考查，一般為中等難度.熟練掌握兩種性質(zhì)的求法、用法是此類問題的解題之本.?？碱}型精析題型一雙曲線的漸近線問題例1(1)(2015重慶)設(shè)雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)是F，左，右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，若A1BA2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為_.(2)(2014江西)如圖，已知雙曲線C：y21(a0)的右焦點(diǎn)為F.點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，AFx軸，ABOB，BFOA(

2、O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求雙曲線C的方程；過C上一點(diǎn)P(x0，y0)(y00)的直線l：y0y1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x相交于點(diǎn)N.證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動時(shí)，恒為定值，并求此定值.點(diǎn)評(1)在求雙曲線的漸近線方程時(shí)要掌握其簡易求法.由yx00，所以可以把標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)中的“1”用“0”替換即可得出漸近線方程.(2)已知雙曲線漸近線方程：yx，可設(shè)雙曲線方程為 (0)，求出即得雙曲線方程.變式訓(xùn)練1(2014山東改編)已知ab0，橢圓C1的方程為1，雙曲線C2的方程為1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為_.題型二雙曲線的離心率問題例2(1)(2015湖北改編)將離心率為e1

3、的雙曲線C1的實(shí)半軸長a和虛半軸長b(ab)同時(shí)增加m(m0)個(gè)單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則下列命題正確的是_.對任意的a，b，e1e2；當(dāng)ab時(shí)，e1e2；當(dāng)ab時(shí)，e1e2；對任意的a，b，e1b時(shí)，e1e2；當(dāng)ae2.(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為F，以O(shè)F為直徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A、B，若()0，則雙曲線的離心率e為_.點(diǎn)評在研究雙曲線的性質(zhì)時(shí)，實(shí)半軸、虛半軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個(gè)重要內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多.由于e是一個(gè)比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a、b、c的一個(gè)關(guān)系式，利用b2c2a2消去b，然后變形求

4、e，并且需注意e1.同時(shí)注意雙曲線方程中x，y的范圍問題.變式訓(xùn)練2(2014湖南)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C1：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為e1；雙曲線C2：1的左、右焦點(diǎn)分別為F3、F4，離心率為e2.已知e1e2，且F2F41.(1)求C1，C2的方程；(2)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線OM與C2交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值.題型三雙曲線的漸近線與離心率的綜合問題例3(2014福建)已知雙曲線E：1(a0，b0)的兩條漸近線分別為l1：y2x，l2：y2x.(1)求雙曲線E的離心率；(2)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線l分

5、別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)(A，B分別在第一、四象限)，且OAB的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，請說明理由.點(diǎn)評解決此類問題：一是利用離心率公式，漸近線方程，斜率關(guān)系等列方程組.二是數(shù)形結(jié)合，由圖形中的位置關(guān)系，確定相關(guān)參數(shù)的范圍.變式訓(xùn)練3(2014浙江)設(shè)直線x3ym0(m0)與雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P(m,0)滿足PAPB，則該雙曲線的離心率是_.高考題型精練1.(2015課標(biāo)全國改編)已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若0，則y0的取

6、值范圍是_.2.(2015鎮(zhèn)江模擬)已知00，b0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為_.4.以橢圓1的右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線1的漸近線相切的圓的方程是_.5.已知雙曲線1(a0，b0)以及雙曲線1的漸近線將第一象限三等分，則雙曲線1的離心率為_.6.(2015鎮(zhèn)江模擬)已知雙曲線C：1 (a0，b0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若F2H的中點(diǎn)M在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為_.7.已知拋物線y28x的準(zhǔn)線過雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為_

7、.8.已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，且左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為底邊作正三角形，若雙曲線C與該正三角形兩腰的交點(diǎn)恰為兩腰的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為_.9.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1 (a0，b0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是_.10.過雙曲線1 (a0，b0)的左焦點(diǎn)F作圓x2y2a2的切線，切點(diǎn)為E，直線EF交雙曲線右支于點(diǎn)P，若()，則雙曲線的離心率是_.11.已知雙曲線1 (a0，b0)的一條漸近線方程為2xy0，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求此雙曲線的方程；

8、(2)設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求AOB的面積.12.(2015鹽城模擬)已知雙曲線1 (a0，b0)的右焦點(diǎn)為F(c,0).(1)若雙曲線的一條漸近線方程為yx且c2，求雙曲線的方程；(2)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過A作圓的切線，斜率為，求雙曲線的離心率.答案精析第30練雙曲線的漸近線和離心率問題常考題型典例剖析例1(1)1解析雙曲線1的右焦點(diǎn)F(c,0)，左，右頂點(diǎn)分別為A1(a，0)，A2(a,0)，易求B，C，則kA2C，kA1B，又A1B與A2C垂直，則有kA1BkA2C1，即1，1，a2b2

9、，即ab，漸近線斜率k1.(2)解設(shè)F(c,0)，因?yàn)閎1，所以c，直線OB的方程為yx，直線BF的方程為y(xc)，解得B(，)又直線OA的方程為yx，則A(c，)，kAB.又因?yàn)锳BOB，所以()1，解得a23，故雙曲線C的方程為y21.由知a，則直線l的方程為y0y1(y00)，即y.因?yàn)橹本€AF的方程為x2，所以直線l與AF的交點(diǎn)為M(2，)；直線l與直線x的交點(diǎn)為N(，)則.因?yàn)镻(x0，y0)是C上一點(diǎn)，則y1，代入上式得，即所求定值為.變式訓(xùn)練1xy0解析由題意知e1，e2，e1e2.又a2b2c，ca2b2，ca2b2，1()4，即1()4，解得，.令0，解得bxay0，xy0

10、.例2(1)(2)解析(1)由題意e1 ；雙曲線C2的實(shí)半軸長為am，虛半軸長為bm，離心率e2 .因?yàn)?，且a0，b0，m0，ab，所以當(dāng)ab時(shí)，0，即.又0，0，所以由不等式的性質(zhì)依次可得22,1212，所以，即e2e1；同理，當(dāng)ab時(shí)，0，可推得e2b時(shí)，e1e2；當(dāng)ae2.(2)如圖，設(shè)OF的中點(diǎn)為T，由()0可知ATOF，又A在以O(shè)F為直徑的圓上，A，又A在直線yx上，ab，e.變式訓(xùn)練2解(1)因?yàn)閑1e2，所以 ，即a4b4a4，因此a22b2，從而F2(b,0)，F(xiàn)4(b,0)，于是bbF2F41，所以b1，a22.故C1，C2的方程分別為y21，y21.(2)因AB不垂直于y軸

11、，且過點(diǎn)F1(1,0)，故可設(shè)直線AB的方程為xmy1.由得(m22)y22my10.易知此方程的判別式大于0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中點(diǎn)為M(，)，故直線PQ的斜率為，PQ的方程為yx.由得(2m2)x24，所以2m20，且x2，y2，從而PQ22.設(shè)點(diǎn)A到直線PQ的距離為d，則點(diǎn)B到直線PQ的距離也為d，所以2d.因?yàn)辄c(diǎn)A，B在直線mx2y0的異側(cè)，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，從而2d.又因?yàn)閨y1y2|

12、，所以2d.故四邊形APBQ的面積SPQ2d2.而02或k2，則C(，0)記A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y1，同理，得y2.由SOAB|OC|y1y2|，得|8，即m24|4k2|4(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因?yàn)?k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因?yàn)閙24(k24)，所以0，即l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為1.方法二由(1)知，雙曲線E的方程為1.設(shè)直線l的方程為xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依題意得m.由得y1，同理，得y2.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C，

13、則C(t,0)由SOABOC|y1y2|8，得|t|8.所以t24|14m2|4(14m2)由得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因?yàn)?m210，直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)64m2t216(4m21)(t2a2)0，即4m2a2t2a20，即4m2a24(14m2)a20，即(14m2)(a24)0，所以a24，因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為1.變式訓(xùn)練3解析雙曲線1的漸近線方程為yx.由得A(，)，由得B(，)，所以AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，)設(shè)直線l：x3ym0(m0)，因?yàn)镻APB，所以PCl，所以kPC3，化簡得a24b2.在雙曲線中，

14、c2a2b25b2，所以e.?？碱}型精練1.解析由題意知a，b1，c，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)的漸近線方程為yx，設(shè)直線方程為y(xc)，與yx聯(lián)立求得M，因?yàn)镸在圓外，所以滿足0，可得c220，解得e2.10.解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，連結(jié)PF1.由()知，E是FP的中點(diǎn)又O是FF1的中點(diǎn)，OEPF1，且OEPF1，易知OEFP，PF1FP，PF2PF1FF，PF1a，PF2aPF13a，9a2a2(2c)2，.11解(1)依題意得解得故雙曲線的方程為x21.(2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y2x，設(shè)A(m,2m)，B(n,2n)，其中m0，n0，由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x21，整理得mn1.設(shè)AOB2，tan2，則tan ，從而sin 2.又OAm，OBn，SAOBOAOBs