初一.一次方程與一次不等式

1、文件 sxjsck0018.doc 科目 數(shù)學(xué)關(guān)鍵詞 初一/方程/不等式標(biāo)題 一次方程與一次不等式內(nèi)容一次方程與一次不等式1.一次方程（組）一次方程（組）是最簡單的方程，是進一步研究函數(shù)、方程、不等式等的基礎(chǔ)，先看一個含字母系數(shù)的一元一次方程的討論.例1（第36屆美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題）設(shè)a，ab，b是實數(shù)，且a和a不為零，當(dāng)且僅當(dāng)（ ）時，ax+b=0的解小于ax+b=0的解（A）abab （B）abab （C）abab（D） （E）解 a0,ax+b=0的解是，a0,ax+b=0的解是，根據(jù)題意得.故應(yīng)選（E）.例2 （第4屆美國數(shù)學(xué)邀請賽試題）若x1,x2,x3,x4和x5滿足下列方程組：

2、確定3x4+2x5的值.解 將已知的五個方程加起來，然后，把所得方程的兩邊除以6得x1+x2+x3+x4+x5=31, (*)由第4、第5個方程分別減去方程（*），得x4=17, x5=65, 3x4+2x5=181說明，上面解答所提供的用31代換x1+x2+x3+x4+x5的整體代換方法是一種重要的解題策略.例3（1982年天津初中數(shù)學(xué)競賽題）已知關(guān)于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+52a=0，當(dāng)a每取一個值時就有一個方程，而這些方程有一個公共解，你能求出這個公共解，并證明對任何a值它都能使方程成立嗎？分析 依題意，即要證明存在一組與a無關(guān)的x，y的值，使等式(a-1)x+(

3、a+2)y+5-2a=0恒成立，令a取兩個特殊值（如a=1或a=-2），可得兩個方程，解由這兩個方程構(gòu)成的方程組得到一組解，再代入原方程驗證，如滿足方程則命題獲證，我們也可以這樣想：將原方程整理成為形如a(x+y-2)+(-x+2y+5)=0將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于字母a的一元一次方程，由題知該方程對a取任意值成立必須且只須x+y-2=0,同時-x+2y+5=0.聯(lián)立以上兩方程易得原方程的解.以上所提出的兩種解法將在本書的其它部分有更詳細(xì)的講述.2.一次不等式解一元一次不等式主要依據(jù)下列不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊加上（或減去）同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向；（2）不等式兩邊乘以（或除以）

4、同一個正數(shù)，所得不等式與原不等式同向；（3）不等式兩邊乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，所得不等式與原不等式反向.例4（上海1989年初二競賽題）如果關(guān)于x的不等式(2a-b)x+a-5b0的解為，那么關(guān)于x的不等式axb的解是多少？分析由(2a-b)x+a-5b0可得（2a-b）x5b-a,注意到題目已給出的解得知僅當(dāng)2a-b0時，有故，對不等式axb,當(dāng)a0時，x,a0,x例5（1973年加拿大中學(xué)生競賽題）求滿足|x+3|-|x-1|=x+1的一切實數(shù)解.分析 解絕對值方程的關(guān)鍵是去絕對值符號，令x+3=0,x-1=0，分別得x=-3,x=1,-3,1將全部實數(shù)分成3段：x-3或-3x1或x1，

5、然后在每一段上去絕對值符號解方程，例如，當(dāng)x-3時，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化為-x-3+x-1=x+1，x=-5，x=-5滿足x-3，故是原方程的一個解，求出每一段上的解，將它們合并，便得到原方程的全部解，這種方法叫做“零點”分段法，x=-3，x=1叫做零點.例6（1978年上海競賽題）解絕對值不等式|x-5|-|2x+3|1.解 令x-5=0,或2x=3=0,得x=5,或x=,它們將實數(shù)分成三部分，如圖4-1(此處無圖).原不等式的解由下面三個不等式組的解的全體組成：（）（）（）由（）得x-7;由（）得x5；由（）得x 5,所以原不等式的解為x-7或x.例7（197

6、8年廣東數(shù)學(xué)競賽試題）不等式|x|+|y|100的整數(shù)解有多少組（xy）？解 |x|+|y|100，0|x|99，0|y|99，故x、y分別可取-99到99之間的199個整數(shù)，且xy，現(xiàn)將所有可能的情況列有如下：（此處無表）故滿足不等式|x|+|y|100且xy的整數(shù)解組數(shù)為：198+2（1+3+99）+2（100+102+196）=198+=198+10050+29649=19702（組）.若有依次排列著的一列數(shù)，每后一個數(shù)與它前面一個數(shù)的差總等于一個常數(shù)，我們稱這一列數(shù)形成一個等差數(shù)列，依據(jù)這一概念我們來解答下面這個題目.例8（1988年日本大學(xué)入學(xué)試題）設(shè)有滿足1abc的四個數(shù)1，a，b

7、，c，其中兩兩之和組成的六個數(shù)各不相同，而把它們從小到大排起來形成一個等差數(shù)列，且其和為201，求a、b、c之值.解由條件知其兩兩之和為六個數(shù)，且有關(guān)系式1+a1+b1+c； a+ba+cb+c1+ba+b; 1+ca+c根據(jù)1+ c和a+b的大小關(guān)系可分為兩種情況：i)1+a1+b1+ca+ba+cb+c;ii)1+a1+ba+b1+ca+cb+c.在i)情況下，由等差數(shù)列性質(zhì)知(b+c)-(a+c)=(a+c)-(a+b) =(c+b)-(1+c)設(shè)公差為k，即b-ac-b=a+b-c-1=k從而有b=a+k c=b+k=a+2k 代入a+b-c-1=k中，得a+a+k-a-2k-1=k于

8、是a=2k+1 b=3k+1 c=4k+1又因為六個數(shù)之和為2，所以3(a+b+c+1)=20 a+b+c=66即(2k+1)+(3k+1)+(4k+1)=66 k=7a=15 b=22 c=29類似地在ii)情況下可解得a=10 b=19 c373.二元一次不定方程我們把形如ax+by=c(ab0)的方程叫做二元一次不定方程，在這里我們只研究方程系數(shù)a，b，c為整數(shù)的情況（以下不再作說明）.關(guān)于二元一次不定方程的整數(shù)解，有下面的簡單定理.定理1 若a，b的最大公約數(shù)d不能整除c，則方程ax+by=c沒有整數(shù)解.以下約定記號(a，b)=1表示整數(shù)a，b互質(zhì).定理2對于方程ax+by=c，(a，

9、b)=1如果(x0，y0)是方程的一組整數(shù)解，那么(t為整數(shù))是方程的全部整數(shù)解.我們不證明這兩個定理，定理的證明完全可以仿照下面例題的解答給出.例9x,y是滿足條件2x+3y=a的整數(shù)（a是整數(shù)），證明必存在一整數(shù)b，使x，y能表示為x-a+3b，y=a-2b的形式.證明：2x+3y=a， x，y是整數(shù).令，則y=a-2b.這時， 2x+3y=2(3b-a)+3(a-2b) =6b-2a+3a-6b=a這說明整數(shù)b能使x=-a+3b，y=a-2b滿足方程2x+3y=a.上面證明中用到的輾轉(zhuǎn)相除法實際上是解二元一次不定方程常用的方法.例10求37x+41y=1的一組整數(shù)解.解 37x+41y=

10、1 即為整數(shù)，這時x=+9+1=10，故x=10，y=-9是方程的一組整數(shù)解.說明：本題只要求求出一組整數(shù)解，依定理2這個方程的全部整數(shù)解為：（t為參數(shù)）例11 小張和他的朋友小王兩人都有工作，小張每工作八天后休息一天，小王每工作五天后休息一天，小張今天休息，小王明天休息，問他們哪天（如果有這一天的話）一同休息？解 出題設(shè)知小張工作周期是9天，小王工作周期是6天.如果他們在某天一同休息，則可設(shè)小張已工作了x周，小王已工作了y周，據(jù)題意列方程：9x-6y =1.顯然 3（9x-6y），3 1，所以方程無整數(shù)解，故小張和小王不可能同一天休息.例12 （中國古代數(shù)學(xué)問題）百錢買百雞，公雞每只值5錢，

11、母雞每只值3錢，雛雞每三只值1錢，問公、母、雛雞各買了幾只？解設(shè)買公、母、雛雞的數(shù)目分別為x、y、z只，則3-并化簡得7x+4y=100 由于（-1，2）是方程7x+4y=1的一組解，所以（-100，200）是方程的一組解，因此通解為: t=25，26，27，28，故公、母、雛雞的數(shù)量分別為（0，25，79），或（4，18，78）或（8，11，81）或（12，4，84）. 練 習(xí) 四1.選擇題（1）如果x-2,那么|1-|1+x|的值應(yīng)是（ ） (A)x (B)-x (C)2+x (D)-2-x（2）已知|x-1|+|x-2|-1，則x的值（ ） （A）只能為1 （B）只能為2 （C）可能為任

12、何實數(shù) （D）為滿足1x2的一切實數(shù)（3）（1987年全國競賽題）已知方程|x|=ax+1有一個負(fù)根而沒有正根，那么a的取值范圍是（ ） （A）a-1 (B)a=1 (C)a1 (D)非上述答案2.填空題（1）讀一本書，如一天讀80頁，需4天多讀完，如一天讀90頁，需3天多讀完，現(xiàn)為使每天讀的頁數(shù)與讀完的天數(shù)相等，則每天應(yīng)讀_頁.（2）某班學(xué)生不到50人，在一次測驗中，有的學(xué)生得優(yōu)，的學(xué)生得及格，則不及格的學(xué)生有_人.（3）（1989年上海初一試題），方程 并且abc0，那么x_（4）使得不等式3x-a0只有三個正整數(shù)解，那么這時正數(shù)a的取值范圍是_.3.解不等式a(x-a)x-1.4.|x-5|-|2x+3|1，求x的取值范圍.5.求11x+15y=7的全部整數(shù)解6.用一元錢買15張郵票，其中有4分，8分，1角的三種郵票，問有多少種買法？7.已知某個六位數(shù)的首位移到末位而其余數(shù)字不動，所得新數(shù)是原數(shù)的3倍，求原來的六位數(shù).8.（歐拉問題）一頭豬賣 銀幣，有人用100個銀幣賣了這