第四章桿件橫截面上的剪應力（材料力學課件）

1、第四章 桿件橫截面上的剪應力,4-1 圓軸扭轉時橫截面上的剪應力,受力特征：桿受一對大小相等、方向相反的 力偶，力偶作用面垂直于軸線。 變形特征：橫截面繞軸線轉動。,CL5TU2,外力偶矩的計算:,設某輪所傳遞的功率是N kW，軸的轉速是 n rpm,CL5TU18,GB3101-93中規(guī)定的數值方程式表示方法,例： 圖示傳動軸，主動輪A輸入功率NA=50 馬力，從動輪B、C、D輸出功率分別為 NB=NC=15馬力 ，ND=20馬力，軸的轉速為n=300轉/分。作軸的扭矩圖。,CL5TU3,扭矩和扭矩圖:,解：,薄壁圓筒的扭轉實驗:,CL5TU4,剪應力在截面上均勻分布，方向垂直于半徑,根據精

2、確的理論分析,當tr/10時,上式的誤差不超過4.52%,是足夠精確的。,剪應力互等定理 : 在相互垂直的兩個平面上,剪應力一定成對出現(xiàn)，其數值相等，方向同時指向或背離兩平面的交線。,剪切胡克定律:,CL5TU8,薄壁圓筒的實驗, 證實了剪應力與剪應變之間存在著象拉壓胡克定律類似的關系, 即當剪應力不超過材料的剪切比例極限p時,剪應力與剪應變成正比,G稱為材料的剪切彈性模量。上式關系稱為剪切胡克定律。,剪切彈性模量G 材料常數：拉壓彈性模量E 泊松比,對于各向同性材料,可以證明:E、G、 三個彈性常數之間存在著如下關系:,圓軸扭轉時的應力和變形:,一、圓軸扭轉時橫截面上的應力,變形幾何關系 從

3、三方面考慮：物理關系 靜力學關系,CL5TU5,觀察到下列現(xiàn)象: (1)各圓周線的形狀、大小以及兩圓周線間的距離沒有變化 (2)縱向線仍近似為直線, 但都傾斜了同一角度,1.變形幾何關系,平面假設： 變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉了一個角度。,CL5TU5,CL5TU5,根據剪切胡克定律, 當剪應力不超過材料的剪切比例極限時,剪應力方向垂直于半徑,2. 物理關系,3.靜力學關系,CL5TU9,二、圓軸扭轉時的變形,CL5TU5,圓軸扭轉時的強度條件和剛度條件,例：實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時，橫截面的最大剪應力是原來的 倍？圓軸的扭轉角是原來的 倍？,8

4、,16,例：圖示鑄鐵圓軸受扭時，在 面上發(fā)生斷裂，其破壞是由 應力引起的。在圖上畫出破壞的截面。,CL5TU10,45 螺旋,最大拉,例：一直徑為D1的實心軸，另一內外徑之比d2D20.8的空心軸，若兩軸橫截面上的扭矩相同，且最大剪應力相等。求兩軸外直徑之比D2/D1。,解：由,得：,例：在強度相同的條件下，用d/D=0.5的空心圓軸取代實心圓軸，可節(jié)省材料的百分比為多少?,解：設實心軸的直徑為 d1 ，由,得：,0.8,0.8,1.192,0.8,0.512,例：一厚度為30mm、內直徑為230mm 的空心圓管，承受扭矩T=180 kNm 。試求管中的最大剪應力，使用： (1)薄壁管的近似理

5、論； (2)精確的扭轉理論。,解：(1) 利用薄壁管的近似理論可求得,(2) 利用精確的扭轉理論可求得,例：一空心圓軸，內外徑之比為=0.5，兩端受扭轉力偶矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？（按強度計算）。,解：設空心圓軸的內、外徑原分別為d、D，面 積增大一倍后內外徑分別變?yōu)閐1 、 D1 ，最 大許可扭矩為1,例：一空心軸=d/D=0.8，轉速n=250r/m, 功率N=60kW，=40MPa，求軸的外直徑D和內直徑d。,解：,例：水平面上的直角拐，AB段為圓軸，直徑為 d，在端點C受鉛垂力P作用，材料的剪切彈性模量為G，

6、不計BC段變形。求C點的鉛垂位移。,CL5TU12,解：,例：已知一直徑d=50mm的鋼制圓軸在扭轉角為 6時，軸內最大剪應力等于90MPa，G=80GPa。求該軸長度。,解：,例：圓截面橡膠棒的直徑d=40mm,受扭后,原來表面上的圓周線和縱向線間夾角由 90變?yōu)?88。如桿長 l=300mm，試求兩端截面間的扭轉角；如果材料的剪變模量G=2.7MPa，試求桿橫截面上最大剪應力和桿端的外力偶矩。,CL5TU13,解：由,例：傳動軸傳遞外力偶矩5kNm,材料的=30MPa, G=80GPa, =0.5/m,試選擇軸的直徑。,解：,例：一圓鋼管套在一實心圓鋼軸上，長度均為，鋼管與鋼軸材料相同，先

7、在實心圓軸兩端加外力偶矩，使軸受扭后，在兩端把管與軸焊起來，去掉外力偶矩。求此外管與內軸的最大剪應力。,CL5TU14,解：外管與內軸承受的扭矩相等，設為T,例：兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C受外力偶矩m作用，試求桿兩端的支座反力偶矩。,CL5TU15,解：,靜力平衡方程為：,變形協(xié)調條件為：,即：,圓截面桿扭轉時的應力和變形公式,均建立在平面假設 的基礎上。 對于非圓截面桿,受扭時橫截面不再保持為平面，桿的橫截面已由原來的平面變成了曲面。這一現(xiàn)象稱為截面翹曲。 因此,圓軸扭轉時的應力、變形公式對非圓截面桿均不適用。,4-2 非圓截面桿扭轉剪應力,CL5TU20,非圓截面桿在扭轉時有兩種情形:,CL5TU21,1.自由扭轉或純扭轉 在扭轉過程中,桿的各橫截面的翹曲不受任何約束,任意兩相鄰橫截面的翹曲程度完全相同。此時橫截面只有剪應力,而沒有正應力。,2.約束扭轉 扭轉時,由于桿的端部支座的約束,使桿件截面翹曲受到一定限制,而引起任意兩相鄰橫截面的翹曲程度不同,將在橫截面上產生附加的正應力。,CL5TU21,對于矩形和橢圓形的實體截面桿，由于