誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三章

1、函數(shù)誤差 隨機(jī)誤差的合成 系統(tǒng)誤差的合成 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成 誤差分配 微小誤差取舍準(zhǔn)則 最佳測(cè)量方案的確定,第3章 誤差的合成與分配,合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理,引例一：要求測(cè)量一長(zhǎng)方體體積，V=abc。,？,引例二：用普通托盤(pán)天平和砝碼稱一鋼球質(zhì)量m。,？,誤差合成：多項(xiàng)誤差總誤差,引論,直接測(cè)量：直接用儀器測(cè)得被測(cè)量，不需將被 測(cè)量值與其它實(shí)測(cè)量值進(jìn)行某種函 數(shù)關(guān)系的計(jì)算。,間接測(cè)量：根據(jù)直接測(cè)得的量與被測(cè)量之間 的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出被測(cè)量。,函數(shù)誤差：由各個(gè)直接測(cè)量量誤差計(jì)算得到的被測(cè) 量誤差。,引論,函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算,1,函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算,2,誤差間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù),3,第

2、一節(jié)函數(shù)誤差,一、函數(shù)系統(tǒng)誤差的計(jì)算,代數(shù)和法,其中：,是各直接測(cè)量量的系統(tǒng)誤差,為各個(gè)輸入量在該測(cè)量點(diǎn),注：某單項(xiàng)誤差對(duì)總誤差的貢獻(xiàn)不僅取決于 該項(xiàng)誤差的大小，還與該項(xiàng)誤差的傳遞 系數(shù)有關(guān)。,處的誤差傳遞系數(shù)。,例1：若,例2：若,一、函數(shù)系統(tǒng)誤差的計(jì)算,三、函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算,目標(biāo)：確定,推導(dǎo)：,因,第i個(gè)直接測(cè)得量 的標(biāo)準(zhǔn)差,第i個(gè)測(cè)量值和第j個(gè)測(cè)量值之間的誤差相關(guān)系數(shù),第i個(gè)測(cè)量值和第j個(gè)測(cè)量值之間的協(xié)方差,方和根法,三、函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算,1、若各測(cè)量值的誤差相互獨(dú)立，則可認(rèn)為 ，那么,當(dāng)各個(gè)測(cè)量值的隨機(jī)誤差分布相同,且極限誤差的置信 概率都相同,則 ，有,三、函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算,討

3、論:,2、特例：,三、函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算,四、實(shí)例分析,用弓高弦長(zhǎng)法間接測(cè)量大工件直徑，如圖。 車(chē)間工人用一把卡尺量得弓高 ，弦 長(zhǎng) ，,經(jīng)檢驗(yàn)部門(mén)檢定，已知,設(shè)測(cè)量誤差相互獨(dú)立，均為正態(tài)分布，求D測(cè)量結(jié)果,解：1）建立大直徑測(cè)量數(shù)學(xué)模型,2）若不考慮測(cè)得值誤差，計(jì)算直徑D0,3）計(jì)算D的系統(tǒng)誤差,）計(jì)算D的隨機(jī)誤差,）寫(xiě)出測(cè)量結(jié)果,？,誤差=測(cè)得值-真值,四、實(shí)例分析,(一）相關(guān)系數(shù)對(duì)函數(shù)誤差的影響,反映了各隨機(jī)誤差分量相互間的線性相關(guān)性。,函數(shù)隨機(jī)誤差公式,五、誤差見(jiàn)的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù),(二）誤差間的線性相關(guān)關(guān)系,指誤差間具有線性依賴關(guān)系，有強(qiáng)有弱。,五、誤差見(jiàn)的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù),=1

4、或-1,=0.5或-0.5,=0,斷定 與 兩分量之間沒(méi)有相互依賴關(guān)系的影響,當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量呈正負(fù)交替變化，反之亦然,與 屬于完全不相干的兩類(lèi)體系分量，如人員操作引起的誤差分量與環(huán)境濕度引起的誤差分量,與 雖相互有影響，但其影響甚微，視為可忽略不計(jì)的弱相關(guān),1、直接判斷法,(三）相關(guān)系數(shù)的確定,五、誤差見(jiàn)的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù),或,斷定 與 兩分量間近似呈現(xiàn)正的線性關(guān)系或負(fù)的線性關(guān)系；,當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量依次增大或減小，反之亦然；,與 屬于同一體系的分量，如用1m基準(zhǔn)尺測(cè)2m尺，則各米分量間完全正相關(guān)。,五、誤差見(jiàn)的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù),2、試樣觀察法和簡(jiǎn)略

5、計(jì)算法,（1） 觀察法,（2） 簡(jiǎn)單計(jì)算法,其中，,n2,n3,n4,n1,0,（3） 直接計(jì)算法,根據(jù) 的多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值 ，按如下統(tǒng)計(jì)公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)：,五、誤差見(jiàn)的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù),、 分別為 、 的算術(shù)平均值,（4） 理論計(jì)算法,五、誤差見(jiàn)的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù),根據(jù)概率論和最小二乘法直接求出。,標(biāo)準(zhǔn)差合成,極限誤差合成,解決隨機(jī)誤差的合成問(wèn)題一般基于標(biāo)準(zhǔn)差方和根合成的方法，其中還要考慮到誤差傳播系數(shù)以及各個(gè)誤差之間的相關(guān)性影響。,隨機(jī)誤差的合成形式包括：,第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成,一、標(biāo)準(zhǔn)差合成,誤差傳播系數(shù),由間接測(cè)量的顯函數(shù)模型求得,根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)給出,知道影響測(cè)量結(jié)果的誤差因素 而不

6、知道每個(gè) 和,第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成,當(dāng)誤差傳播系數(shù) ，且各相關(guān)系數(shù)均可視為0的情形,若各個(gè)誤差互不相關(guān)，即相關(guān)系數(shù),簡(jiǎn)單方便，而且無(wú)論各單項(xiàng)隨機(jī)誤差的概率分布如何，只要給出各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，均可計(jì)算出總的標(biāo)準(zhǔn)差。,第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成,二、極限誤差合成,單項(xiàng)極限誤差:,單項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差,單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù),合成極限誤差:,合成標(biāo)準(zhǔn)差,合成極限誤差的置信系數(shù),合成極限誤差計(jì)算公式,第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成,根據(jù)已知的各單項(xiàng)極限誤差和所選取的各個(gè)置信系數(shù)，即可進(jìn)行極限誤差的合成。,各個(gè)置信系數(shù) 、 不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān)。,對(duì)于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置

7、信系數(shù)相同。,對(duì)于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)也不相同。,注意：,第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成,當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，各單項(xiàng)誤差的數(shù)目q較多、各項(xiàng)誤差大小相近和獨(dú)立時(shí)，此時(shí)合成的總誤差接近于正態(tài)分布。,合成極限誤差：,若 ：,各單項(xiàng)誤差大多服從正 態(tài)分布 或近似服從正態(tài) 分布，而且他們之間常 是線性無(wú)關(guān)或近似線性 無(wú)關(guān)，是較為廣泛使用 的極限誤差合成公式,第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成,第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成,一、已定系統(tǒng)誤差的合成,系統(tǒng)誤差的分類(lèi)：,1） 已定系統(tǒng)誤差 2） 未定系統(tǒng)誤差,定義：誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差 表示符號(hào)：,合成方法：按照代數(shù)和法進(jìn)

8、行合成,系統(tǒng)誤差可以在測(cè)量過(guò)程中消除，也可在合成后在測(cè)量結(jié)果中消除。,二、未定系統(tǒng)誤差的合成,定義：誤差大小和方向未能確切掌握，或者不須花費(fèi)過(guò)多 精力去掌握，而只能或者只需估計(jì)出其不致超過(guò)某 一范圍 e 的系統(tǒng)誤差。,特征： 1） 單項(xiàng)系統(tǒng)誤差不具有抵償性，若干項(xiàng)綜合作用時(shí)，就具有一定的抵償作用。 2） 當(dāng)測(cè)量條件改變時(shí)，未定系統(tǒng)誤差的取值在某極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，且服從一定的概率分布。,表示符號(hào)： 極限誤差：e 標(biāo)準(zhǔn)差：u,第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成,1、標(biāo)準(zhǔn)差合成,完全可以采用隨機(jī)誤差的合成公式。,若測(cè)量過(guò)程中有 s 個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 u1，u2，us，其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)

9、為a1，a2，as ，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)差 u 為:,第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成,當(dāng) ij=0 時(shí),則由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：,2、極限誤差的合成,因?yàn)楦鱾€(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為:,若總的未定系統(tǒng)誤差極限誤差表示為：,第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成,由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差極限誤差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：,當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且相互間獨(dú)立無(wú)關(guān)，即 ，則上式可簡(jiǎn)化為：,第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成,一、按極限誤差合成,測(cè)量過(guò)程中，假定有 r 個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，s 個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q 個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差。它們的誤差值或極限誤差為：,1、單次測(cè)量

10、情況,若各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取 1，則測(cè)量結(jié)果總的極限誤差為：,R 為各個(gè)誤差之間的協(xié)方差之和。,第四節(jié)系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成,當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，測(cè)量結(jié)果總的極限誤差可簡(jiǎn)化為：,一般情況下，已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，測(cè)量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機(jī)誤差的均方根值，即：,第四節(jié)系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成,2、n 次重復(fù)測(cè)量情況,當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行 n 次重復(fù)測(cè)量時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有抵償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在抵償性，總誤差合成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù) n 。,總極限誤差變?yōu)椋?第四節(jié)系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成,二、按標(biāo)準(zhǔn)差合成,

11、測(cè)量過(guò)程中，假定有 s 個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q 個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,1、單次測(cè)量情況,若各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取 1，則測(cè)量結(jié)果總的極限誤差為：,第四節(jié)系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成,2、n 次重復(fù)測(cè)量情況,當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行 n 次重復(fù)測(cè)量時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有抵償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在抵償性，總誤差合成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù) n 。,總極限誤差變?yōu)椋?第四節(jié)系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成,【例】 萬(wàn)能工具顯微鏡，影像法， ， 工件高度 。,序號(hào),1,2,3,4,5,6,誤差因素,極限誤差,隨機(jī)誤差,未定系統(tǒng)誤差,備注,阿貝誤差,光學(xué)刻尺刻度誤差,溫度誤差,讀數(shù)

12、誤差,瞄準(zhǔn)誤差,光學(xué)刻尺檢定誤差,0.8,1,0.5,0.35,1.25,1,未修正時(shí)計(jì)入總誤差,修正時(shí)計(jì)入總誤差,第四節(jié)系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成,第四節(jié)系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成,X、Y坐標(biāo)示值誤差(m):,(3+L/50）mm,【解】,兩次測(cè)量結(jié)果的平均值為:,根據(jù)萬(wàn)能工具顯光學(xué)刻線尺的刻度誤差表，查得在 50mm范圍內(nèi)的誤差 =-0.0008mm ，此項(xiàng)誤差為已定系統(tǒng)誤差，應(yīng)予修正。則測(cè)量結(jié)果為：,在萬(wàn)工顯上用影像法測(cè)量平面工件尺寸時(shí)，其主要誤差分析如下：,第四節(jié)系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成,1）讀數(shù)誤差： 2）瞄準(zhǔn)誤差：,2、未定系統(tǒng)誤差,1）阿貝誤差： 2）刻尺刻度誤差：,3）溫度誤差：,

13、4）光學(xué)刻度尺的檢定誤差：,1、隨機(jī)誤差,第四節(jié)系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成,3、計(jì)算測(cè)量值及其誤差 計(jì)算測(cè)量值的誤差時(shí)有兩種方法：,未修正光學(xué)刻尺刻度誤差：,測(cè)量結(jié)果可表示為：,已修正光學(xué)刻尺刻度誤差：,第四節(jié)系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成,測(cè)量結(jié)果可表示為：,【例】 TC328B型天平，三等標(biāo)準(zhǔn)砝碼，稱鋼球質(zhì)量，一次稱量 ，求測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。,(1)隨機(jī)誤差:,天平示值變動(dòng)性所引起的誤差：,(2)未定系統(tǒng)誤差:,砝碼誤差:,第四節(jié)系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成, 天平示值誤差,三項(xiàng)誤差互不相關(guān)，且各個(gè)誤差傳播系數(shù)均為1，因此誤差合成后可得到測(cè)量結(jié)果的總標(biāo)準(zhǔn)差為,最后測(cè)量結(jié)果應(yīng)表示為（倍標(biāo)準(zhǔn)差）：,第四節(jié)

14、系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成,第五節(jié)誤差分配,誤差分配：,式中， 稱為部分誤差或局部誤差,給定測(cè)量結(jié)果允許的總誤差，合理確定各個(gè)單項(xiàng)誤差。 隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差同等看待。,若已經(jīng)給定 ，如何確定 Di 或相應(yīng)的 i ,使其滿足,目標(biāo)：,一、按等作用原則分配誤差,等作用原則：,各分項(xiàng)誤差對(duì)總誤差的影響相等，即,或用極限誤差表示：,第五節(jié)誤差分配,二、按可能性調(diào)整誤差,按等影響原則分配誤差的不合理性 在等影響原則分配誤差的基礎(chǔ)上，根據(jù)具體情況 進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。對(duì)難以實(shí)現(xiàn)測(cè)量的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò) 大，對(duì)容易實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)盡可能縮小，其余誤差 項(xiàng)不予調(diào)整。,第五節(jié)誤差分配,三、驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差,按照誤差合成公式

15、計(jì)算實(shí)際總誤差，與要求的總誤差進(jìn)行比較，直到滿足要求為止。若超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項(xiàng)再進(jìn)行縮小。若實(shí)際總誤差較小，可適當(dāng)擴(kuò)大難以實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)的誤差,【例】測(cè)量一圓柱體的體積時(shí)，可間接測(cè)量圓柱直徑 D 及高度 h，根據(jù)函數(shù)式,求得體積 V ，若要求測(cè)量體積的相對(duì)誤差為1，已知直徑和高度的公稱值分別為 ， 試確定直徑 D 及高度 h 的準(zhǔn)確度。,第五節(jié)誤差分配,【解】,計(jì)算體積,體積的絕對(duì)誤差:,一、按等影響分配原則分配誤差 測(cè)量直徑 D 與高度 h 的極限誤差:,第五節(jié)誤差分配,查資料，用分度值為0.1mm的游標(biāo)卡尺測(cè)高 ，在50mm測(cè)量范圍內(nèi)的極限誤差為，用0.02mm的

16、游標(biāo)卡尺測(cè)直徑，在20mm范圍內(nèi)的極限誤差為 。,用這兩種量具測(cè)量的體積極限誤差為,因?yàn)?二、調(diào)整后的測(cè)量極限誤差,采用的量具準(zhǔn)確度偏高，選得不合理，應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整。若改用分度值為0.05mm的游標(biāo)卡尺來(lái)測(cè)量直徑和高度，在50mm測(cè)量范圍內(nèi)的極限誤差為 。此時(shí)測(cè)量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從測(cè)量高度允許的多余部分得到補(bǔ)償。,第五節(jié)誤差分配,調(diào)整后的實(shí)際測(cè)量極限誤差為,因?yàn)?因此調(diào)整后用一把游標(biāo)卡尺測(cè)量直徑和高度即能保證測(cè)量準(zhǔn)確度。,第五節(jié)誤差分配,微小誤差,對(duì)測(cè)量結(jié)果總誤差的影響可以忽略不計(jì)的誤差。,已知測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差：,若將其中的部分誤差取出后，則得,如果 ，則

17、稱為微小誤差。,第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則,測(cè)量誤差的有效數(shù)字取一位：,某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿足：,或,測(cè)量誤差的有效數(shù)字取二位：,或,微小誤差取舍準(zhǔn)則： 對(duì)于隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，被舍去的誤差應(yīng)小于 或等于測(cè)量結(jié)果的十分之一到三分之一。,某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿足：,第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則,計(jì)算總誤差或進(jìn)行誤差分配時(shí)，若發(fā)現(xiàn)有微小誤差，可不靠慮該項(xiàng)誤差對(duì)總誤差的影響。 選擇高一級(jí)精度的標(biāo)準(zhǔn)器具時(shí)，其誤差一般應(yīng)為被檢器具允許誤差的1/103/10。,應(yīng)用：,第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則,最佳測(cè)量方案的確定：,當(dāng)測(cè)量結(jié)果與多個(gè)測(cè)量因素有關(guān)時(shí)，采用什么方法確定各個(gè)因素，才能使測(cè)量結(jié)果的誤差最小。設(shè)計(jì)最佳測(cè)量

18、方案時(shí)，只需考慮隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差的影響。,研究間接測(cè)量中使函數(shù)誤差為最小的最佳測(cè)量方案。函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為：,欲使 為最小，可從哪幾方面來(lái)考慮？,研究對(duì)象和目標(biāo)：,第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定,一、選擇最佳函數(shù)誤差公式,間接測(cè)量中如果可由不同的函數(shù)公式來(lái)表示，則應(yīng)選取包含直接測(cè)量值最小的函數(shù)公式。不同的數(shù)學(xué)公式所包含的直接測(cè)量值數(shù)目相同，則應(yīng)選取誤差較小的直接測(cè)量值的函數(shù)公式。,【例】用分度值為O.05mm游標(biāo)卡尺測(cè)量?jī)奢S的中心距L，試選擇最佳測(cè)量方案。,已知測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差:,第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定,L,L,L,d,d,1,2,1,2,方法一 ：測(cè)量?jī)奢S直徑 d1、d2 和外尺寸 L1,結(jié)論：方

19、法三誤差最小，方法二誤差最大，因?yàn)榉椒ㄈ?函數(shù)式最簡(jiǎn)單，而方法二包含的直接量較多。,方法二 ：測(cè)量?jī)奢S直徑 d1、d2 和外尺寸 L2,方法三 ：測(cè)量?jī)?nèi)尺寸 L2 和外尺寸 L,第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定,二、使誤差傳播系數(shù)盡量小,【例】用弓高弦長(zhǎng)法測(cè)量工件直徑，已知其函數(shù)式為:,試確定最佳測(cè)量方案。,【解】由函數(shù)式求得函數(shù)誤差的誤差表達(dá)式：,第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定,D,2,l,h,欲使 為最小，必須滿足：,1、使 滿足此條件，必須 ，但由圖中幾何關(guān)系可知，此時(shí)有 ，因而無(wú)實(shí)際意義。,2、使 為最小 若滿足 為最小，則 值愈大愈好，即 值愈接近直徑愈好。,3、使 滿足此條件，必須使 ，即要求直接測(cè)量直徑，才能消除 對(duì)函數(shù)誤差 的影響。,第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定,由上述分析可知，欲使為 最小，必須測(cè)量直徑，此時(shí)弓高的測(cè)量誤差 已不影響直徑的測(cè)量準(zhǔn)確度，而只有弦長(zhǎng)的測(cè)量誤差 影響直徑的測(cè)量準(zhǔn)確度。但對(duì)大直徑