中考數(shù)學(xué)與圓有關(guān)的壓軸題

1、.中考數(shù)學(xué)與圓有關(guān)的壓軸題（解答題部分3）11（2014四川成都,第27題10分）如圖，在O的內(nèi)接ABC中，ACB=90，AC=2BC，過(guò)C作AB的垂線l交O于另一點(diǎn)D，垂足為E設(shè)P是上異于A，C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交l于點(diǎn)F，連接PC與PD，PD交AB于點(diǎn)G（1）求證：PACPDF；（2）若AB=5，=，求PD的長(zhǎng)；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)=x，tanAFD=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）考點(diǎn)：圓的綜合題分析：（1）證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個(gè)角相等或邊長(zhǎng)成比例因?yàn)轭}中因圓周角易知一對(duì)相等的角，那么另一對(duì)角相等就是我們需要努力的方向，因?yàn)樯婕皥A，傾向于找接近圓的角

2、DPF，利用補(bǔ)角在圓內(nèi)作等量代換，等弧對(duì)等角等知識(shí)易得DPF=APC，則結(jié)論易證（2）求PD的長(zhǎng)，且此線段在上問(wèn)已證相似的PDF中，很明顯用相似得成比例，再將其他邊代入是應(yīng)有的思路利用已知條件易得其他邊長(zhǎng)，則PD可求（3）因?yàn)轭}目涉及AFD與也在第一問(wèn)所得相似的PDF中，進(jìn)而考慮轉(zhuǎn)化，AFD=PCA，連接PB得AFD=PCA=PBG，過(guò)G點(diǎn)作AB的垂線，若此線過(guò)PB與AC的交點(diǎn)那么結(jié)論易求，因?yàn)楦鶕?jù)三角函數(shù)或三角形與三角形ABC相似可用AG表示PBG所對(duì)的這條高線但是“此線是否過(guò)PB與AC的交點(diǎn)”？此時(shí)首先需要做的是多畫幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，觀察我們的猜想驗(yàn)證得我們的猜想應(yīng)是正確的，可是證明不能靠畫圖，

3、如何求證此線過(guò)PB與AC的交點(diǎn)是我們解題的關(guān)鍵常規(guī)作法不易得此結(jié)論，我們可以換另外的輔助線作法，先做垂線，得交點(diǎn)H，然后連接交點(diǎn)與B，再證明HBG=PCA=AFD因?yàn)镃、D關(guān)于AB對(duì)稱，可以延長(zhǎng)CG考慮P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)根據(jù)等弧對(duì)等角，可得HBG=PCA，進(jìn)而得解題思路解答：（1）證明：，DPF=180APD=180所對(duì)的圓周角=180所對(duì)的圓周角=所對(duì)的圓周角=APC在PAC和PDF中，PACPDF（2）解：如圖1，連接PO，則由，有POAB，且PAB=45，APO、AEF都為等腰直角三角形在RtABC中，AC=2BC，AB2=BC2+AC2=5BC2，AB=5，BC=，AC=2，CE=ACsin

4、BAC=AC=2=2， AE=ACcosBAC=AC=2=4，AEF為等腰直角三角形，EF=AE=4，F(xiàn)D=FC+CD=（EFCE）+2CE=EF+CE=4+2=6APO為等腰直角三角形，AO=AB=，AP=PDFPAC，PD=（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)G作GHAB，交AC于H，連接HB，以HB為直徑作圓，連接CG并延長(zhǎng)交O于Q，HCCB，GHGB，C、G都在以HB為直徑的圓上，HBG=ACQ，C、D關(guān)于AB對(duì)稱，G在AB上，Q、P關(guān)于AB對(duì)稱，PCA=ACQ，HBG=PCAPACPDF，PCA=PFD=AFD，y=tanAFD=tanPCA=tanHBG=HG=tanHAGAG=tanBACAG

5、=，y=x點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角、相似三角形、三角函數(shù)等性質(zhì)，前兩問(wèn)思路還算簡(jiǎn)單，但最后一問(wèn)需要熟練的解題技巧需要長(zhǎng)久的磨練總結(jié)總體來(lái)講本題偏難，學(xué)生練習(xí)時(shí)加強(qiáng)理解，重點(diǎn)理解分析過(guò)程，自己如何找到思路12. （2014湖北荊門,第24題12分）如圖，已知：在矩形ABCD的邊AD上有一點(diǎn)O，OA=，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，交AD于M，恰好與BD相切于H，過(guò)H作弦HPAB，弦HP=3若點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與C，D不重合），過(guò)E作直線EFBD交BC于F，再把CEF沿著動(dòng)直線EF對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G設(shè)CE=x，EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S（1）求證：四邊形ABHP是菱形；（2）

6、問(wèn)EFG的直角頂點(diǎn)G能落在O上嗎？若能，求出此時(shí)x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出FG與O相切時(shí)，S的值第3題圖考點(diǎn)：圓的綜合題；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性質(zhì)；垂徑定理；切線的性質(zhì)；切線長(zhǎng)定理；軸對(duì)稱的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值所有專題：壓軸題分析：（1）連接OH，可以求出HOD=60，HDO=30，從而可以求出AB=3，由HPAB，HP=3可證到四邊形ABHP是平行四邊形，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得BA=BH，即可證到四邊形ABHP是菱形（2）當(dāng)點(diǎn)G落到AD上時(shí)，可以證到點(diǎn)G與點(diǎn)M重合，可求出x=2（3）當(dāng)0x2時(shí)，如圖，S=SEGF，只需求出F

7、G，就可得到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)2x3時(shí)，如圖，S=SGEFSSGR，只需求出SG、RG，就可得到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式當(dāng)FG與O相切時(shí)，如圖，易得FK=AB=3，KQ=AQAK=22+x再由FK=KQ即可求出x，從而求出S解答：解：（1）證明：連接OH，如圖所示四邊形ABCD是矩形，ADC=BAD=90，BC=AD，AB=CDHPAB，ANH+BAD=180ANH=90HN=PN=HP=OH=OA=，sinHON=HON=60BD與O相切于點(diǎn)H，OHBDHDO=30OD=2AD=3BC=3BAD=90，BDA=30tanBDA=AB=3HP=3，AB=HPABHP，四邊形ABHP是平行

8、四邊形BAD=90，AM是O的直徑，BA與O相切于點(diǎn)ABD與O相切于點(diǎn)H，BA=BH平行四邊形ABHP是菱形（2）EFG的直角頂點(diǎn)G能落在O上如圖所示，點(diǎn)G落到AD上EFBD，F(xiàn)EC=CDBCDB=9030=60，CEF=60由折疊可得：GEF=CEF=60GED=60CE=x，GE=CE=xED=DCCE=3xcosGED=x=2GE=2，ED=1GD=OG=ADAOGD=3=OG=OM點(diǎn)G與點(diǎn)M重合此時(shí)EFG的直角頂點(diǎn)G落在O上，對(duì)應(yīng)的x的值為2當(dāng)EFG的直角頂點(diǎn)G落在O上時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值為2（3）如圖，在RtEGF中，tanFEG=FG=xS=GEFG=xx=x2如圖，ED=3x，RE=

9、2ED=62x，GR=GEER=x（62x）=3x6tanSRG=，SG=（x2）SSGR=SGRG=（x2）（3x6）=（x2）2SGEF=x2，S=SGEFSSGR=x2（x2）2=x2+6x6綜上所述：當(dāng)0x2時(shí)，S=x2；當(dāng)2x3時(shí)，S=x2+6x6當(dāng)FG與O相切于點(diǎn)T時(shí)，延長(zhǎng)FG交AD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)F作FKAD，垂足為K，如圖所示四邊形ABCD是矩形，BCAD，ABC=BAD=90AQF=CFG=60OT=，OQ=2AQ=+2FKA=ABC=BAD=90，四邊形ABFK是矩形FK=AB=3，AK=BF=3xKQ=AQAK=（+2）（3x）=22+x在RtFKQ中，tanFQK=FK=Q

10、K3=（22+x）解得：x=3032，S=x2=（3）2=6FG與O相切時(shí)，S的值為6點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、垂徑定理、軸對(duì)稱性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性非常強(qiáng)13（2014萊蕪，第23題10分）如圖1，在O中，E是弧AB的中點(diǎn)，C為O上的一動(dòng)點(diǎn)（C與E在AB異側(cè)），連接EC交AB于點(diǎn)F，EB=（r是O的半徑）（1）D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若DC=DF，證明：直線DC與O相切；（2）求EFEC的值；（3）如圖2，當(dāng)F是AB的四等分點(diǎn)時(shí)，求EC的值考點(diǎn)：圓的綜合題.專題：綜合題分析：（1）連結(jié)OC

11、、OE，OE交AB于H，如圖1，由E是弧AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論得到OEAB，則HEF+HFE=90，由對(duì)頂相等得HFE=CFD，則HEF+CFD=90，再由DC=DF得CFD=DCF，加上OCE=OEC，所以O(shè)CE+DCE=HEF+CFD=90，于是根據(jù)切線的判定定理得直線DC與O相切；（2）由弧AE=弧BE，根據(jù)圓周角定理得到ABE=BCE，加上FEB=BEC，于是可判斷EBFECB，利用相似比得到EFEC=BE2=（r）2=r2；（3）如圖2，連結(jié)OA，由弧AE=弧BE得AE=BE=r，設(shè)OH=x，則HE=rx，根據(jù)勾股定理，在RtOAH中有AH2+x2=r2；在RtEAH中由AH

12、2+（rx）2=（r）2，利用等式的性質(zhì)得x2（rx）2=r2（r）2，即得x=r，則HE=rr=r，在RtOAH中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AH=，由OEAB得AH=BH，而F是AB的四等分點(diǎn)，所以HF=AH=，于是在RtEFH中可計(jì)算出EF=r，然后利用（2）中的結(jié)論可計(jì)算出EC解答：（1）證明：連結(jié)OC、OE，OE交AB于H，如圖1，E是弧AB的中點(diǎn)，OEAB，EHF=90，HEF+HFE=90，而HFE=CFD，HEF+CFD=90，DC=DF，CFD=DCF，而OC=OE，OCE=OEC，OCE+DCE=HEF+CFD=90，OCCD，直線DC與O相切；（2）解：連結(jié)BC，E是弧AB的中點(diǎn)

13、，弧AE=弧BE，ABE=BCE，而FEB=BEC，EBFECB，EF：BE=BE：EC，EFEC=BE2=（r）2=r2；（3）解：如圖2，連結(jié)OA，弧AE=弧BE，AE=BE=r，設(shè)OH=x，則HE=rx，在RtOAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，在RtEAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（rx）2=（r）2，x2（rx）2=r2（r）2，即得x=r，HE=rr=r，在RtOAH中，AH=，OEAB，AH=BH，而F是AB的四等分點(diǎn)，HF=AH=，在RtEFH中，EF=r，EFEC=r2，rEC=r2，EC=r點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論

14、、切線的判定定理和圓周角定理；會(huì)利用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算，利用相似三角形的知識(shí)解決有關(guān)線段等積的問(wèn)題14. （2014樂(lè)山，第26題12分）如圖，O1與O2外切與點(diǎn)D，直線l與兩圓分別相切于點(diǎn)A、B，與直線O1、O2相交于點(diǎn)M，且tanAM01=，MD=4（1）求O2的半徑；（2）求ADB內(nèi)切圓的面積；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)P，使MO2P相似于MDB？若存在，求出PO2的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：圓的綜合題.專題：綜合題分析：（1）連結(jié)O1A、O2B，設(shè)O1的半徑為r，O2的半徑為R，根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)得到直線O1O2過(guò)點(diǎn)D，則MO2=MD+O2D=4+R，再根據(jù)切線的性質(zhì)由直線l與兩

15、圓分別相切于點(diǎn)A、B得到O1AAB，O2BAB，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到AM01=30，在RtMBO2中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得MO2=O2B=2R，于是有4+R=2R，解得R=4；（2）利用互余由AM02=30得到MO2B=60，則可判斷O2BD為等邊三角形，所以BD=O2B=4，DBO2=60，于是可計(jì)算出ABD=30，同樣可得MO1A=60，利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算得O1AD=MO1A=30，則DAB=60，所以ADB=90，在RtABD中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AD=BD=4，AB=2AD=8，利用直角三角形內(nèi)切圓的半徑公式得到ADB內(nèi)切圓的半徑=22

16、，然后根據(jù)圓的面積公式求解；（3）先在RtMBO2中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得MB=O2B=12，然后分類討論：MO2P與MDB有一個(gè)公共角，當(dāng)MO2PMDB時(shí)，利用相似比可計(jì)算出O2P=8；當(dāng)MO2PMBD時(shí)，利用相似比可計(jì)算出O2P=8解答：解：（1）連結(jié)O1A、O2B，如圖，設(shè)O1的半徑為r，O2的半徑為R，O1與O2外切與點(diǎn)D，直線O1O2過(guò)點(diǎn)D，MO2=MD+O2D=4+R，直線l與兩圓分別相切于點(diǎn)A、B，O1AAB，O2BAB，tanAM01=，AM01=30，在RtMBO2中，MO2=O2B=2R，4+R=2R，解得R=4，即O2的半徑為4；（2）AM02=30，MO2B=60，而O2B=O2D，O2BD為等邊三角形，BD=O2B=4，DBO2=60，ABD=30，AM01=30，MO1A=60，而O1A=O1D，O1AD=O1DA，O1AD=MO1A=30，DAB=60，AD