畫樹狀圖求概率

1、一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其 ，稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記為,1.概率的定義：,發(fā)生可能性大小的數(shù)值,P(A).,2、等可能試驗有兩個共同點： 1.每一次試驗中,可能出現(xiàn)的結(jié)果是 ； 2.每一次試驗中,出現(xiàn)的結(jié)果 .,有限個,可能性相等,3、一般地,如果一次試驗中,有 ,并且它們發(fā)生的可能性都相等.事件A包含其中的 .那么事件A發(fā)生的概率.,n種可能的結(jié)果,m種結(jié)果,P(A)=,0P(A)1,概率的范圍:,1、一張圓桌旁有4個座位，A先坐在如圖所示的位置上，B、C、D隨機地坐到其它三個座位上，求A與B不相鄰而坐的概率。,解：按逆時針共有下列六種不同的坐法：ABCD、ABDC、AC

2、BD、ACDB、ADBC、ADCB 而A與B不相鄰的有2種，所以A與B不相鄰而坐的概率為,“配紫色”游戲,小穎為學校聯(lián)歡會設(shè)計了一個“配紫色”游戲:下面是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤,每個轉(zhuǎn)盤被分成相等的幾個扇形.,游戲規(guī)則是:游戲者同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤,如果轉(zhuǎn)盤A轉(zhuǎn)出了紅色,轉(zhuǎn)盤B轉(zhuǎn)出了藍色,那么他就贏了,因為紅色和藍色在一起配成了紫色.,(1)利用列表的方法表示游戲者所有可能出現(xiàn)的結(jié)果. (2)游戲者獲勝的概率是多少?,表格可以是：,“配紫色”游戲,游戲者獲勝的概率是1/6.,黃,藍,綠,紅,(紅,黃),(紅,藍),(紅,綠),白,(白,黃),(白,藍),(白,綠),這個游戲?qū)π×梁托∶鞴絾幔?小

3、明和小亮做撲克游戲，桌面上放有兩堆牌,分別是紅桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建議:我從紅桃中抽取一張牌,你從黑桃中取一張,當兩張牌數(shù)字之積為奇數(shù)時，你得1分，為偶數(shù)我得1分,先得到10分的獲勝”。如果你是小亮,你愿意接受這個游戲的規(guī)則嗎? 為什么？,解：我不愿意接受這個游戲的規(guī)則，理由如下： 列表：,由表中可以看出,在兩堆牌中分別取一張,它可能出現(xiàn)的結(jié)果有36個,它們出現(xiàn)的可能性相等。,滿足兩張牌的數(shù)字之積為奇數(shù)(記為事件A) 的有9種情況,所以 P(A)= 滿足兩張牌的數(shù)字之積為偶數(shù)(記為事件B) 的有27種情況,所以 P(A)= 因為P(A) P(B),所以如果我是小亮,我不愿 意

4、接受這個游戲的規(guī)則。,1、怎樣改變規(guī)則使游戲變得公平？,2、如果去掉黑桃只留下紅桃，小亮抽一張牌，不放回小明在抽一張，其他規(guī)則不變，游戲是否公平？,列表法 有限等可能事件滿足怎樣的條件時可用列舉法：在一次試驗中涉及到得因素有兩個。,當一次試驗涉及兩個因素時，且可能出現(xiàn)的結(jié)果較多時，為不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，通常用列表法,（一）列舉法求概率 1.有時一一列舉出的情況數(shù)目很大，此時需要考慮如何去排除不合理的情況，盡可能減少列舉的問題可能解的數(shù)目. 2利用列舉法求概率的關(guān)鍵在于正確列舉出試驗結(jié)果的各種可能性，而列舉的方法通常有直接分類列舉、列表、畫樹形圖，這節(jié)課我們將繼續(xù)往下研究,2、田忌

5、賽馬是一個為人熟知的故事傳說戰(zhàn)國時期，齊王與田忌各有上、中、下三匹馬，同等級的馬中，齊王的馬比田忌的馬強有一天，齊王要與田忌賽馬，雙方約定：比賽三局，每局各出-匹，每匹馬賽一次，贏得兩局者為勝，看樣子田忌似乎沒有什么勝的希望，但是田忌的謀士了解到主人的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬要強（1）如果齊王將馬按上中下的順序出陣比賽，那么田忌的馬如何出陣，田忌才能取勝？（2）如果齊王將馬按上中下的順序出陣，而田忌的馬隨機出陣比賽，田忌獲勝的概率是多少？（要求寫出雙方對陣的所有情況）,解：(1)由于田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強，當齊王的馬按上、中、下順序出陣時，田忌的馬按下、上、中的順序出

6、陣，田忌才能取勝 (2)當田忌的馬隨機出陣時，雙方馬的對陣情況如下表： 齊王的馬上中下上中下上中下上中下上中下上中下 田忌的馬上中下上下中中上下中下上下上中下中上 雙方馬的對陣中，總有一種對抗情況田忌能贏所以田忌獲勝的概率P=16,例1.將一個均勻的硬幣上拋三次，結(jié)果為三個正面的概率 _.,解：,開始,反,正,正,反,反,正,正,反,反,反,正,反,正,正,第一次：,第二次：,第三次：,總共有8種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而三次正面朝上的結(jié)果有1種，因此三次正面朝上的概率為1/8。,1/8,例2、甲口袋中裝有2個相同的小球，它們分別寫有字母A和B；乙口袋中裝有3個相同的小球，它們分別寫有

7、字母C、D和E；丙口袋中裝有2個相同的小球，它們分別寫有字母H和I，從3個口袋中各隨機地取出1個小球 （1）取出的3個小球上恰好有1個、2個和3個元音字母的概率分別是多少？ （2）取出的3個小球上全是輔音字母的概率是多少？,分析：當一次試驗要涉及3個或更多的因素（例如從3個口袋中取球）時，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖,A,B,C,D,E,C,D,E,乙,丙,甲,解：根據(jù)題意，我們可以畫出如下的”樹形圖“：,從樹形圖可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12個.,這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等 （1）只有一個元音字母的結(jié)果（紅色）有5個，即ACH，ADH，BCI， BDI，

8、BEH，所以P（一個元音）,有兩個元音字母的結(jié)果（綠色）有4個，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以 P（兩個元音）,滿足三個全部為元音字母的結(jié)果有1個，則 P（三個元音）=,（2）全是輔音字母的結(jié)果共有2個：BCH，BDH，所以 P（三個輔音）,想一想，什么時候使用”列表法“方便，什么時候使用”樹形圖法“方便？,當事件要經(jīng)過多個步驟完成時:三步以上,用這種”樹形圖”的方法求事件的概率很有效.,當事件涉及兩個元素，并且出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目為了不重不漏列出所有可能的結(jié)果，用列表法.,用下圖所示的轉(zhuǎn)盤進行“配紫色”游戲，游戲者獲勝的概率是多少？,劉華的思考過程如下：,隨機轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，所有可能出現(xiàn)的結(jié)

9、果如下：,總共有9種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而能夠 配成紫色的結(jié)果只有一種： （紅，藍），故游戲者獲勝的概率為19 。,3.小明是個小馬虎,晚上睡覺時將兩雙不同的襪子放在床頭，早上起床沒看清隨便穿了兩只就去上學，問小明正好穿的是相同的一雙襪子的概率是多少？,解：設(shè)兩雙襪子分別為A1、A2、B1、B2，則,所以穿相同一雙襪子的概率為,例題,同時拋擲三枚硬幣,求下列事件的概率: (1) 三枚硬幣全部正面朝上; (2) 兩枚硬幣正面朝上而一枚硬幣反面朝上; (3) 至少有兩枚硬幣正面朝上.,正,反,正,反,正,反,正,反,正,反,正,反,正,反,開始,解:,(1) P(全部正面朝上),(2)

10、 P(兩枚正面朝上),(3) P(至少有兩枚正面朝上),第枚,甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪兩人先打呢?他們決定用 “石頭、剪刀、布”的游戲來決定,游戲時三人每次做“石頭” “剪刀”“布”三種手勢中的一種,規(guī)定“石頭” 勝“剪刀”, “剪刀”勝“布”, “布”勝“石頭”. 問一次比賽能淘汰一人的概率是多少?,解:,由規(guī)則可知,一次能淘汰一人的結(jié)果應(yīng)是:“石石剪” “剪剪布” “布布石”三類., P(一次比賽能淘汰一人)=,經(jīng)過某十字路口的汽車,它可能繼續(xù)直行,也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn),如果這三種可能性大小相同,三輛汽車經(jīng)過這個十字路口,求下列事件的概率:,(1)三輛車全部繼續(xù)直行;,(2)兩輛車向右

11、轉(zhuǎn),一輛車向左轉(zhuǎn);,(3)至少有兩輛車向左傳.,第一輛車,第二輛車,第三輛車,解: P（三輛車全部繼續(xù)直行）=,P（兩輛車向右轉(zhuǎn)，一輛車向左轉(zhuǎn)）=,P（至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)）=,=,所有可 能結(jié)果,練習,3. 用數(shù)字1、2、3,組成三位數(shù),求其中恰有2個相同的數(shù)字的概率.,解:,由樹形圖可以看出,所有可能的結(jié)果有27種,它們出現(xiàn)的可能性相等., P(恰有兩個數(shù)字相同)=,4.把3個不同的球任意投入3個不同的盒子內(nèi)(每盒裝球不限),計算: (1)無空盒的概率; (2)恰有一個空盒的概率.,練習,解:,由樹形圖可以看出,所有可能的結(jié)果有27種,它們出現(xiàn)的可能性相等., P(無空盒)=,(1)無空盒的

12、結(jié)果有6個,(2)恰有一個空盒的結(jié)果有18個, P(恰有一個空盒)=,3.某電腦公司現(xiàn)有A，B，C三種型號的甲品牌電腦和D，E兩種型號的乙品牌電腦希望中學要從甲、乙兩種品牌電腦中各選購一種型號的電腦 (1) 寫出所有選購方案(利用樹狀圖或列表方法表示）； (2) 如果(1)中各種選購方案被選中的可能性相同，那么A型號電腦被選中的概率是多少？ (3) 現(xiàn)知希望中學購買甲、乙兩種品牌電腦共36臺(價格如圖所示)，恰好用了10萬元人民幣，其中甲品牌電腦為A型號電腦，求購買的A型號電腦有幾臺,解：(1) 樹狀圖如下,有6種可能,分別為(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E

13、）,還可以用表格求,也清楚的看到，有6種可能,分別為(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）,(2) 因為選中A型號電腦有2種方案，即(A，D)（A，E），所以A型號電腦被選中的概率是,(3) 由(2)可知，當選用方案（A，D）時，設(shè)購買A型號、D型號電腦分別為x，y臺，根據(jù)題意，得,解得 經(jīng)檢驗不符合題意，舍去；,當選用方案（A，）時，設(shè)購買A型號、型號電腦分別為x，y臺，根據(jù)題意，得,解得,所以希望中學購買了7臺A型號電腦,一個家庭有三個孩子，若一個孩子是男孩還是女孩的可能性相同 (1)求這個家庭的3個孩子都是男孩的概率；(2)求這個家庭有2個男孩和1個女孩的

14、概率； (3)求這個家庭至少有一個男孩的概率,解：用B和G分別代表男孩和女孩，用“樹狀圖”列出所有結(jié)果為： （1）這個家庭有三個男孩的概率為 ；（2）這個家庭有兩個男孩一個女孩的概率為 ；（3）這個家庭至少有一個男孩的概率為 。,1、在一個不透明的布袋里裝有4個標有1，2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同，小明從布袋里隨機取出一個小球，記下數(shù)字為x，小紅在剩下的3個小球中隨機取出一個小球，記下數(shù)字為y（1）計算由x、y確定的點（x，y）在函數(shù)y=-x+5的圖象上的概率（2）小明和小紅約定做一個游戲，其規(guī)則為：若x、y滿足xy6則小明勝，若x、y滿足xy6則小紅勝，這個游戲公平嗎？說明理由

15、若不公平，請寫出公平的游戲規(guī)則 。,四、運用新知，深化理解,1.在一只不透明的盒子里裝有用“貝貝”（B）、“晶晶”（J）、“歡歡”（H）、“迎迎”（Y）和“妮妮”（N）五個福娃的圖片制成的五張外形完全相同的卡片。小華涉及了四種卡片獲獎的方案（每個方案都是前后共抽兩次，每次從盒子里抽取一張卡片）,（1）第一次抽取后放回盒子并混合均勻，先 抽到“B”后抽到“J”; （2）第一次抽取后放回盒子并混合均勻，并 抽到“B”和“J”（不分先后）； （3）第一次抽取后不再放回盒子，先抽到“B” 后抽到“J”； （4）第一次抽取后不再放回盒子，抽到“B” 和“J”（不分先后）； 問：上述四種方案，抽中卡片的概

16、率依次是,（1）,（2）,（3）,（4）,3、兩人要去某風景區(qū)游玩，每天某一時段開往該風景區(qū)有三輛汽車（票價相同），但是他們不知道這些車的舒適程度，也不知道汽車開過來的順序兩人采用了不同的乘車方案：甲無論如何總是上開來的第一輛車而乙則是先觀察后上車，當?shù)谝惠v車開來時，他不上車，而是仔細觀察車的舒適狀況如果第二輛車的狀況比第一輛好，他就上第二輛車；如果第二輛不比第一輛好，他就上第三輛車如果把這三輛車的舒適程度分為上、中、下三等，請嘗試著解決下面的問題：（1）三輛車按出現(xiàn)的先后順序共有哪幾種不同的可能？（2）你認為甲、乙兩人采用的方案，哪一種方案使自己乘坐上等車的可能性大，為什么？,解 析:（1）

17、根據(jù)可能性大小的方法，找準兩點：1、符合條件的情況數(shù)目；2、全部情況的總數(shù)；二者的比值就是可能性發(fā)生的大??；（2）比較兩個概率即可,解：（1）三輛車開來的先后順序有6種可能：（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）；（6分）（2）由于不知道任何信息，所以只能假定6種順序出現(xiàn)的可能性相同我們來研究在各種可能性的順序之下，甲、乙二人分別會上哪一輛汽車,于是不難得出，甲乘上、中、下三輛車的概率都是,；而乙乘上等車的概率是,乙采取的方案乘坐上等車的可能性大,4、“石頭、剪刀、布”是廣為流傳的游戲游戲時甲、乙雙方每次出“石頭”、“剪刀”、“布”三種手勢中的一種，規(guī)定“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、“布”勝“石頭”，同種手勢不分勝負假定甲、乙兩人每次都是等可能地出這三種手勢，用畫樹狀圖或列表的方法分別求出一次游戲中兩人出同種手勢的概率和甲獲勝的概率（提示：為書寫方便，解答時可以用S表示“石頭”，用J表示“剪刀”，用B表示“布”）,解：一次游戲，甲、乙兩人隨機出手勢的所有可能的結(jié)果如圖所示： 所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（S,S）（S,J）（S,B （J,S）（J,J）（J,B）（B,S）（B,J）（B,B）.從上面樹狀圖可以看出，一次游戲可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種，而且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同. 所以，P（