微積分Ⅱ：5_43定積分的幾何應(yīng)用

1、,三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積,第二節(jié),一、 平面圖形的面積,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,第六章,一、平面圖形的面積,1. 直角坐標(biāo)情形,設(shè)曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為,例1. 計算兩條拋物線,在第一象限,所圍圖形的面積 .,解: 由,得交點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 計算拋物線,與直線,的面積 .,解: 由,得交點,所圍圖形,為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 求橢圓,解: 利用對稱性 ,所圍圖形的面積

2、 .,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當(dāng) a = b 時得圓面積公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、平行截面面積已知的立體體積,設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則對應(yīng)于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,上連續(xù),旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,圓柱,圓錐,圓臺,旋轉(zhuǎn)體的體積,特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 計算由橢圓,所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn),而成

3、的橢球體的體積.,解: 利用直角坐標(biāo)方程,則,(利用對稱性),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,另利用參數(shù)方程求體積 （自己驗證）,方法2 利用橢圓參數(shù)方程,則,特別當(dāng)b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并,與底面交成 角,解: 如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為,垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為,利用對稱性,計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?,此時截面面積函數(shù)是什么 ?,如何用定積分表示體積 ?,提示:,機動 目錄

4、 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 極坐標(biāo)情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對應(yīng) 從 0 變,例5. 計算阿基米德螺線,解:,點擊圖片任意處 播放開始或暫停,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,到 2 所圍圖形面積 .,例6. 計算心形線,所圍圖形的,面積 .,解:,(利用對稱性),心形線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 平面圖形的面積,邊界方程,參數(shù)方程,直角坐標(biāo)方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2、立體的體積,連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周體積,連續(xù)曲線段,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周體積,極坐標(biāo)方程,2 計算心形線,與圓,所圍圖形的面積 .,解,體積元素為,2 計算心形線,與圓,所圍圖形的面積 .,解: 利用對稱性 ,所求面積,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、極坐標(biāo)系的建立：,在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點。,引一條射線OX，叫做極軸。,再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向）。,這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。,O,二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)的規(guī)定,對于平面上任意一點M，用 表示線段OM的長度，用 表示從OX到OM 的角度， 叫做點M的極徑， 叫做點M的極角，