(整理)正余弦定理綜合應用

1、.正余弦定理綜合應用學校:_姓名：_班級：_考號：_一、解答題1已知abc的內切圓面積為，角a,b,c所對的邊分別為a,b,c，若2b-ccosa=acosc.（1）求角a；（2）當abac的值最小時，求abc的面積.2設abc的內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且3acosc=3b-2c.（1）求sina的值；（2）若b=32sinb，求a的值；（3）若a=6，求abc面積的最大值.3在平面四邊形abcd中，ad=7，bd=8，abc=2，cosbad=-17.（1）求abd；（2）若bcbd=24，求cd.4已知向量m=(2,-1)，n=(sina2,cos(b+c)，角a，b，c為

2、abc的內角，其所對的邊分別為a，b，c.（1）當mn取得最大值時，求角a的大小；（2）在（1）成立的條件下，當a=3時，求b2+c2的取值范圍.5在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且asinb-bcosc=ccosb（1）判斷abc的形狀；（2）若f(x)=12cos2x-23cosx+12，求f(a)的取值范圍6如圖：在abc中，b2=a2+c2-23ac，點d在線段ac上，且ad=2dc.（）若ab=2，bd=433求bc的長；（）若ac=2，求dbc的面積最大值7在abc中，角a,b,c的對邊分別為a,b,c，sinccosc=sina+sinbcosa+cosb.（1

3、）求角c的大??；（2）若abc的外接圓直徑為2，求a2+b2的取值范圍.8在銳角三角形abc中，角a,b,c所對的邊分別為a,b,c，已知(a-c)(sina+sinc)=b(sina-sinb).（1）求角c的大小；（2）求cos2a+cos2b的取值范圍。9設函數(shù).（1）求的最大值，并寫出使取最大值時的集合；（2）已知中,角的邊分別為，若，求的最小值.10在 中，角所對的邊分別為，且.（1）若依次成等差數(shù)列，且公差為，求的值；（2）若，試用表示的周長，并求周長的最大值.精品參考答案1(1)a=3;(2)33.【解析】分析：（1）由正弦定理將邊化角得2cosa=1，進而得a=3；（2）由內切

4、圓的性質得b+c-a=23，由余弦定理得a2=b2+c2-bc，進而得b+c-232=b2+c2-bc，化簡得43+3bc=4b+c8bc，bc12或bc43，又b3,c3，所以bc12，從而得當b=c時，abac的最小值為6，進而得面積.詳解：（1）由正弦定理得2sinb-sinccosa=sinacosc，2sinbcosa=sinccosa+sinacosc=sinb，sinb0，2cosa=1，a=3.（2）由余弦定理得a2=b2+c2-bc，由題意可知abc的內切圓半徑為1，如圖，設圓i為三角形abc的內切圓，d,e為切點，可得ai=2,ad=ae=3，則b+c-a=23，于是b+c

5、-232=b2+c2-bc，化簡得43+3bc=4b+c8bc，所以bc12或bc43，又b3,c3，所以bc12，即abac=12bc6,+，當且僅當b=c時，abac的最小值為6，此時三角形abc的面積=12bcsina=1212sin3=33.點睛:本題主要考察了正余弦定理的靈活應用及三角形內切圓的性質,屬于中檔題.2（1）sina=53（2）10（3）325【解析】分析：（1）由3acosc=3b-2c利用正弦定理得：3sinacosc=3sinb-2sinc，3sinacosc=3sin(a+c)-2sinc，利用兩角和的正弦公式化簡可得cosa=23，從而可得結果；（2）直接利用正

6、弦定理可得結果；（3）由余弦定理，利用基本不等式可得43bc=b2+c2-62bc-6，bc9，由三角形面積公式可得sabc=12bcsina=56bc，從而可得結果.詳解：（1）abc中，3acosc=3b-2c由正弦定理得：3sinacosc=3sinb-2sinc3sinacosc=3sin(a+c)-2sinc3cosasinc=2sincsinc0，cosa=23a(0,)，sina=53（2）由b=32sinb，得bsinb=32asina=32，a=3253=10（3）由（1）知sina=53sabc=12bcsina=56bc由余弦定理得：cosa=b2+c2-a22bc，a=

7、643bc=b2+c2-62bc-6bc9（當且僅當b=c時取“=”號）sabc=56bc569=325即abc面積的最大值為325點睛：以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數(shù)及解三角形進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導公式以及二倍角公一定要熟練掌握并靈活應用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.3（1）3；（2）27.【解析】分析：（1）由正弦定理即可；（2）由已知可得bcbdcosdbc=24，從而可得bc=23，再利用余弦定理即可.詳解：（1）在abd中，cosbad=-1

8、7，bad2,，sinbad=1-cos2bad=437.由正弦定理得7sinabd=8437，sinabd=32.bad2,，abd0,2，abd=3.（2）bcbd=24，bcbdcosdbc=24，又dbc=abc-abd=2-3=6，bc832=24，bc=23，在bcd中cd2=bd2+bc2-2bdbccosdbc=82+232-282332=28，cd=28=27.點睛：本題主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題.4（1）a=3（2）(3,6【解析】分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數(shù)量積運算列出關系式，利用誘導公式及二倍角的

9、余弦函數(shù)公式化簡，整理后得到關于sina2的二次函數(shù)，由a的范圍求出a2的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質得出此時sina2的范圍，利用二次函數(shù)的性質即可求出mn取得最大值時a的度數(shù)；（2）由a及sina的值，利用正弦定理表示出c，再利用三角形的內角和定理用b表示出c，將表示出的c代入b2+c2中，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由b的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質求出此時正弦函數(shù)的值域，即可確定出b2+c2的取值范圍詳解：（1）mn=2sina2-cos(b+c)=2sina2+cosa=-2sin2a2+2sina2+1，

10、令t=2sina2，t(0,1)，原式=-2t2+2t+1，當t=12，即sina2=12，a=3時，mn取得最大值.（2）當a=3時，b+c=23，b(0,23).由正弦定理得：asina=332=2=2r（r為abc的外接圓半徑）于是b2+c2=(2rsinb)2+(2rsinc)2=(2sinb)2+(2sinc)2=4sin2b+4sin2c =4sin2b+4sin2(a+b)=41-cos2b2+41-cos2(a+b)2 =4-2cos2b-2cos(23+2b)=4-2cos2b-2(-12)cos2b-32sin2b)=4+3sin2b-cos2b =4+2sin(2b-6)

11、.由b(0,23)，得2b-6(-6,76)，于是sin(2b-6)(-12,1，4+2sin(2b-6)(3,6，所以b2+c2的范圍是(3,6.點睛：本題考查正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的定義域與性質，以及三角函數(shù)的恒等變形，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵5(1) abc為b=2的直角三角形(2) -19,13).【解析】分析：（1）由已知條件結合正弦定理對已知化簡可求得角b的值，進而可判斷三角形的形狀；（2）由輔助角公式對已知函數(shù)fx先化簡，然后代入可求得fa，結合（1）中的角b求得角a的范圍，然后結合正弦函數(shù)的性質，即可求解詳解：（）因為asinb-bcosc=ccosb，

12、由正弦定理可得sinasinb-sinbcosc=sinccosb即sinasinb=sinccosb+coscsinb，所以sin(c+b)=sinasinb因為在abc中，a+b+c=，所以sina=sinasinb又sina0，所以sinb=1，b=2所以abc為b=2的直角三角形 （）因為f(x)=12cos2x-23cosx+12 =cos2x-23cosx=(cosx-13)2-19所以f(a)=(cosa-13)2-19因為abc是b=2的直角三角形，所以0a2，且0cosa1，所以當cosa=13時，f(a)有最小值是-19所以f(a)的取值范圍是-19,13)點睛：本題主要考

13、查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉角”尋求角的關系，利用“角轉邊”尋求邊的關系，利用余弦定理借助三邊關系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值. 利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經常利用三角形內角和定理，三角形面積公式，結合正、余弦定理解題.6(1)3(2)23【解析】分析：（1）根據(jù)題中的條件，結合余弦定理，可求得cosb=13，設bc=a,ac=3m由余弦定理可得：9m2=a2+4-43a，應用余弦定理，寫出cosadb,cosbdc的值，根據(jù)兩角互補，得到cosadb+cosbdc=0，得到m所滿足的等量關

14、系式，求得結果；（2）利用同角三角函數(shù)關系式的平方關系求得sinb=223，根據(jù)余弦定理以及重要不等式得到ac3，利用三角形面積公式求得結果.詳解：（）b2=a2+c2-23accosb=a2+c2-b22ac=13 在abc中,設bc=a,ac=3m由余弦定理可得：9m2=a2+4-43a 在abd和dbc中，由余弦定理可得：cosadb=4m2+163-4163m3,cosbdc=m2+163-a283m3又因為cosadb+cosbdc=04m2+163-4163m3+m2+163-a283m3=0得 3m2-a2=-6 由得a=3,m=1 bc=3.（2）cosb=13,b(0,)si

15、nb=1-cos2b=223 由b2=a2+c2-23ac4=a2+c2-23ac2ac-23ac=43acac3 （當且僅當a=c取等號） 由ad=2dc，可得sbdc=13sabc=1312acsinb13122233=23dbc的面積最大值為23.點睛：該題考查的是有關解三角形的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有余弦定理，正弦定理，同角三角函數(shù)平方關系，基本不等式求最值，三角形面積公式，誘導公式等，正確使用公式是解題的關鍵.7(1)c=3.(2)(3,6.【解析】分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)和差公式化簡，得到角a、b、c的關系，以及a+b+c=即可求出角c。（2）設a=3-,b=3+，利

16、用正弦定理和外接圓直徑為2，建立邊和角的對應關系；再利用降冪公式，把a、b化成的表達式；利用角的取值范圍即可求出a2+b2的取值范圍。詳解：（1）由sinccosc=sina+sinbcosa+cosb得sinccosa+sinccosb=coscsina+coscsinb即sin(c-a)=sin(b-c)，則c-a=b-c，即2c=a+b，即c=3.（2）由c=3，設a=3-,b=3+則-3-3則a2+b2 =(2rsina)2+(2rsinb)2=4(sin2a+sin2b)即a2+b2 =4(1-cos2a2+1-cos2b2)=4-2cos(23+2)+cos(23-2)=4+2co

17、s2由-3-3，則-23223-12cos213a2+b26，故a2+b2的取值范圍是(3,6.點睛：本題綜合考查了三角函數(shù)和差公式、正弦定理、降冪公式的綜合應用，結合知識點多，化簡較為復雜，屬于難題。在三角函數(shù)問題中，邊角轉化是解決問題的核心，解題前要確認把角轉化成邊，還是把邊轉化成角。8（1）3；（2）12,34)【解析】試題分析：（1）由正弦定理轉化為關于邊的條件，再由余弦定理，求角即可；（2）利用二倍角公式化簡，得到正弦型三角函數(shù)，分析角的取值范圍，即可求出三角函數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）因為(a-c)(sina+sinc)=b(sina-sinb)，由正弦定理得(a-c)(a+c

18、)=b(a-b)，即a2+b2-c2=ab，則a2+b2-c22ab=12根據(jù)余弦定理得cosc=12又因為0c，所以c=3（2）因為c=3，所以2b=43-2a則cos2a+cos2b=1+cos2a2+1+cos2b2=1+12(cos2a+cos2b)=1+12cos2a+cos(43-2a)=1+12(12cos2a-32sin2a)=1+12cos(2a+3)因為三角形abc為銳角三角形且c=3，所以6a2則232a+343所以-1cos(2a+6)-12，所以12cos2a+cos2b34即cos2a+cos2b的取值范圍為12，34)點睛：解決三角形中的角邊問題時，要根據(jù)條件選擇正余弦定理，將問題轉化統(tǒng)一為邊的問題或角的問題，利用三角中兩角和差等公式處理，特別注意內角和定理的運用，涉及三角形面積最值問題時，注意均值不等式的利用，特別求角的時候，要注意分析角的范圍，才能寫出角的大小.9（1）2， ；（2）1【解析】試題分析：（1）先利用兩角差的余弦公式和二倍角公式將化為，再利用三角函數(shù)的性質求其最值及取得最值時自變量的集合；（2）由（1）以及角a的范圍解得角a