2018屆高三數(shù)學一輪復習導數(shù)及其應用第二節(jié)導數(shù)與函數(shù)的單調性課件理.pptx

1、理數(shù) 課標版,第二節(jié)導數(shù)與函數(shù)的單調性,函數(shù)的導數(shù)與單調性的關系 函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內可導, (1)若f (x)0在該區(qū)間內恒成立,則f(x)在這個區(qū)間內單調遞增; (2)若f (x)0在該區(qū)間內恒成立,則f(x)在這個區(qū)間內單調遞減; (3)若f (x)=0在該區(qū)間內恒成立,則f(x)在這個區(qū)間內是常數(shù)函數(shù).,教材研讀,判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)若函數(shù)f(x)在(a,b)內單調遞增,那么一定有f (x)0.() (2)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內恒有f (x)=0,則f(x)在此區(qū)間內沒有單調性.() (3)在(a,b)內f (x)0且f (x)=0的根有

2、有限個,則f(x)在(a,b)內是減函數(shù). (),1.函數(shù)f(x)=cos x-x在(0,)上的單調性是() A.先增后減B.先減后增C.單調遞增D.單調遞減,答案D在(0,)上, f (x)=-sin x-10,f(x)在(0,)上單調遞減,故選D.,2.(2016課標全國,12,5分)若函數(shù)f(x)=x-sin 2x+asin x在(-,+)單調 遞增,則a的取值范圍是() A.-1,1B.C.D.,答案Cf (x)=1-cos 2x+acos x=1-(2cos2x-1)+acos x=-cos2x+acos x +, f(x)在R上單調遞增,則f (x)0在R上恒成立,令cos x=t

3、,則t-1,1,則 -t2+at+0在-1,1上恒成立,即4t2-3at-50在-1,1上恒成立,令g(t)=4 t2-3at-5,則解得-a,故選C.,3.函數(shù)y=x2-ln x的單調遞減區(qū)間為. 答案(0,1 解析由題意知函數(shù)的定義域為(0,+),由y=x-0(x0),解得0x1, 所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為(0,1.,4.已知f(x)=x3-ax在1,+)上是增函數(shù),則a的最大值是. 答案3 解析f (x)=3x2-a,由題意知在1,+)上, f (x)0, 即a3x2, 又x1,+)時,3x23, a3,即a的最大值是3.,考點一利用導數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調性 典例1(2016課標全國,

4、21,12分)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.討論f(x)的單調性. 解析f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). (i)設a0,則當x(-,1)時, f (x)0.所以f(x)在 (-,1)單調遞減,在(1,+)單調遞增. (ii)設a0,由f (x)=0得x=1或x=ln(-2a). 若a=-,則f (x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-,+)單調遞增.,考點突破,若a-,則ln(-2a)0;當x (ln(-2a),1)時, f (x)0.所以f(x)在(-,ln(-2a),(1,+)單調遞增,在(ln(-2a),1)單調遞減.,

5、若a1,故當x(-,1)(ln(-2a),+)時, f (x)0;當x(1, ln(-2a)時, f (x)0.所以f(x)在(-,1),(ln(-2a),+)單調遞增,在(1,ln(-2a)單調遞減.,方法技巧 用導數(shù)法判斷函數(shù)f(x)在(a,b)內的單調性的步驟 求f (x). 確定f (x)在(a,b)內的符號. 作出結論,依據(jù)是f (x)0時為增函數(shù); f (x)0時為減函數(shù). 提醒研究含參數(shù)的函數(shù)的單調性時,需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論. 1-1(2015重慶,19,12分)已知函數(shù)f(x)=ax3+x2(aR)在x=-處取得極值. (1)確定a的值; (2)若g

6、(x)=f(x)ex,討論g(x)的單調性.,解析(1)對f(x)求導得f (x)=3ax2+2x, 因為f(x)在x=-處取得極值,所以f =0, 即3a+2=-=0,解得a=. (2)由(1)得g(x)=ex, 故g(x)=ex+ex =ex=x(x+1)(x+4)ex. 令g(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4. 當x0,故g(x)為增函數(shù); 當-10時,g(x)0,故g(x)為增函數(shù). 綜上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)內為減函數(shù),在(-4,-1)和(0,+)內為增函數(shù).,考點一利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間 典例2(2016天津,20,14分)設函數(shù)f(x)=x3-ax-b,

7、xR,其中a,bR.求f(x)的單調區(qū)間. 解析由f(x)=x3-ax-b,可得f (x)=3x2-a. 下面分兩種情況討論: (i)當a0時,有f (x)=3x2-a0恒成立,所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(-, +). (ii)當a0時,令f (x)=0,解得x=,或x=-. 當x變化時, f (x), f(x)的變化情況如下表:,所以f(x)的單調遞減區(qū)間為,單調遞增區(qū)間為 ,.,方法技巧 利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間的兩個方法 方法一: (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求導數(shù)y=f (x); (3)解不等式f (x)0,解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間; (4)解不等式f (x

8、)0,解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間. 提醒寫單調區(qū)間時,同增(減)區(qū)間不能用“”連接. 方法二: (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求導數(shù)y=f (x),令f (x)=0,解此方程,求出在定義域內的一切根;,(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)和上面所求的各根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義域分成若干個小區(qū)間; (4)確定f (x)在各個區(qū)間內的符號,根據(jù)符號判定函數(shù)在每個區(qū)間內的單調性. 2-1已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx. (1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處有公共切線,求

9、a,b的值; (2)當a2=4b時,求函數(shù)f(x)+g(x)的單調區(qū)間.,解析(1)f (x)=2ax,g(x)=3x2+b. 因為曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處有公共切線,所以f(1)= g(1),且f (1)=g(1). 即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3. (2)記h(x)=f(x)+g(x). 當a2=4b,即b=a2時, h(x)=x3+ax2+a2x+1, h(x)=3x2+2ax+a2. 令h(x)=0,得x1=-,x2=-. a0,h(x)與h(x)的情況如下:,函數(shù)h(x)的單調遞增區(qū)間為和;單調遞減區(qū)間 為.,考點三利用導數(shù)解決

10、函數(shù)單調性的應用問題 典例3(2017鄭州二中月考)設函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+c,曲線y=f(x)在點 (0, f(0)處的切線方程為y=1. (1)求b,c的值; (2)若a0,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間; (3)設函數(shù)g(x)=f(x)+2x,且g(x)在區(qū)間(-2,-1)內存在單調遞減區(qū)間,求實數(shù)a的取值范圍. 解析(1)f (x)=x2-ax+b. 由題意得即 (2)由(1)得f (x)=x2-ax=x(x-a),結合a0知: 當x(-,0)時, f (x)0;,當x(0,a)時, f (x)0. 所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(-,0),(a,+),單調遞減區(qū)間為(0,a).

11、 (3)g(x)=x2-ax+2, 依題意,存在x(-2,-1), 使不等式g(x)=x2-ax+20成立, 即x(-2,-1)時,a=-2, 當且僅當x=,即x=-時等號成立. 所以滿足要求的a的取值范圍是(-,-2).,方法技巧 利用函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍的解題思路 (1)由可導函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上單調遞增(減)可知f (x)0(f (x)0)在區(qū)間a,b上恒成立,進而列出不等式. (2)利用分離參數(shù)法求解恒成立問題. (3)對等號是否成立進行單獨檢驗,檢驗參數(shù)的取值能否使f (x)在整個區(qū)間上(或該區(qū)間的子區(qū)間上)恒等于0,若f (x)恒等于0,則參數(shù)的這個值應舍去;若只有在個別點(有限點)處有f (x)=0,則參數(shù)可取這個值.,變式3-1在本例(3)中,若g(x)在(-2,-1)內為減函數(shù),如何求解? 解析g(x)=x2-ax+2,且g(x)在(-2,-1)內為減函數(shù),g(x)0,即x2-ax+20在(-2,-1)內恒成立, 即 解之得a-3.,3-2(2016德州模擬)函數(shù)f(x)=x