醫(yī)科高等數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí).ppt

1、高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí),考試說(shuō)明,本課程的考核形式為形成性考核和期末考試相結(jié)合的方式?？己顺煽?jī)由形成性考核作業(yè)成績(jī)和期末考試成績(jī)兩部分組成，考核成績(jī)滿分為100分，60分為及格。其中形成性考核作業(yè)成績(jī)占考核成績(jī)的20%，期末考試成績(jī)占考核成績(jī)的80%。期末考試采用閉卷筆試形式，卷面滿分為100分。,考核內(nèi)容和考核要求,考核內(nèi)容 一、二元函數(shù)微分學(xué)、一、二元函數(shù)積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)和常微分方程四個(gè)部分，包括函數(shù)、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程等方面的知識(shí),高等數(shù)學(xué)期末考試,考試題型：?jiǎn)芜x題5個(gè)（約15%）、 填空題5個(gè)（約20%），計(jì)算題6個(gè)（約42%）

2、，應(yīng)用題2個(gè)（23%）。 考試時(shí)間：150分鐘 命題原則 不超過(guò)期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)的要求，試題主要分布在第二、三、四、七、八章，占80%以上，理解占10%，掌握占90%。 考試形式 閉卷,高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí),高等數(shù)學(xué)（1）重難點(diǎn)分析,第一章 函數(shù),理解函數(shù)概念，掌握函數(shù)的兩要素 ;定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，會(huì)判斷兩熟練掌握六類基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形； (2)了解復(fù)合函數(shù)概念，會(huì)對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解； (3)了解初等函數(shù)的概念； (4)了解分段函數(shù)概念，掌握求分段函數(shù)定義域和函數(shù)值的方法； (5)會(huì)列簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。,高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí),第二章 極限與連續(xù),了解極限的概念（數(shù)列極

3、限、函數(shù)極限、左右極限），知道數(shù)列極限的“”定義和函數(shù)極限的描述性定義，會(huì)求左右極限； 熟練掌握無(wú)窮小量的概念，了解無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無(wú)窮大量的關(guān)系； 掌握極限的四則運(yùn)算法則，掌握兩個(gè)重要極限，掌握求簡(jiǎn)單極限的常用方法； 了解函數(shù)連續(xù)性的定義，了解函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的概念，知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念，會(huì)判斷函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性； 了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型； 了解“初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)”的結(jié)論，知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)。,高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí),第三章 導(dǎo)數(shù)與微分,理解導(dǎo)數(shù)與微分概念（微分用 定義），了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線的切線和法線方程，知道可導(dǎo)

4、與連續(xù)的關(guān)系； 熟記導(dǎo)數(shù)與微分的基本公式，熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則； 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 掌握隱函數(shù)的微分法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法； 知道一階微分形式的不變性； 了解高階導(dǎo)數(shù)概念，掌握求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的方法。,高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí),第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，會(huì)用拉格朗日定理證明簡(jiǎn)單的不等式； 掌握洛比塔法則，能用它求“ ”、“ ”型不定式極限； 掌握用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值與極值點(diǎn)（包括判別）的方法，了解可導(dǎo)函數(shù)極值存在的必要條件，知道極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系； 了解用二階導(dǎo)數(shù)求曲線凹凸（包括判別）的方法，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)； 熟練掌握閉合曲線的面積

5、和旋轉(zhuǎn)體積的計(jì)算； 掌握求解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中最大值和最小值的方法，以幾何問(wèn)題為主。,高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí),第五章 不定積分,理解原函數(shù)與不定積分概念，了解不定積分的性質(zhì)以及積分與導(dǎo)數(shù)（微分）的關(guān)系； 熟練掌握積分基本公式和直接積分法； 熟練掌握第一換元積分法和分部積分法； 掌握第二換元積分法。,高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí),第六章 積分及其應(yīng)用,了解定積分概念（定義、幾何意義）和定積分的性質(zhì)； 了解原函數(shù)存在定理，知道變上限的定積分，會(huì)求變上限定積分的導(dǎo)數(shù)； 熟練掌握牛頓萊布尼茲公式； 掌握定積分的換元積分法和分部積分法； 了解無(wú)窮積分收斂性概念，會(huì)判斷無(wú)窮積分的收斂性或計(jì)算無(wú)窮積分； 會(huì)用定積分計(jì)算簡(jiǎn)單

6、的平面曲線圍成圖形的面積（直角坐標(biāo)系）和繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積。,高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí),第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù),了解級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散概念及其主要性質(zhì)； 了解級(jí)數(shù)收斂的必要條件； 掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比值判別法； 知道幾何級(jí)數(shù)和 級(jí)數(shù)收斂的條件； 理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑概念，熟練掌握求收斂半徑的方法； 會(huì)求收斂區(qū)間。,高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí),第八章 常微分方程,了解微分方程，階，解（特解、通解），線性，初值問(wèn)題等概念； 掌握變量可分離微分方程的解法； 熟練掌握一階線性方程的解法； 了解特征方程和特征根概念，熟練掌握求二階線性常系數(shù)齊次微分方程通解的特征根法； 掌握二階線性常系數(shù)非齊次方程（特殊自由項(xiàng)）的特解待定

7、系數(shù)法，能求此類方程的通解,高等數(shù)學(xué)期復(fù)習(xí),第一章：函數(shù),理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù),中符號(hào)f ( )的含義；,了解函數(shù)的兩要素；會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等,兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性,若對(duì)任意x，,有,則稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱,若對(duì)任意x，,有,則稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形,基本初等函數(shù)指以下幾種類型：,常數(shù)函數(shù):,冪函數(shù)：,指數(shù)函數(shù)：,對(duì)數(shù)函數(shù)：,三角函數(shù)：,反三角函數(shù)：,了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，,會(huì)把一

8、個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單的函數(shù),如函數(shù),可以分解,分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù)，,而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的乘積,會(huì)列簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式,高等數(shù)學(xué)1,2.基本初等函數(shù),了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，,會(huì)分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，,能把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)。,(這在學(xué)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)與微分內(nèi)容時(shí)要用到),如將函數(shù),分解成,高等數(shù)學(xué)1,第2章 極限與連續(xù),本章重點(diǎn)：,極限的計(jì)算,了解極限的概念，知道左右極限的概念，,知道函數(shù)在點(diǎn),處存在極限的充分必要,條件是,在,處的左右極限存在且相等。,關(guān)于極限的計(jì)算，要熟練掌握以下幾種常用方法：,（1）極限的四則運(yùn)算法則：,運(yùn)用時(shí)要注意法

9、則的條件是各個(gè)部分的極限都存在，,且分母不為0。,當(dāng)所求極限不滿足條件時(shí)，,常根據(jù)函數(shù)的具體情況進(jìn)行分解因式,（以消去,零因子）、或無(wú)理式的有理化、或三角函數(shù)變換、,或分子分母同時(shí)除以,（分子分母同,趨于無(wú)窮大時(shí)）,等變形手段，,以使函數(shù)滿足四則運(yùn)算法則的條件。,（2）兩個(gè)重要極限：,熟記,要注意這兩個(gè)公式自變量的,變化趨勢(shì)以及相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)，同時(shí)要熟悉它們的變形形式：,高等數(shù)學(xué)1,（3）利用無(wú)窮小的性質(zhì)計(jì)算：,無(wú)窮小量是指極限為0 的量，有限個(gè)無(wú)窮小量之和、,積都是無(wú)窮小量，有界變量與無(wú)窮小量之和還是無(wú)窮小量。,（4）利用函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算：連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)的極限值等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值。,（5

10、）利用洛必塔法則計(jì)算：參看第四章的有關(guān)內(nèi)容。,例1：求下列極限,解,（1）,分子、分母同除以,則,高等數(shù)學(xué)1,（2）,解,首先將分母有理化，然后在利用重要極限計(jì)算,（3）,解,由于,時(shí)，有,因此,還是無(wú)窮小量，故,高等數(shù)學(xué)1,（4）,解,（5）,解,（6）,解,高等數(shù)學(xué)1,2、函數(shù)連續(xù),理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，,它包括三層含義：,在,的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義；,在,處存在極限；,極限值等于,在,處的函數(shù)值，,這三點(diǎn)缺一不可。,若函數(shù),在,至少有一條不滿足上述三條，,則函數(shù)在該點(diǎn)是間斷的，,會(huì)求函數(shù)的間斷,點(diǎn)。,了解函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念，,由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，,會(huì)討論分段函數(shù)的連續(xù)性。,知道連

11、續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）仍是連續(xù)函數(shù)，,兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍為,連續(xù)函數(shù)，,初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。,知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最,小值存在定理、零點(diǎn)定理、介值定理）。,例2,討論函數(shù),在,處的連續(xù)性。,高等數(shù)學(xué)1,解,的定義域?yàn)?由于,在,點(diǎn)處的左右極限不相等，,故極限不存在，,因此函數(shù),在,點(diǎn)間斷。,第三章：導(dǎo)數(shù)與微分,高等數(shù)學(xué)1,理解導(dǎo)數(shù)的概念；,了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；,會(huì)求曲線的切線和法線；,會(huì)用定義計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；,知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。,高等數(shù)學(xué)1,在點(diǎn),處可導(dǎo)是指極限,存在，且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)極限。導(dǎo)數(shù)極限還可寫成,在點(diǎn),處的導(dǎo)數(shù),的幾何意義是曲線

12、,上點(diǎn),處的切線斜率,曲線,在點(diǎn),處的切線方程為,高等數(shù)學(xué)1,函數(shù),在,點(diǎn)可導(dǎo)，則在,點(diǎn)連續(xù)。反之函數(shù),在,點(diǎn)連續(xù)，在,點(diǎn)不一定可導(dǎo)。,了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。,熟記導(dǎo)數(shù)與微分的基本公式；熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則。,微分四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則類似,熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。,高等數(shù)學(xué)1,掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法。,一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí)，求導(dǎo)時(shí)采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，如,求,直接求導(dǎo)比較麻煩，采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對(duì)數(shù)得,兩端求導(dǎo)得,整理后便可得,高等數(shù)學(xué)1,若函數(shù)由參數(shù)方程,的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式,了解高階導(dǎo)數(shù)

13、的概念；會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。,高等數(shù)學(xué)1,第4章：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論；會(huì)用拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式,掌握洛必塔法則，會(huì)用它求,“,”、“,”型不定式的極限，以及簡(jiǎn)單的“,”、“,”型不定式的極限。,掌握用一階導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)增減性的方法；會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。,若在區(qū)間,上有,，則,在區(qū)間,上單調(diào)增加；,若在區(qū)間,上有,，則,在區(qū)間,上單調(diào)減少。,高等數(shù)學(xué)1,了解極值和極值點(diǎn)的概念；熟練掌握求極值的方法；了解可導(dǎo)函數(shù)極值存在的必要條件；知道極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系。,在點(diǎn),滿足,，那么,若,在點(diǎn),的左右由正變負(fù)（或,），則點(diǎn),是,的極大值點(diǎn)；,若,是,在點(diǎn),的左右由

14、負(fù)變正,（或,），則點(diǎn),的極小值點(diǎn)。,極值點(diǎn)如果可導(dǎo)則一定是駐點(diǎn)；駐點(diǎn)的兩邊導(dǎo)數(shù)如果變號(hào)則一定是極值點(diǎn)。,了解曲線凹凸的概念；掌握用二階導(dǎo)數(shù)判別曲線凹凸的方法；會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。,若在區(qū)間,上有,，則,在區(qū)間,上是凹函數(shù)；,若在區(qū)間,上有,，則,在區(qū)間,上是凸函數(shù)。,高等數(shù)學(xué)1,會(huì)求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。,若,，則,是曲線,的水平漸進(jìn)線；,若,，則,是曲線,的垂直漸進(jìn)線。,熟練掌握求解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中最大值和最小值的方法，以幾何問(wèn)題為主。,求,在區(qū)間,上的最大值的方法是：找出,的所有駐點(diǎn)，,找出,的所有不可導(dǎo)點(diǎn)，,將所有這些點(diǎn)的函數(shù)值與兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值,一起比較大小，最大者為最大

15、值，相應(yīng)的點(diǎn)為最大值點(diǎn)。,求最小值的方法類似。,高等數(shù)學(xué)1,綜合練習(xí),一、填空題,函數(shù),的單調(diào)增加區(qū)間是。,解：,當(dāng),時(shí),故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是,曲線,的凸區(qū)間是。,解：,當(dāng),時(shí),故函數(shù)的凸區(qū)間是,高等數(shù)學(xué)1,二、單項(xiàng)選擇題,函數(shù),在區(qū)間,內(nèi)滿足（）。,A.單調(diào)上升；,B.先單調(diào)下降再單調(diào)上升；,C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降；,D.單調(diào)下降,解：,令,得,在,點(diǎn)的左右有負(fù)變正，,即函數(shù)先單調(diào)下降再單調(diào)上升。故選項(xiàng)B正確,曲線,的垂直漸近線是（）。,A.,B.,C.,D.,解：,當(dāng),時(shí),垂直漸進(jìn)線是,故選項(xiàng)D正確,高等數(shù)學(xué)1,3下列等式中正確的是（）,A.,B.,C.,D.,解：,按微分法則進(jìn)行運(yùn)算

16、得,故選項(xiàng)A正確。,高等數(shù)學(xué)1,三、計(jì)算題,計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：,設(shè),求,解：,由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,由此得,設(shè)函數(shù),由方程,確定，,求,解：,方法一：,等式兩端對(duì),求導(dǎo)得,高等數(shù)學(xué)1,整理得,方法二：,由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得,左端,右端,由此得,整理得,高等數(shù)學(xué)1,設(shè)函數(shù),由參數(shù)方程,確定，,求,解：,由參數(shù)求導(dǎo)法,高等數(shù)學(xué)1,求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：,解：,解：,高等數(shù)學(xué)1,第4章：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論；會(huì)用拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單 的不等式。,掌握洛必塔法則，,會(huì)用它求,型不定式的極限，,以及簡(jiǎn)單的,、,型不定式的極限

17、。,掌握用一階導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)增減性的方法；會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。,若在區(qū)間,上有,，則,在區(qū)間,上單調(diào)增加；,若在區(qū)間,上有,，則,在區(qū)間,上單調(diào)減少。,了解極值和極值點(diǎn)的概念；熟練掌握求極值的方法；了解可導(dǎo)函數(shù)極值,存在的必要條件；知道極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系。,高等數(shù)學(xué)1,在點(diǎn),滿足,那么,若,在點(diǎn),的左右由正變負(fù)（或,），,則點(diǎn),是,的極大值點(diǎn)；,若,在點(diǎn),的左右由負(fù)變正（或,），,則點(diǎn),是,的極小值點(diǎn)。,極值點(diǎn)如果可導(dǎo)則一定是駐點(diǎn)；駐點(diǎn)的兩邊導(dǎo)數(shù)如果變號(hào)則一定是極值點(diǎn)。,了解曲線凹凸的概念；掌握用二階導(dǎo)數(shù)判別曲線凹凸的方法；會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。,若在區(qū)間,上有,則,在區(qū)間,上是凹函數(shù)；,若在區(qū)

18、間,上有,則,在區(qū)間,上是凸函數(shù)。,高等數(shù)學(xué)1,會(huì)求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。,若,則,是曲線,的水平漸進(jìn)線；,若,則,是曲線,的垂直漸進(jìn)線,。,熟練掌握求解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中最大值和最小值的方法，,求,在區(qū)間,上的最大值的方法是：,找出,的所有駐點(diǎn)，,找出,的所有不可導(dǎo)點(diǎn)，,將所有這些點(diǎn)的函數(shù)值與兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值,一起比較大小，,最大者為最大值，,相應(yīng)的點(diǎn)為最大值點(diǎn)。,求最小值的方法類似,高等數(shù)學(xué)1,綜合練習(xí),一、填空題,函數(shù),的單調(diào)增加區(qū)間是。,解：,當(dāng),時(shí),。,故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是,曲線,的凸區(qū)間是。,解：,當(dāng),時(shí),故函數(shù)的凸區(qū)間是,二、單項(xiàng)選擇題,函數(shù),在區(qū)間,內(nèi)滿足（）。

19、,A.單調(diào)上升；,B.先單調(diào)下降再單調(diào)上升；,C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降；,D.單調(diào)下降,高等數(shù)學(xué)1,解：,令,得,。,在,點(diǎn)的左右有負(fù)變正，,即函數(shù)先單調(diào)下降再單調(diào)上升。故選項(xiàng)B正確,曲線,的垂直漸近線是（）。,解：,當(dāng),時(shí),垂直漸進(jìn)線是,。故選項(xiàng)D正確,3下列結(jié)論中，（）是正確的。,A.函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)；,B. 函數(shù)的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)；,C. 函數(shù)在極值點(diǎn)一定連續(xù)；,D. 函數(shù)的極值點(diǎn)不一定可導(dǎo),解：,函數(shù)的極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn)；,函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；,函數(shù)在極值點(diǎn),不一定連續(xù)；,在,取極小值但不可導(dǎo)，,故選項(xiàng)D正確,高等數(shù)學(xué)1,應(yīng)用題,圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為l，,問(wèn)

20、當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，,圓柱體的體積最大？,解：,如圖所示，,圓柱體高,與底半徑,滿足,圓柱體的體積公式為,將,代入得,求導(dǎo)得,令,得,并由此解出,即當(dāng)?shù)装霃?高,時(shí)，,圓柱體的體積最大。,高等數(shù)學(xué)1,求曲線,上的點(diǎn)，,使其到點(diǎn),的距離最短。,解：,曲線,上的點(diǎn)到點(diǎn),的距離公式為,與,在同一點(diǎn)取到最大值，,為計(jì)算方便求,的最大值點(diǎn)，,將,代入得,求導(dǎo)得,令,得,并由此解出,即曲線,上的點(diǎn),和點(diǎn),到點(diǎn),的距離最短,高等數(shù)學(xué)1,關(guān)于積分概念的理解和積分計(jì)算問(wèn)題分析,一、原函數(shù)與不定積分,已知函數(shù),在某區(qū)間上有定義，,如果存在函數(shù),，,使得在該區(qū)間上的任一點(diǎn)處，,都有關(guān)系式,成立，,則稱函數(shù),是

21、函數(shù),在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。,設(shè)函數(shù),是函數(shù),的一個(gè)原函數(shù)，,則,的全體原函數(shù),(C為任意常數(shù))，,稱為,的不定積分。,記為：,性質(zhì)：,（1）,（2）,高等數(shù)學(xué)1,二、不定積分的基本公式及運(yùn)算性質(zhì),高等數(shù)學(xué)1,三、換元積分法,已知,則,_湊微分法,高等數(shù)學(xué)1,_第二換元積分分法,高等數(shù)學(xué)1,_分部積分法,高等數(shù)學(xué)1,四、曲邊梯形的面積與定積分,定積分的性質(zhì),高等數(shù)學(xué)1,高等數(shù)學(xué)1,連續(xù)函數(shù)原函數(shù)存在定理,若,在a,b上連續(xù)，,則函數(shù),在a,b上可積，,且,，,即,是,在a,b上的一個(gè)原函數(shù)。,微積分基本定理,設(shè),在a,b上連續(xù)，,是,的任一原函數(shù)，,則,高等數(shù)學(xué)1,高等數(shù)學(xué)1,換元積分法和分

22、部積分法,1換元積分法,設(shè),在,上連續(xù)，,且,在,連續(xù)可導(dǎo)，則,應(yīng)用該方法要注意換積分限的正確性。,分被積函數(shù)含：一次根式、二次根式、指數(shù)、對(duì)數(shù)的情況講解等。,奇偶連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上積分的特征。,高等數(shù)學(xué)1,高等數(shù)學(xué)1,2分部積分法,設(shè),在區(qū)間,上連續(xù)可導(dǎo)，,則,分被積函數(shù)為：,多項(xiàng)式三角函數(shù)、,多項(xiàng)式指數(shù)、,多項(xiàng)式對(duì)數(shù)、,含絕對(duì)值,符號(hào)等講解。,高等數(shù)學(xué)1,第7章：級(jí)數(shù),了解無(wú)窮級(jí)數(shù)的部分和、,收斂和發(fā)散的概念；,知道級(jí)數(shù)的主要性質(zhì)，,特別是級(jí)數(shù)收斂的必要條件。,級(jí)數(shù)的主要性質(zhì)：,若,和,收斂，,則,收斂，,且,若,收斂，,為常數(shù)，,則,收斂，,且,級(jí)數(shù)收斂的必要條件：,若,收斂，,則,掌握

23、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比值判別法和判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的萊布尼茨判別法。,熟悉幾何級(jí)數(shù)和p級(jí)數(shù)的收斂性：,高等數(shù)學(xué)1,幾何級(jí)數(shù),當(dāng),時(shí)收斂，,當(dāng),時(shí)發(fā)散。,p級(jí)數(shù),當(dāng),時(shí)收斂，,當(dāng),時(shí)發(fā)散。,了解冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn)、收斂區(qū)間和收斂域的概念；,能熟練地求冪級(jí)數(shù),的收斂半徑；,會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間和收斂域。,知道函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)和馬克勞林級(jí)數(shù)，,記住,和,的馬克勞林級(jí)數(shù)。,另外還應(yīng)熟悉正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，,即設(shè)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),和,滿足,那么有,若,收斂，,則,收斂；,若,發(fā)散，,則,發(fā)散。,高等數(shù)學(xué)1,二、單項(xiàng)選擇題,下列級(jí)數(shù)中，（）收斂,A.,B.,C.,D.,解：,由,級(jí)數(shù)的收斂性可知,A, B選項(xiàng)中的

24、級(jí)數(shù)發(fā)散；,C選項(xiàng)中的級(jí)數(shù)一般項(xiàng),不趨于0，,由收斂的必要條件知其發(fā)散；,滿足萊布尼茨判別法的條件，,所以收,斂，,故選項(xiàng)D,級(jí)數(shù),的和是（）,A.,B. 2；,C.,D. 1,高等數(shù)學(xué)1,解：由級(jí)數(shù)的性質(zhì)可得,故選項(xiàng)A正確,3若,則,（）,A.,B.,C.,D.,解：,由此得,即,故選項(xiàng)A正確,三、計(jì)算題,高等數(shù)學(xué)1,判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性：,解：,因?yàn)?，由,級(jí)數(shù)的收斂性可知,收斂,題給級(jí)數(shù)是萊布尼茨型級(jí)數(shù)，,單調(diào)下降且,由萊布尼茨判別法可知,收斂,高等數(shù)學(xué)1,求冪級(jí)數(shù),的收斂半徑；,解：,設(shè),原級(jí)數(shù)寫為,由此可知冪級(jí)數(shù),的收斂半徑為4，,所以題給冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2,高等數(shù)學(xué)1,2.求冪級(jí)數(shù),的收斂域,解：,由,由此可知題給冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為3，,收斂區(qū)間為,當(dāng),時(shí)，,級(jí)數(shù),收斂，,當(dāng),時(shí)，,