國學知識文庫子部天文算法·弧矢算術(shù)

1、國學知識文庫子部天文算法：弧矢算術(shù)本文收集整理了古文獻弧矢算術(shù)以供大家參閱。為便于閱讀，除簡體字外，盡量保持原樣。由于部分古籍有損，有些古體字在電腦上打不出，不得不以框或？代替，敬請諒解。字數(shù)：2446欽定四庫全書子部六弧矢筭術(shù)天文算法類二【算書之屬】提要【臣】等謹案弧矢算術(shù)一卷明顧應祥撰應祥有人代紀要巳著録弧矢之法始于元郭守敬授時厯草其有弧背求矢草立天元一為矢云云反覆求之至得三乘方積數(shù)及廉隅縱數(shù)而止不載開方筭式大抵開諸乗方法尚為當時疇人所習抑或別有専書皆不可知其矢相求及弧容直濶諸法皆以勾股法御之明唐順之謂為步日躔月離源頭作弧矢論以示顧應祥應祥遂演為是書名其編曰弧矢算術(shù)應祥未明立天元一法故置之

2、不論惟補其開帶縱三乗之式并詳各矢相求之法與測圓海鏡分類釋術(shù)之作相同亦専備其數(shù)使學者可考而已乾隆四十六年二月恭校上總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅總校官【臣】陸費墀 弧矢算術(shù)序弧矢一術(shù)古今算法所載者絶少錢唐呉信民九章法止載一條四元玉鑒所載數(shù)條皆不言其所以然之故沈存中夢溪筆談有割圓之法雖自謂造微然止于徑矢求而于弧背求矢截積求矢諸法俱未備予每病之南曹訟牒頗暇乃取諸家算書間附己意各立一法名曰弧矢算術(shù)藏諸篋笥俟高明之士取正焉未敢謂盡得其閫奧也嘉靖壬子春三月吉吳興顧應祥識 弧矢論說弧矢者割圓之法也割平圓之旁狀若弧矢故謂之弧矢其背曲曰弧背其直曰弧其中衡曰矢而皆取法于徑徑也者平圓中心之徑也背有曲直有脩

3、短系于圓之大小圓大則徑長圓小則徑短非徑無以定之故曰取則于徑而其法不出于勾股開方之術(shù)以矢求則以半徑為半徑減矢為股股各自乗相減余為實平方開之得勾勾即半截也以求矢亦以半徑為半截為勾勾各自乗相減余為實平方開之得股股乃半徑減矢之余也以減半徑即矢或以矢減全徑為勾股和以矢為勾股較乘之亦得勾筭即半截筭也矢自乗圓徑除之得半背差倍以加即弧背以半背差除矢筭亦得圓徑半截自乗為實以矢除之得矢徑差加矢即圓徑以矢加以矢乗而半之即所截之積也倍截積以矢除之減矢即倍截積以為從方開之即矢惟弧背與徑求矢截積與徑求矢開方不能盡用三乗方法開之弧背求矢以半弧背筭與徑筭相乗為實徑乗徑筭為從方徑筭為上亷全背與徑相乗為下亷約矢乗上亷以減從方以矢

4、自乗以減下亷又以矢乗余下亷與減余從方為法除實得矢曷為以矢乗上防減從方也蓋從方乃徑與徑筭相乗其中多一矢乗徑筭之數(shù)故減之曷為又以矢自乗以減下亷也下亷乃背徑相乗其中多一矢自乗之數(shù)故亦減之減之則法與實相合矣以截積求矢則倍積自乗為實四因積為上亷四因徑為下亷五為負隅約矢以隅因之以減下亷又以矢一度乗上亷兩度乗下亷并而為法矢減下亷者何也矢本減徑而得故減徑以求之五為負隅者何也凡以方為圓毎一寸得虛隅二分五厘四其虛隅與四其矢合而為五也四其亷者何也倍積則乗出之數(shù)為積者四故亦四其亷以就之升法以就實也若以截與截余外周求矢則以筭半筭相乗四而三之為實并及余周為益方半乗加筭為從上亷并亷及余周為下亷以約出之矢乗上亷又以矢自乗再乗

5、為隅法并上亷以減益方矢自之以乗下亷并減余從方為法除實得矢 方圓論說【附】世之習算者咸以方五斜七圍三徑一為凖殊不知方五則斜七有奇徑一則圍三有奇故古人立法有勾三股四五之論而不能使方斜為一定之法有割圓矢之論而不能使方圓為一定之法試以勾股法求之勾股各自乗并為實平方開之此施之于長直方則可若一整方勾五股五各自乗并得五十平方開之得七而又多一筭矣割圓之法求矢求固是至于求弧背則恐未盡也何以知之試以平圓徑十寸者例之中心剖開矢闊五寸自乗得二十五寸以徑除之得二寸五分為半背差倍之得五寸以加得一十五寸與圍三徑一之論正合然徑一則圍三有竒奇數(shù)則不能盡矣以是知弧背之説猶未盡也不特是也凡平圓一十二立圓三十六皆不過取其大較耳或曰宻

6、率徑七則圍二十二徽率徑五十則圍一百五十七何不取二術(shù)酌之以立一定之法曰二術(shù)以圓為方以方為圓非不可但其還原與原數(shù)不合數(shù)多則散漫難收故算厯者止用徑一圍三亦勢之不得已也曰厯家以徑一圍三立法則其數(shù)似猶未精然郭守敬之厯至今行之無弊何也曰厯家以萬分為度秒以下皆不録縱有小差不出于一度之中況所謂黃赤道弧背度乃測驗而得止以徑一圍三定其平差立差耳雖然行之日久安保其不差也竊嘗思之天地之道隂陽而已方圓天地也方象法地靜而有質(zhì)故可以象數(shù)求之圓象法天動而無形故不可以象數(shù)求之方體本靜而中斜者乃動而生陽者也圓體本動而中心之徑乃靜而根隂者也天外陽而內(nèi)隂地外隂而內(nèi)陽隂陽交錯而萬物化生其機正在于奇零不齊之處上智不能測巧厯不能盡者也向使

7、天地之道俱可以限量求之則化機有盡而不能生萬物矣余因論方圓之法而并著其理如此 欽定四庫全書弧矢筭術(shù)明顧應祥撰圓徑與截矢求截術(shù)曰半徑為半徑減矢為股各自乗相減余為勾筭平方開之得勾即半截又曰以矢減徑以矢乗之即半截筭圓徑十寸從旁截一弧矢闊一寸問截答曰六寸術(shù)曰半徑自之得二十五半徑減矢自之得一十六寸相減余九平方開之得三倍之即截又曰圓徑自之得一百為筭圓徑減倍矢自之得六十四為股筭相減余三十六為勾筭平方開之得全圓徑十三步截矢闊四歩問截答曰十二歩術(shù)曰半徑筭四十二步【二五】減矢半徑筭六歩【二五】相減余三十六歩為勾筭又曰全徑筭一百六十九減倍矢徑筭二十五相減余一百四十四平方開之得全截圓徑九十歩截矢九歩問截答曰五十四步術(shù)同圓材徑二尺五寸鋸板欲厚七寸問闊幾何答曰板闊二尺四寸術(shù)曰圓徑為自之得六十二尺五寸板