上海市徐匯松江金山區(qū)2013屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)(理)試題

1、2012學(xué)年第二學(xué)期徐匯、松江、金山區(qū)高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)能力診斷卷 （理科試卷） （考試時(shí)間：120分鐘，滿分150分） 2013.4一填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分.1若函數(shù)的反函數(shù)圖像過點(diǎn)，則= .2已知函數(shù)的值域?yàn)?，集合，則= .3已知，且，則=_.4已知圓錐的母線長(zhǎng)為，側(cè)面積為，則此圓錐的體積為_（結(jié)果保留）.開 始i=1, S=0S=S+輸出S結(jié) 束否是第6題圖20135已知（為虛數(shù)單位）是一元二次方程 (均為實(shí)數(shù))的一個(gè)根，則=_.6如圖給出的是計(jì)算的值的一個(gè)程序框圖，圖中空白執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填

2、入 .7. 在極坐標(biāo)系中,過圓的圓心,且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是_.8. 將參數(shù)方程（為參數(shù)，）化為普通方程，所得方程是_ _.9. 在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值是，則= .10一質(zhì)地均勻的正方體三個(gè)面標(biāo)有數(shù)字，另外三個(gè)面標(biāo)有數(shù)字.將此正方體連續(xù)拋擲兩次，若用隨機(jī)變量表示兩次拋擲后向上面所標(biāo)有的數(shù)字之積，則數(shù)學(xué)期望=_.11已知橢圓內(nèi)有兩點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為 .12.如圖，為直線外一點(diǎn)，若中任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等，設(shè)，用表示，其結(jié)果為 . 13.設(shè)函數(shù)，將向左平移個(gè)單位得到函數(shù)，將向上平移個(gè)單位得到函數(shù),若的圖像恒在的圖像的上方，則正數(shù)的取值范圍為 .14.如圖，現(xiàn)將一張正方形

3、紙片進(jìn)行如下操作：第一步，將紙片以為頂點(diǎn)，任意向上翻折，折痕與交于點(diǎn)，然后復(fù)原，記；第二步，將紙片以為頂點(diǎn)向下翻折，使與重合，得到折痕,然后復(fù)原，記；第三步，將紙片以為頂點(diǎn)向上翻折，使與重合，得到折痕，然后復(fù)原，記；按此折法從第二步起重復(fù)以上步驟，得到，則 .二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分.15已知為實(shí)數(shù)，命題甲：，命題乙：，則甲是乙的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件16已知函數(shù)，設(shè)，則是 （ ）A.奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減 B.奇

4、函數(shù)，在上單調(diào)遞增C.偶函數(shù)，在上遞減，在上遞增D.偶函數(shù)，在上遞增，在上遞減17氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22 (0C)”.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）： 甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為； 乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為； 丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是，總體均值為，總體方差為； 則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有 ( ) A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)18. 如圖所示，向量的模是向量的模的倍，的夾角為,那么我們稱向量經(jīng)過一次變換得到向量.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)起始向量，向量經(jīng)過次第18題圖變換得到的向量

5、為，其中為逆時(shí)針排列，記坐標(biāo)為，則下列命題中不正確的是（ ）A. B. C. D. 三解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19(本題滿分12分) 在中，分別是角的對(duì)邊，且,若的面積，求的值.20(本題滿分14分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.某輪船公司的一艘輪船每小時(shí)花費(fèi)的燃料費(fèi)與輪船航行速度的平方成正比，比例系數(shù)為.輪船的最大速度為海里/小時(shí).當(dāng)船速為海里/小時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)元，其余航行運(yùn)作費(fèi)用（不論速度如何）總計(jì)是每小時(shí)元.假定運(yùn)行過程中輪船以速度勻速航行（1）求的值；（2）求該輪船航行海里的

6、總費(fèi)用（燃料費(fèi)+航行運(yùn)作費(fèi)用）的最小值.21(本題滿分14分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，已知是正三棱柱，它的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是，為側(cè)棱的中點(diǎn)第21題圖（1）求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）求直線到平面的距離.22(本題滿分16分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，對(duì)任意的正整數(shù)，將集合中的三個(gè)元素排成一個(gè)遞增的等差數(shù)列，其公差為，求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （3）對(duì)（2）題中的，求集合的元素個(gè)數(shù). 23(本題

7、滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題有三個(gè)問題情形，每位考生只能選擇一個(gè)作答，若多答，只對(duì)所答情形中最前面的一個(gè)記分，情形一、二、三滿分依次為5分、6分、8分.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，是它的一個(gè)頂點(diǎn)，是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量.(1) 求雙曲線的方程；(2) 若過點(diǎn)()任意作一條直線與雙曲線交于兩點(diǎn) (都不同于點(diǎn))，求證：為定值；(3) 對(duì)于雙曲線G:，為它的右頂點(diǎn)，為雙曲線G上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn))，且，那么直線是否過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由.然后在以下三個(gè)情形中選擇一個(gè)，寫出類似結(jié)論（不要求書寫求解或證明過程）.情形一：雙曲

8、線及它的左頂點(diǎn)； 情形二：拋物線及它的頂點(diǎn)；情形三：橢圓及它的頂點(diǎn).數(shù)學(xué)（理）參考答案一填空題:(本題共有14題，每小題4分)1 2. 3. 4. 5. 19 6 7. 8. () 9. 10. 11. 12. 13. 14.二選擇題：（本題共有4小題，每小題5分） 15. B 16. B 17. C 18.D三解答題19（本題12分）解：由條件可得， 2分即，4分8分由余弦定理,得10分于是，. 12分20.（本題14分）本題共有2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.解：（1）由題意得燃料費(fèi)，2分把=10，代入得.6分（2），9分=，11分其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，解得，13分 所以，該

9、輪船航行海里的總費(fèi)用的最小值為2400（元）. 14分21（本題14分）本題共有2題，第(1)小題6分,第(2)小題8分.解：（1）方法一：以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.1分由題意得 則. .3分設(shè)為向量的夾角，則，.5分 異面直線與所成角的大小為arccos . . 6分方法二：取中點(diǎn)，連結(jié). .2分（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角. 3分由題意得:在中，;在中，;4分在等腰三角形中， 5分所以異面直線與所成角的大小為 . . 6分（2）方法一：由題意可得,所以，到平面的距離即為到平面的距離，設(shè)為. .8分設(shè)平面的法向量為，,由得,11分,即. 12分所以 故直線到平面的距離為.1

10、4分方法二：由題意可得,所以，到平面的距離即為到平面的距離，設(shè)為.8分由題意得，等腰底邊上的高為，則，且到平面的距離為，12分由得13分，則，所以，直線到平面的距離為.14分22(本題滿分16分) 本題共有3個(gè)小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分, 第（3）小題滿分6分. 解：(1)由條件得，即,.2分 所以，. .4分 (2) 由（1）可知所以，,，.7分由及得依次成遞增的等差數(shù)列,.8分所以，.9分滿足為常數(shù)，所以數(shù)列為等比數(shù)列. .10分 （3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.12分同樣，可得,所以，集合的元素個(gè)數(shù)為；.13分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，同理可得集合的元素個(gè)數(shù)為. .16分23(本題滿分18分

11、) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題有三個(gè)問題情形，每位考生只能選擇一個(gè)作答，若多答，只對(duì)所答情形中最前面的一個(gè)記分，情形一、二、三滿分依次為5分、7分、8分。 解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為，則，.2分又 ，得，所以，雙曲線C的方程為. .4分(2) 當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，其方程為，的坐標(biāo)為(,)、(,)，得=0. .6分 當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)此直線方程為，由得 . 設(shè)，則, ，.8分故.9分=0 . 綜上，=0為定值. 10分(3)當(dāng)滿足時(shí)，取關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)、，由對(duì)稱性知，此時(shí)與所在直線關(guān)于軸對(duì)稱，若直線過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必在軸上. .11分設(shè)直線的方程為：， 由，得 設(shè)，則, ， 由，得， 即， 化簡(jiǎn)得， 或 (舍)， .13分 所以，直線過定點(diǎn)(,0). .14分 情形一：在雙曲線G ：中，若為它的左頂點(diǎn)，為雙曲線G上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn))，且，則直線過定點(diǎn)(,0). .15分 情形二：在拋物線中，若為拋物線上的兩點(diǎn)(都不同于原點(diǎn))，且，則直線過定點(diǎn). .16分 情形三：（1）在橢圓中，若為它的右頂點(diǎn)，