上海市徐匯松江金山區(qū)2013屆高三下學期二模數學(理)試題

1、2012學年第二學期徐匯、松江、金山區(qū)高三年級數學學科學習能力診斷卷 （理科試卷） （考試時間：120分鐘，滿分150分） 2013.4一填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.1若函數的反函數圖像過點，則= .2已知函數的值域為，集合，則= .3已知，且，則=_.4已知圓錐的母線長為，側面積為，則此圓錐的體積為_（結果保留）.開 始i=1, S=0S=S+輸出S結 束否是第6題圖20135已知（為虛數單位）是一元二次方程 (均為實數)的一個根，則=_.6如圖給出的是計算的值的一個程序框圖，圖中空白執(zhí)行框內應填

2、入 .7. 在極坐標系中,過圓的圓心,且垂直于極軸的直線的極坐標方程是_.8. 將參數方程（為參數，）化為普通方程，所得方程是_ _.9. 在二項式的展開式中，常數項的值是，則= .10一質地均勻的正方體三個面標有數字，另外三個面標有數字.將此正方體連續(xù)拋擲兩次，若用隨機變量表示兩次拋擲后向上面所標有的數字之積，則數學期望=_.11已知橢圓內有兩點為橢圓上一點，則的最大值為 .12.如圖，為直線外一點，若中任意相鄰兩點的距離相等，設，用表示，其結果為 . 13.設函數，將向左平移個單位得到函數，將向上平移個單位得到函數,若的圖像恒在的圖像的上方，則正數的取值范圍為 .14.如圖，現將一張正方形

3、紙片進行如下操作：第一步，將紙片以為頂點，任意向上翻折，折痕與交于點，然后復原，記；第二步，將紙片以為頂點向下翻折，使與重合，得到折痕,然后復原，記；第三步，將紙片以為頂點向上翻折，使與重合，得到折痕，然后復原，記；按此折法從第二步起重復以上步驟，得到，則 .二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.15已知為實數，命題甲：，命題乙：，則甲是乙的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件16已知函數，設，則是 （ ）A.奇函數，在上單調遞減 B.奇

4、函數，在上單調遞增C.偶函數，在上遞減，在上遞增D.偶函數，在上遞增，在上遞減17氣象意義上從春季進入夏季的標志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22 (0C)”.現有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數據（記錄數據都是正整數）： 甲地：5個數據的中位數為，眾數為； 乙地：5個數據的中位數為，總體均值為； 丙地：5個數據中有一個數據是，總體均值為，總體方差為； 則肯定進入夏季的地區(qū)有 ( ) A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個18. 如圖所示，向量的模是向量的模的倍，的夾角為,那么我們稱向量經過一次變換得到向量.在直角坐標平面內，設起始向量，向量經過次第18題圖變換得到的向量

5、為，其中為逆時針排列，記坐標為，則下列命題中不正確的是（ ）A. B. C. D. 三解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.19(本題滿分12分) 在中，分別是角的對邊，且,若的面積，求的值.20(本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.某輪船公司的一艘輪船每小時花費的燃料費與輪船航行速度的平方成正比，比例系數為.輪船的最大速度為海里/小時.當船速為海里/小時，它的燃料費是每小時元，其余航行運作費用（不論速度如何）總計是每小時元.假定運行過程中輪船以速度勻速航行（1）求的值；（2）求該輪船航行海里的

6、總費用（燃料費+航行運作費用）的最小值.21(本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，已知是正三棱柱，它的底面邊長和側棱長都是，為側棱的中點第21題圖（1）求異面直線與所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；（2）求直線到平面的距離.22(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.已知數列的前項和為,數列是首項為，公差為的等差數列. （1）求數列的通項公式；（2）設，對任意的正整數，將集合中的三個元素排成一個遞增的等差數列，其公差為，求證：數列為等比數列； （3）對（2）題中的，求集合的元素個數. 23(本題

7、滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題有三個問題情形，每位考生只能選擇一個作答，若多答，只對所答情形中最前面的一個記分，情形一、二、三滿分依次為5分、6分、8分.已知雙曲線的中心在原點，是它的一個頂點，是它的一條漸近線的一個方向向量.(1) 求雙曲線的方程；(2) 若過點()任意作一條直線與雙曲線交于兩點 (都不同于點)，求證：為定值；(3) 對于雙曲線G:，為它的右頂點，為雙曲線G上的兩點(都不同于點)，且，那么直線是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由.然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）.情形一：雙曲

8、線及它的左頂點； 情形二：拋物線及它的頂點；情形三：橢圓及它的頂點.數學（理）參考答案一填空題:(本題共有14題，每小題4分)1 2. 3. 4. 5. 19 6 7. 8. () 9. 10. 11. 12. 13. 14.二選擇題：（本題共有4小題，每小題5分） 15. B 16. B 17. C 18.D三解答題19（本題12分）解：由條件可得， 2分即，4分8分由余弦定理,得10分于是，. 12分20.（本題14分）本題共有2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.解：（1）由題意得燃料費，2分把=10，代入得.6分（2），9分=，11分其中等號當且僅當時成立，解得，13分 所以，該

9、輪船航行海里的總費用的最小值為2400（元）. 14分21（本題14分）本題共有2題，第(1)小題6分,第(2)小題8分.解：（1）方法一：以中點為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系.1分由題意得 則. .3分設為向量的夾角，則，.5分 異面直線與所成角的大小為arccos . . 6分方法二：取中點，連結. .2分（或其補角）為異面直線所成的角. 3分由題意得:在中，;在中，;4分在等腰三角形中， 5分所以異面直線與所成角的大小為 . . 6分（2）方法一：由題意可得,所以，到平面的距離即為到平面的距離，設為. .8分設平面的法向量為，,由得,11分,即. 12分所以 故直線到平面的距離為.1

10、4分方法二：由題意可得,所以，到平面的距離即為到平面的距離，設為.8分由題意得，等腰底邊上的高為，則，且到平面的距離為，12分由得13分，則，所以，直線到平面的距離為.14分22(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分, 第（3）小題滿分6分. 解：(1)由條件得，即,.2分 所以，. .4分 (2) 由（1）可知所以，,，.7分由及得依次成遞增的等差數列,.8分所以，.9分滿足為常數，所以數列為等比數列. .10分 （3）當為奇數時，.12分同樣，可得,所以，集合的元素個數為；.13分當為偶數時，同理可得集合的元素個數為. .16分23(本題滿分18分

11、) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題有三個問題情形，每位考生只能選擇一個作答，若多答，只對所答情形中最前面的一個記分，情形一、二、三滿分依次為5分、7分、8分。 解：(1)設雙曲線C的方程為，則，.2分又 ，得，所以，雙曲線C的方程為. .4分(2) 當直線垂直于軸時，其方程為，的坐標為(,)、(,)，得=0. .6分 當直線不與軸垂直時，設此直線方程為，由得 . 設，則, ，.8分故.9分=0 . 綜上，=0為定值. 10分(3)當滿足時，取關于軸的對稱點、，由對稱性知，此時與所在直線關于軸對稱，若直線過定點，則定點必在軸上. .11分設直線的方程為：， 由，得 設，則, ， 由，得， 即， 化簡得， 或 (舍)， .13分 所以，直線過定點(,0). .14分 情形一：在雙曲線G ：中，若為它的左頂點，為雙曲線G上的兩點(都不同于點)，且，則直線過定點(,0). .15分 情形二：在拋物線中，若為拋物線上的兩點(都不同于原點)，且，則直線過定點. .16分 情形三：（1）在橢圓中，若為它的右頂點，