數(shù)學(xué)北師大版高中二年級(jí)選修1 §2.4.2_拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)

1、2.4.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1,定義：在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線,拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,y2=-2px (p0,x2=2py (p0,y2=2px (p0,x2=-2py (p0,一、溫故知新,由拋物線y2 =2px（p0,所以拋物線的范圍為,二、探索新知,如何研究拋物線y2 =2px（p0）的幾何性質(zhì),拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，y也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸,即點(diǎn)(x,-y) 也在拋物線上,故 拋物線y2 = 2px(p0)關(guān)于x軸對(duì)稱,則 (-y)2 = 2px,若點(diǎn)(x,y)在拋物線上, 即滿足y2

2、= 2px,定義：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn),y2 = 2px (p0)中， 令y=0,則x=0,即：拋物線y2 = 2px (p0)的頂點(diǎn)（0，0,注:這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn),雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同,拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率,由定義知， 拋物線y2 = 2px (p0)的離心率為e=1,下面請(qǐng)大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì),二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì),y2 = 2px （p0,y2 = -2px （p0,x2 = 2py （p0,x2 = -2py （p0,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,0,0,x軸,y軸,1,特點(diǎn),1

3、.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無(wú)限延伸,但它沒(méi)有漸近線,2.拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有 對(duì)稱中心,3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、 一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線,4.拋物線的離心率是確定的,為1,思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開(kāi)口的影響,P越大,開(kāi)口越開(kāi)闊,補(bǔ)充（1）通徑,通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線， 與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這 兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑,PF|=x0+p/2,F,P,通徑的長(zhǎng)度：2P,P越大,開(kāi)口越開(kāi)闊,2）焦半徑,連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑,焦半徑公式,標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義,利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖,因?yàn)閽?/p>

4、物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（，,解,所以設(shè)方程為,因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為,例：已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程,三、典例精析,坐標(biāo)軸,當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上,開(kāi)口方向不定時(shí),設(shè)為y2=2mx(m 0) (x2=2my (m0),可避免討論,例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源 位于拋物線的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深 40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置,40,30,解,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px,由條件可得A (40,30,代入方程得,302=2p40,解之: p,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

5、: y2= x,焦點(diǎn)為( ,0,練習(xí),1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是,2、已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線 的焦點(diǎn)的距離是5，則P=,4,例3、斜率為1的直線 經(jīng)過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng),例3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米. 水下降1米后，水面寬多少？ o A 思考題 2 B A（2,2） x2=2y B（1，y） y=0.5 B到水面的距離為1.5米 不能安全通過(guò) y=3代入得 例題3 例3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米.

6、水下降1米后，水面寬多少？ o A 思考題 2 B A（2,2） x2=2y B（1，y） y=0.5 B到水面的距離為1.5米 不能安全通過(guò) y=3代入得 例題3 1.已知M為拋物線 上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)， 定點(diǎn)P(3,1),則 的最小值為（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 B . 例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源 位于拋物線的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深 40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置。 解: 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px 由條件可得A (40,30), 代入方程得: 302=2p40 例3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，

7、拱頂離水面2米，水面寬4米. 水下降1米后，水面寬多少？ o A 思考題 2 B A（2,2） x2=2y B（1，y） y=0.5 B到水面的距離為1.5米 不能安全通過(guò) y=3代入得 例題3 解: 三、典例精析 坐標(biāo)軸 當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上,開(kāi)口方向不定時(shí),設(shè)為y2=2mx(m 0) (x2=2my (m0),可避免討論,四、歸納總結(jié),拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸，但沒(méi)有漸近線,拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心,拋物線的離心率是確定的，等于,拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線,拋物線的通徑為2P, 2p越大，拋物線的張口越大,1、范圍,2、對(duì)稱性,3、頂點(diǎn),4、離心率,5、通徑,再見(jiàn),1.已知M為拋物線 上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)， 定點(diǎn)P(3,1),則 的最小值為（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)6,B,例3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米. 水下降1米后，水面寬多少,o,A,思考題,2,B,A（2,2,x2=2y,B（1，y,y=0.5,B到水面的距離為1.5米,不能安全通過(guò),y=3代入得,例題3,探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽(yáng)灶的鏡面都是拋物鏡面,拋物鏡面：拋