專題求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法

1、遞歸數(shù)列通項(xiàng)公式的求法 確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，對于研究數(shù)列的性質(zhì)起著至關(guān)重要的作用。求遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決數(shù)學(xué)競賽中有關(guān)數(shù)列問題的關(guān)鍵，本文著重對遞歸數(shù)列通項(xiàng)公式加以研究。 基礎(chǔ)知識 定義：對于任意的，由遞推關(guān)系確定的關(guān)系稱為階遞歸關(guān)系或稱為階遞歸方程，由階遞歸關(guān)系及給定的前項(xiàng)的值(稱為初始值)所確定的數(shù)列稱為階遞歸數(shù)列。若是線性的，則稱為線性遞歸數(shù)列，否則稱為非線性遞歸數(shù)列，在數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)列問題常常是非線性遞歸數(shù)列問題。求遞歸數(shù)列的常用方法：一公式法(1)設(shè)是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，則其通項(xiàng)為；(2)設(shè)是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，則其通項(xiàng)為；(3)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則。二迭代法迭代恒

2、等式：；迭乘恒等式： ，()迭代法能夠解決以下類型一和類型二所給出的遞推數(shù)列的通項(xiàng)問題：類型一：已知，求通項(xiàng)；類型二：已知，求通項(xiàng)；三待定系數(shù)法類型三：已知，求通項(xiàng)；四特征根法類型四：設(shè)二階常系數(shù)線性齊次遞推式為（），其特征方程為，其根為特征根。 （1）若特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則其通項(xiàng)公式為（），其中A、B由初始值確定；（2）若特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則其通項(xiàng)公式為（），其中A、B由初始值確定。證明：設(shè)特征根為，則所以=即是以為公比，首項(xiàng)為的等比數(shù)列。所以，所以(1)當(dāng)時(shí)，則其通項(xiàng)公式為，其中，；(2)當(dāng)時(shí)，則其通項(xiàng)公式為，其中4.（改編）已知數(shù)列 且 則數(shù)列的通項(xiàng)公式 。命題意圖：本

3、試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)，雖然這樣的解決對于學(xué)生來說是比較有點(diǎn)難度的，但通過不同的構(gòu)造方法使學(xué)生體會(huì)一些特殊的數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，有利于學(xué)生思維的開發(fā)。參考答案：解法一：由得 得 故數(shù)列是以為首項(xiàng)以5為公比的等比數(shù)列= 故解法二：由 得 得 故數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公比的等比數(shù)列= 故解法三 由得到該數(shù)列的一個(gè)特征方程即，解得或 兩式相除可得,而故數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公比的等比數(shù)列,故。五代換法代換法主要包括三角代換、分式代換與代換相消等，其中代換相消法可以解決以下類型五：已知，求通項(xiàng)。六不動(dòng)點(diǎn)法若，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)，利用不動(dòng)點(diǎn)法可將非線性遞歸式化

4、歸為等差數(shù)列、等比數(shù)列或易于求解的遞關(guān)系的遞推關(guān)系，從而達(dá)到求解的目的。類型六：(1)已知，且，求通項(xiàng)； (2)已知，求通項(xiàng)；七數(shù)學(xué)歸納法八構(gòu)造法典例分析例1數(shù)列an中，a1=1,an+1an,且成立，求。例2已知數(shù)列an滿足：，求。例3數(shù)列滿足，求。專題 求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法一、形如是常數(shù)）的數(shù)列 形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為 若有二異根，則可令是待定常數(shù)） 若有二重根，則可令是待定常數(shù)） 再利用可求得，進(jìn)而求得例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)二、形如的數(shù)列 對于數(shù)列，是常數(shù)且） 其特征方程為，變形為 若有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值。 這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得 若有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)）