全國2010高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題一

1、全國2010高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題一一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1. 1、函數(shù)的最大值是（ ）A、2 B、 C、D、32. 已知，定義，則（ ）A B C D3. 已知正三棱錐PABC的外接球O的半徑為1，且滿足，則正三棱錐PABC的體積為 （ ） A B C D4. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，該雙曲線離心率的最大值為（ ）A、 B、3 C、 D、25. 已知（R），且 則a的值有 （ ） （A）個(gè) （B）個(gè) （C）個(gè) （D）無數(shù)個(gè)6. 平面上有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，另有4個(gè)與A、B不重合的的動(dòng)點(diǎn)。若使則稱（）為一個(gè)好點(diǎn)對(duì)。那么這樣的好

2、點(diǎn)對(duì) （ ）A不存在 B至少有一個(gè) C至多有一個(gè) D恰有一個(gè)二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7. 不等式的解集為，那么的值等于_.8. 定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有和，且，則的值為_.9. 等差數(shù)列有如下性質(zhì)：若是等差數(shù)列，則通項(xiàng)為的數(shù)列也是等差數(shù)列類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若是正項(xiàng)等比數(shù)列，則通項(xiàng)為_的數(shù)列也是等比數(shù)列10. 在正三棱錐SABC中M、N分別是棱SC，BC的中點(diǎn)，且MNAM，若側(cè)棱SA=2，則此正三棱錐SABC外接球的表面積是 11. 如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種（

3、用數(shù)字作答）12.已知點(diǎn)A(0，2)和拋物線y2x4上兩點(diǎn)B、C使得ABBC，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍 三、解答題（本題滿分60分，共4小題，每題各15分）13. 在外接圓直徑為1的ABC中角A、B、C的對(duì)邊分別為設(shè)向量(1) 求的取值范圍;（2）若試確定實(shí)數(shù)的取值范圍. 14. 已知等腰梯形PDCB中（如圖1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A為PB邊上一點(diǎn)，且PA=1，將PAD沿AD折起，使面PAD面ABCD（如圖2）。（）證明：平面PADPCD；（）試在棱PB上確定一點(diǎn)M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分；（）在M滿足（）的情況下，判斷直線AM是否平行面PCD.15. 設(shè)橢圓的方程為

4、 , 線段 是過左焦點(diǎn) 且不與 軸垂直的焦點(diǎn)弦. 若在左準(zhǔn)線上存在點(diǎn) , 使 為正三角形, 求橢圓的離心率 的取值范圍, 并用 表示直線 的斜率. 16. 在數(shù)列中，（）試比較與的大?。唬ǎ┳C明：當(dāng)時(shí)，.參考答案：1.B2. 解：計(jì)算可知是最小正周期為的函數(shù)。即得，所以，故選C.3.B4.B5. D解：由題設(shè)知為偶函數(shù)，則考慮在時(shí)，恒有 所以當(dāng)，且時(shí)，恒有由于不等式的解集為，不等式的解集為因此當(dāng)時(shí)，恒有. 故選（D）6.B解：因?yàn)?，所以。將區(qū)間0，1分成，三段，則中至少有兩個(gè)值落在同一個(gè)小區(qū)間內(nèi)（抽屜原理）。所以滿足的好點(diǎn)對(duì)（）至少有一個(gè)。所以選B.7. 8. 20059. 10. 3611.

5、 39012. 簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（y214,y1），點(diǎn)坐標(biāo)為(y24,y)顯然y214，故kAB=(y12)/(y214)=1/(y1+2).由于ABBC，所以kBC=(y1+2).從而yy1=(y1+2)x(y214),y2=x+4消去x，注意到y(tǒng)y1得:(2+y1)(y+y1)+1=0y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由0解得：y0或y4.當(dāng)y=0時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,1)；當(dāng)y=4時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,3)，均滿足題意。故點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是y0或y4.13. 【標(biāo)準(zhǔn)答案】解：因?yàn)樗裕烧叶ɡ?，得，即又所以? (1)= 因此的取值范圍是 (2)若則,由正弦定理，得 設(shè)=,則,

6、 所以 即 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為14. （I）證明：依題意知： （II）由（I）知平面ABCD 平面PAB平面ABCD.在PB上取一點(diǎn)M，作MNAB，則MN平面ABCD， 設(shè)MN=h 則 要使 即M為PB的中點(diǎn). （III）以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 則A（0，0，0），B（0，2，0）， C（1，1，0），D（1，0，0）， P（0，0，1），M（0，1，） 由（I）知平面，則 的法向量。又為等腰 因?yàn)?所以AM與平面PCD不平行. 15. 解： 如圖, 設(shè)線段 的中點(diǎn)為 過點(diǎn) 、 分別作準(zhǔn)線的垂線, 垂足分別為 、, 則假設(shè)存在點(diǎn) ，則 ， 且 ， 即 ，所以， 于是， 故若 (如圖)，則. 當(dāng) 時(shí), 過點(diǎn) 作斜率為 的焦點(diǎn)弦 , 它的中垂線交左準(zhǔn)線于 , 由上述運(yùn)算知, 故 為正三角形. 若 ，則由對(duì)稱性得 又 , 所以，橢圓 的離心率 的取值范圍是， 直線 的斜率為 16. 解：（）由題設(shè)知，對(duì)任意，都有 ， （）證法1：由已知得，又.當(dāng)時(shí)， 設(shè) 則 -