初中幾何等腰三角形典型例題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔 初中幾何等腰三解形性質(zhì)及典型試題 一. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)： 理解和掌握等腰三角形以下性質(zhì)： 1. 等腰三角形軸對(duì)稱性質(zhì)； 2. 等邊對(duì)等角； 3. 三線合一。 難點(diǎn)： 1. 推導(dǎo)性質(zhì)。通過(guò)操作，觀察、分析、歸納得出等腰三角形性質(zhì)的過(guò)程。 2. 應(yīng)用性質(zhì)。等腰三角形三線合一性質(zhì)的運(yùn)用，在解題思路上需要作一些轉(zhuǎn)換。 二. 知識(shí)要點(diǎn) 1. 等腰三角形的有關(guān)概念。首先要能根據(jù)邊的長(zhǎng)短識(shí)別和判斷等腰三角形；其次，能夠明確指出已知的等腰三角形的頂角、底角、腰和底邊。 如圖，ABC中，若AB、BC、AC三邊中有其中兩邊相等，則ABC稱為等腰三角形。 3）（ 2） ）（1 （ BC。，圖（）中

2、圖（1）中ABAC，圖（2ACBC3）中AB兩另一邊稱為等腰三角形的底邊；相等的兩邊稱為等腰三角形的腰，腰的夾角稱為等腰三角形的頂角，另外兩個(gè)角稱為等腰三角形的底 角。 你能指出上述三幅圖中的腰、底邊，頂角和底角嗎？等腰三角形的軸對(duì)稱性。通過(guò)折紙操作認(rèn)識(shí)探索等腰三角形的2. 明確等腰三角形的對(duì)稱軸是等腰三角形頂角平分線所在的軸對(duì)稱性。 直線（不是頂角平分線本身）。如果一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念我們知道：那么這個(gè)圖形就叫軸對(duì)稱圖形。直線兩旁的部分能夠完全重合，折后，沿BAC，中，如果在ABCABAC我們畫出頂角的平分線，AD是ABCAD著對(duì)折ABC會(huì)發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？通過(guò)操作顯示出等

3、腰 文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔 一個(gè)軸對(duì)稱圖形。它的對(duì)稱軸就是角平分線AD所在的直線。（這里要注意到對(duì)稱軸的概念直線，而ABC的頂角平分線是一條線段即這里的折痕，不能把它們混為一談，同時(shí)也要把一般角的平分線射線與它們區(qū)別開(kāi)）。 3. 推導(dǎo)等腰三角形的性質(zhì)。通過(guò)進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)、觀察、交流等活動(dòng)推導(dǎo)等腰三角形的性質(zhì)，從而加深對(duì)軸對(duì)稱變換的認(rèn)識(shí)。 因?yàn)榈妊切问禽S對(duì)稱圖形，而圖形軸對(duì)稱變換是全等變換中的一種基本變換，所以如下圖，ABC中，若ABAC，AD是ABC的BAC的平分線，當(dāng)我們沿AD折疊時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)AD兩旁的ABD與ACD能夠重合即ABDACD。 再根據(jù)全等的性質(zhì)可以得出一些對(duì)應(yīng)相等的邊、對(duì)應(yīng)相等的角

4、。 BC，BDACDA90 BDCD 追根溯源來(lái)看這些相等的邊和相等的角是由什么條件帶來(lái)的，就可以得出等腰三角形的性質(zhì)。 4. 掌握等腰三角形的下列性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形三線合一。 我們把在上述圖形中由等腰三角形ABAC這個(gè)條件出發(fā)，得出的角相等BC，這條性質(zhì)稱為等腰三角形的兩個(gè)底角相等。（也稱為：同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角）。 由等腰三角形ABAC和頂角平分線BADDAC這兩個(gè)條件出發(fā)，得出BDCD，BDACDA90（即ADBC于D），這條性質(zhì)稱為等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，簡(jiǎn)稱為等腰三角形三線合一。 5. 會(huì)利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推

5、理、判斷、計(jì)算和作圖。 利用等腰三角形的性質(zhì)解題時(shí)，一定要注意正確地表述性質(zhì)的條件和結(jié)論。結(jié)合圖形我們可以這樣來(lái)表述： 如下圖，ABC中， 文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔 AC，（1） AB 。（等腰三角形的兩底角相等。） BCDAC BADAC） AB，（2 BC。CD且AD BDCD BDABAC，或 。ADDAC且BC BAD。CD BD BADDAC且AD或AB=AC ，BC （等腰三角形三線合一） 【典型例題】三、，請(qǐng)指出圖中的等ADDBAC上，ABAC，如圖例題1. D在 腰三角形，以及它們的腰、底邊、頂角及底角。 而不是憑直觀和想象。這里要根據(jù)條件來(lái)說(shuō)明圖形的名稱，分析：相等的兩邊叫腰，另

6、一邊叫底邊；兩腰的夾角叫頂角，另外的兩角叫 底角。它們的腰、底邊、ADBABC和解：圖中的等腰三角形有： 頂角、底角分別列表如下： 底角 底邊 頂角腰 CBA，BC BAC AB、AC ABC C ，BADAB BDA DB ADB AD、ABD 關(guān)于等腰三角形：在沒(méi)有明確三角形的具體條件的情況下，注意是ABC的有關(guān)概念（腰、頂角等）有多種可能的結(jié)果存在。如：是BC是腰或AC、BCABACAB等腰三角形，就有可能、是腰或、腰，相應(yīng)的底邊、頂角、底角也都會(huì)發(fā)生變化。所以在敘述等腰三角 形時(shí)，一般要明確指出相等的兩邊是哪兩邊。 文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔 例2. 如下圖，在ABC中，ABAC，D、E分別

7、是AB、AC邊上的點(diǎn)，且ADAE，AP是ABC的角平分線。點(diǎn)D、E關(guān)于AP對(duì)稱嗎？DE與BC平行嗎？說(shuō)明理由。 分析：根據(jù)等腰三角形的軸對(duì)稱性研究下列問(wèn)題： （1）將等腰ABC沿頂角平分線折疊時(shí)，線段AD與AE能重合嗎？為什么？邊AB與AC呢？ （2）AD與AE重合，AB與AC重合，說(shuō)明點(diǎn)D與點(diǎn)E，點(diǎn)B與點(diǎn)C分別有怎樣的位置關(guān)系？ （3）軸對(duì)稱圖形有什么性質(zhì)？由此可推出AP與DE，BC有怎樣的位置關(guān)系？那么DE與BC呢？ 解：點(diǎn)D、E關(guān)于AP對(duì)稱，且DEBC。理由如下： 因?yàn)锳P是BAC的平分線，ABAC，ADAE。 則當(dāng)把圖形沿直線AP對(duì)折時(shí)，線段AB與AC重合，線段AD與AE重合，所以點(diǎn)B

8、、C關(guān)于直線AP對(duì)稱，點(diǎn)D、E也關(guān)于直線AP對(duì)稱，所以BCAP，DEAP，所以DEBC。 注意：這里AB與AC重合以及AD與AE重合的理由是：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線所在的直線是對(duì)稱軸。 例3. 在ABC中，ABAC， A50，求B，C的度數(shù) 分析： 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：兩底角相等。結(jié)合三角形的內(nèi)角和等于180來(lái)計(jì)算。 中，在解：ABC ，ABAC （在一個(gè)三角形中等邊對(duì)等角）CB A50，ABC180 65BC此題也可以用代數(shù)的方法（列方程）來(lái)解，其解題依據(jù) 注意： 。仍然是：等腰三角形的兩底角相等和三角形的內(nèi)角和為180 文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔 例4. 已知線段a，h（如下圖）用

9、直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使底邊BCa，BC邊上的高線為h。 分析：（1）假設(shè)圖形已經(jīng)作出，BC長(zhǎng)已知，可以先作出BC邊，要作等腰三角形ABC，關(guān)鍵是要作出哪一個(gè)點(diǎn)？ （2）已知BC邊上的高的長(zhǎng)度為h，你能作出BC邊上的高線嗎？等腰三角形底邊上的高線與中線有什么關(guān)系？由此能確定頂點(diǎn)A的位置嗎？ 作法：如下圖。 。BCa1. 作線段 D. ，交BC于點(diǎn)2. 作線段BC的垂直平分線l 。，ACh，連結(jié)AB3. 在直線DAl上截取 ABC就是所求的等腰三角形。則這里作圖的依據(jù)是：等腰三角形三線合一的性質(zhì)。更準(zhǔn)確注意：底邊上的中線、“把等腰、底邊上的高、地理解三線合一的性質(zhì)應(yīng)該是就可以頂角平分線作

10、為四個(gè)元素，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件， 得到另外兩個(gè)元素作為結(jié)論”。 是，OD，直線AE交BC于點(diǎn)AB5. 例已知在ABC中，AC的關(guān)系，BCAE與，且上一動(dòng)點(diǎn)但不與A重合，OBOC試猜想AE 并說(shuō)明你的猜想的理由。 CD ，猜想：AEBCBD 文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔 說(shuō)理：ABAC(已知) OBOC(已知) AOAO（公共邊） ABOACO（SSS） BAOCAO AEBC，BDCD（等腰三角形底邊上中線，底邊上高線與頂角平分線互相重合） 注意：等腰三角形的三線合一的性質(zhì)其本質(zhì)是等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。而軸對(duì)稱又是全等變換中的基本形式，因此常用全等來(lái)研究等腰三角形中的問(wèn)題。 例6. 探索：

11、等腰三角形兩底角的平分線大小關(guān)系。 已知：如圖，在ABC中，ABAC，BD、CE分別是兩底角的平分線。 CE. BD猜想： AC（已知），解：AB （在一個(gè)三角形中等邊對(duì)等角）ACB ABC 分別是兩底角的平分線（已知）、CEBD （角平分線的定義）ACB DBCABC，ECB ECB，DBC，（公共邊），BCCB和在DBCECB中DBCECB ACB ，ABC ）（ASADBCECB CE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）BD底邊上的中線、底邊上的高等腰三角形除了頂角平分線、注意：探索它們之間的關(guān)系也屬于等腰三還有其他一些相關(guān)的線段，以外，按照這種思路大家還此例就是所做的一種探索，角形性質(zhì)的一部分，

12、可以對(duì)其他線段進(jìn)行探索。 課后反思：特別是等腰但要正確表述卻不容易。認(rèn)識(shí)等腰三角形并不困難， 就得出結(jié)論。三角形三線合一的性質(zhì)的應(yīng)用，很容易只給出一個(gè)條件， 文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔 應(yīng)用等腰三角形性質(zhì)進(jìn)行說(shuō)理正確的表述格式如下： 在ABC中，如下圖，ABAC BC（在一個(gè)三角形中等邊對(duì)等角） 在ABC中，如下圖 2 1ABAC ，（1） DC （等腰三角形三線合一）BC，BDAD DC AC，BD（2）AB 2（等腰三角形三線合一），1ADBCBC ADAC，（3）AB 2（等腰三角形三線合一），1BDDC 分鐘）【模擬試題】（答題時(shí)間：30 上，D在BCABC中，ABAC，一. 填空：在 。B

13、D_，那么BAD_，1. 如果ADBCBD，_BC= 6cm， 那么BDA2. 如果BADCAD， 。_cm _。_，AD3. 如果BDCD，那么BAD 804. 如果B，那么BAC 的中點(diǎn)，那BC，M是ACAB，BAC405. 在ABC中， BAM 么AMC ， 是ABC的外角。DAC如下圖，在ABC中，ABAC，6. ） BB 則：BAC180 ，（ DAC 。C 文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔 B100，則，外角DCAAB7. 如下圖，在ABC中，AC ，這個(gè)三角形的5cm如果等腰三角形有兩邊的長(zhǎng)分別為12cm，8. 。 cm 周長(zhǎng)是 . 二解答題 8cm，且邊長(zhǎng)均為整數(shù)的等腰三角形的各邊長(zhǎng)。1.

14、 請(qǐng)寫出周長(zhǎng)為邊上的中AC14cmAC，周長(zhǎng)為，2. 在等腰三角形ABC中，AB各邊ABC4cm的兩個(gè)三角形，求分成了周長(zhǎng)差為線BD把ABC 長(zhǎng)。，求這個(gè)三角形各1一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為3. 4 角度數(shù)。與AE，試判斷，DCAE平分CAF，如圖已知4. ABACBD 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。AD 文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔 【試題答案】 一. 填空 1. CAD， CD 2. 90，3 3. CAD，BC 4. 20 5. 90，20； 6. 2 180BAC 2 7. 80 8. 29 二. 解答題 1. 解：等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2，3，3（C） 2. 解：如圖，設(shè)AD，則DC，AB2。設(shè)BC。 由題意可以列方程：14?x?y2x?2?4?y)(BD?x?x(2x?BD)? ?解之得：x = 3，y =2 或 2x?2x?y?14?(BD?x?y)?(2x?x?BD)?4 ?y = 22/3 ，x = 5/3 解之得：，所以舍顯然第二種情況不符合“三角形兩邊之和大于第三邊” 去。 所以ABC的三邊長(zhǎng)分別為：y = 2cm. 2x =6 cm ，BCABACB ，所以中解：3. ABCABACC1 4B 若B