初等數(shù)論與小學(xué)數(shù)學(xué)

1、初等數(shù)論與小學(xué)數(shù)學(xué),主講教師：劉古勝,1.輾轉(zhuǎn)相除法與最大公因數(shù),問(wèn)題1.1：求 ？ 問(wèn)題1.2：求 ？,解：,問(wèn)題1.2：求 ？,或,問(wèn)題1.2：求 ？,定理1 若 是任一正整數(shù),則 與 的公因數(shù)就是 的因數(shù), 反之, 的因數(shù)也就是 與 的公因數(shù). . 定理2 設(shè) 是任意三個(gè)不全為 的整數(shù), 且 其中 是非零整數(shù), 則 與 有相同的公因數(shù), 因而,理論依據(jù),定理3 若 是任意兩個(gè)整數(shù), , 且有下面的系列等式: 則 就是 最后一個(gè)不等于零的余數(shù), 即,理論依據(jù),2.算術(shù)基本定理與高斯函數(shù),問(wèn)題2.1：?jiǎn)?的末尾0的個(gè)數(shù)？ 問(wèn)題2.2：?jiǎn)?或 （即12600）的末尾0的個(gè)數(shù)？ 問(wèn)題2.3：?jiǎn)?

2、的末尾0的個(gè)數(shù)？ 分析：只需求 的標(biāo)準(zhǔn)分解式中質(zhì)因數(shù)5的指數(shù),問(wèn)題2.3：?jiǎn)?的末尾0的個(gè)數(shù)？,解： 而 的標(biāo)準(zhǔn)分解式中質(zhì)因數(shù)5只來(lái)自于這2013中是5的倍數(shù)的數(shù)，這些數(shù)有 個(gè)，只是這 402個(gè)5的倍數(shù)中的的有些數(shù)只含一個(gè)5，有些數(shù)含2個(gè)5，有些數(shù)含3個(gè)5，有些數(shù)含4個(gè)5，當(dāng)然沒(méi)有含5個(gè)5的數(shù)，于是 所以 的末尾0的個(gè)數(shù)為501個(gè).,定義1 一個(gè)大于1 的整數(shù), 如果它的正因數(shù)只有1 及它本身,就叫作質(zhì)數(shù)(或素?cái)?shù)) ; 否則就叫作合數(shù). 定理1( 算術(shù)基本定理) 任一大于1 的整數(shù)能表成質(zhì)數(shù)的乘積,即任一大于1 的整數(shù) , , 其中 是質(zhì)數(shù), 并且若 , , 其中 是質(zhì)數(shù), 則 , ,理論依據(jù)

3、,定義2 函數(shù) 是對(duì)于一切實(shí)數(shù)都有定義的函數(shù), 函數(shù) 的值等于不大于 的最大整數(shù); 函數(shù) 稱為 的高斯函數(shù)，我們也把 叫做 的整數(shù)部分. 定理2 若 是任意兩個(gè)正整數(shù), 則不大于 而為 的倍數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是 . 定理3 在 的標(biāo)準(zhǔn)分解式中質(zhì)因數(shù) 的指數(shù),理論依據(jù),問(wèn)題3.1:測(cè)算某同學(xué)的年齡? 問(wèn)題3.2（“物不知數(shù)”或“韓信點(diǎn)兵”）：“今有物不知其數(shù), 三三數(shù)之剩二, 五五數(shù)之剩三, 七七數(shù)之剩二, 問(wèn)物幾何?” 設(shè) 是所求物數(shù), 則依題意,3.韓信點(diǎn)兵與鬼谷算,孫子算經(jīng)里面所用的方法可以列表如下:,其中乘率2、1、1分別是三個(gè)一次同余方程 的解.,定義1 給定一個(gè)正整數(shù) , 把它叫做模.

4、如果用 去除任意兩個(gè)整數(shù)a與b所得的余數(shù)相同, 我們就說(shuō)a,b對(duì)模m同余, 記作 .如果余數(shù)不同, 我們就說(shuō)a,b對(duì)模m不同余,記作 . 定義2 設(shè) 是大于1的整數(shù)，且 不能整除a，則 稱為模 的一次同余方程；若整數(shù)c滿足上述方程，則稱 是一次同余方程 的一個(gè)解.,理論依據(jù),定理1（大衍求一術(shù)） 設(shè) 是大于1的整數(shù)，若 ，則一次同余方程 有唯一解 （這里 為 輾轉(zhuǎn)相除所得到的 n個(gè)不完全商）.,理論依據(jù),定理2( 孫子定理) 設(shè) 是 k個(gè)兩兩互質(zhì)的正整數(shù), , , 則一次同余方程組 的解是,理論依據(jù),其中,，,4.歐拉函數(shù)與歐拉定理,問(wèn)題4.1：求 的末位數(shù)？ 問(wèn)題4.2：求 的末位數(shù)？ 分析

5、： 對(duì)問(wèn)題4.2，可通過(guò)找規(guī)律求解.因?yàn)?的末位數(shù)字為 ， ，4個(gè)一循環(huán)，所以 的末位數(shù)與 的末位數(shù)相同，為9.,問(wèn)題4.3：求 的末兩位數(shù)？ 對(duì)問(wèn)題4.3，末兩位數(shù)是40個(gè)一循環(huán)，這里 （前面 ），所以的 末兩位數(shù)與 的末兩位數(shù)相同，為29. 為 的歐拉函數(shù)，即1至100這100個(gè)數(shù)中與100互質(zhì)的整數(shù)的個(gè)數(shù)，又因?yàn)?，所以,問(wèn)題4.3：求 的末兩位數(shù)？ 解： ， . 又 ，由歐拉定理得 的末兩位數(shù)末兩位數(shù)相為29.,，,，,定義 歐拉函數(shù) 是定義在正整數(shù)上的函數(shù), 它在正整數(shù)上 的值等于序列 中與 互質(zhì)的整數(shù)的個(gè)數(shù). 定理1 設(shè) , 則 定理2（歐拉定理）設(shè) 是大于1的整數(shù)， ，則,理論依

6、據(jù),5.不定方程（組）,問(wèn)題5.1 （“百雞問(wèn)題”） ：“雞翁一, 值錢五, 雞母一, 值錢三, 雞雛三, 值錢一.百錢買百雞.問(wèn)雞翁母雛各幾何?” 問(wèn)題5.2 （“搬磚問(wèn)題”） ：“三十六塊磚，三十六人搬，男人搬三塊，女人搬一塊，三個(gè)小孩抬一塊。問(wèn)男人、女人、小孩各多少人？”,問(wèn)題5.1 （“百雞問(wèn)題”） ：“雞翁一, 值錢五, 雞母一, 值錢三, 雞雛三, 值錢一.百錢買百雞.問(wèn)雞翁母雛各幾何?” 解：設(shè)雞翁、雞母、雞雛分別有 、 、 只，則有 （1） 消去z，得 解得 （ 為整數(shù)） 不定方程組（1）的整數(shù)解為,解不等式組 得 ，又 ， 方程組（1）的非負(fù)整數(shù)解為：（0、25、75）、（4、18、78）、（8、11、81）、（12、4、84）。 有四種買法：（1）雞翁0只、雞母25只、雞雛75只，（2）雞翁4只、雞母18只、雞雛78只，（3）雞翁8只、雞母11只、雞雛81只，（4）雞翁12只、雞母4只、雞雛84只.,定義 方程 (其中 是整數(shù), 且都不是0 )（1）稱為二元一次不定方程. 定理1 二元一次不定方程（1）有整數(shù)解的充分與必要條件是 .若 ，則二