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文檔簡介

定積分在幾何上的應(yīng)用3求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 設(shè)旋轉(zhuǎn)體是曲線yf(x)(0，axb)，直線xa，xb繞x軸旋轉(zhuǎn)而生成任取一微區(qū)間x，xdx，如圖1有P(x，y)，Q(xdx，yy)，由弧微分中的討論知： 弧長sdso(dx) 線段o(dx)dso(dx) 因?yàn)槔@x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積是側(cè)面積量A的增量A，線段PQ繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的面積恰好是上、下底面半徑為y和yy，側(cè)高為的圓臺的側(cè)面積由圓臺側(cè)面積公式可知后者等于 (yyy) 2ydyo(dx)dso(dx) 2ydso(dx)， 顯然Ao(dx)，故有從而旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為相應(yīng)地也可寫出曲線在參數(shù)坐標(biāo)和極坐標(biāo)下的側(cè)面積公式，這里不列出了例18 求拋物線y22px(0xa)繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積由式得側(cè)面積為 例19 求由圓x2(ya)2r2(ra)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體的表面積故對哪個(gè)半圓周都有代入公式即得所求表面積為解 采用參數(shù)坐標(biāo)較為方便令 xacost，ybsint 0t2弧長微分故表面積為 我們說過橢圓的周長不能準(zhǔn)確計(jì)算，但橢圓的旋轉(zhuǎn)面積卻能準(zhǔn)確算出來當(dāng)e習(xí)題 29求拋物線y24x，直線x8所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積求旋轉(zhuǎn)下列曲線所成曲面的面積 33xa(tsin

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