湖北省十年高考新定義題分類評析

1、湖北省十年高考新定義題分類評析公安縣第二中學(xué) 袁澤軍湖北省自2004年自主命題以來，橫跨新舊課程改革，高考數(shù)學(xué)命題的發(fā)展大致經(jīng)歷了三個階段:第一階段（2004年）起步模仿期；第二階段（20052006年）改革嘗試期；第三階段：（2007年現(xiàn)在）成熟穩(wěn)定期高考數(shù)學(xué)試題突出能力立意，堅持穩(wěn)中求新，力求體現(xiàn)試題背景公平、設(shè)問方式多元化的特點于是，新定義題就應(yīng)運而生，而且逐步成為湖北省高考數(shù)學(xué)試題的一道靚麗的風(fēng)景線除2004年外，其余十年都命制了新定義題為了管窺湖北省高考數(shù)學(xué)命題，現(xiàn)對湖北省十年高考新定義題進行分類評析，以期拋磚引玉之效一、以集合為背景【例1】（2005年理科第1題）設(shè)P、Q為兩個非空

2、實數(shù)集合，定義集合PQ=，若，則PQ中元素的個數(shù)是（ ）A9B8C7D6【評析】答案：B本題以集合為背景，定義了集合之間的一種“”運算，研究集合的元素個數(shù)，考查集合元素的性質(zhì)和簡單的計數(shù)原理，難度不大【例2】（2006年理科第8題）有限集合中元素個數(shù)記作card，設(shè)、都為有限集合，給出下列命題： 的充要條件是card= card+ card； 的必要條件是cardcard； 的充分條件是cardcard； 的充要條件是cardcard.其中真命題的序號是（ ）A. B. C. D. 【評析】答案：B本題以集合的元素個數(shù)為背景，定義了“card”，研究集合元素個數(shù)與集合關(guān)系和運算之間的關(guān)系，考查

3、了充分必要條件等知識，綜合性較強二、以數(shù)式為背景【例3】（2012年理科第13題）回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22，11，3443，94249等顯然2位回文數(shù)有9個：11，22，33，993位回文數(shù)有90個：101，111，121，191，202，999則（）4位回文數(shù)有_個；（）2n1（nN+）位回文數(shù)有_個【評析】答案：（）90；（）本題以一類具有對稱特點的整數(shù)為背景，借鑒了語文中的“回文”修詞手法，定義了“回文數(shù)”的概念，從特殊到一般，考查了計數(shù)原理 另外，本題第（）題的也可以這樣解答：2位回文數(shù)有9個，3位回文數(shù)90個，這是初始條件計算4位回文數(shù)的個數(shù)可以看作2位回文

4、數(shù)中間添加成對的“00，11，22，99”，因此，4位回文數(shù)有91090個，若記2n（nN+）位回文數(shù)的個數(shù)為，則這里蘊含的遞推關(guān)系是同樣，奇數(shù)位回文數(shù)可以看作在偶數(shù)位回文數(shù)的最中間添加09這十個數(shù)，因此從這個角度理解，本題還考查了數(shù)列的遞推關(guān)系或等比數(shù)列的通項公式【例4】（2006年理科第15題）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個如右圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形. 從萊布尼茨三角形可以看出 ，其中=_.令，則=_.【評析】答案：，本題以楊輝三角和組合數(shù)（式）為背景，將“萊布尼茨三角形”引進了試題，考查考生的類比歸納及推理能力第一空側(cè)重觀察、類比、歸納，考查了合情推理能力，

5、也可以進行推理運算求解；第二空則利用，將配上一項，從后向前兩項兩項逐項求和，得出，再求極限，考查推理運算能力與數(shù)列極限知識，設(shè)計精巧，設(shè)問合理三、以運算為背景【例5】（2011年理科第9題）若實數(shù)a，b滿足且，則稱a與b互補，記，那么是a與b互補的（ ）A必要而不充分的條件B充分而不必要的條件C充要條件D即不充分也不必要的條件【評析】答案：C本題以實數(shù)a，b的積運算為背景，定義a與b “互補”的概念，考查了充分必要條件和數(shù)與式的推理運算能力，題目難度不大、新穎得體【例6】（2009年理科第21題）在R上定義運算（b、c為實常數(shù)）記，令（）如果函數(shù)在處有極值，試確定b、c的值；（）求曲線上斜率為

6、c的切線與該曲線的公共點；（）記的最大值為若對任意的b、c恒成立，試求的最大值（參考公式：）【評析】答案：略本題以運算為背景，新定義了一種新運算“”，通過新運算給出一個函數(shù)，然后研究與函數(shù)極值、切線、最值相關(guān)問題，考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題中的應(yīng)用四、以數(shù)列為背景【例7】（2007年理科第6題）若數(shù)列an滿足(p為正常數(shù)，nN*)，則稱an為“等方比數(shù)列”甲：數(shù)列an是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列an是等比數(shù)列則（ ）A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件C. 甲是乙的充要條件D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【評析】答案：B本題以數(shù)列為背景，借助數(shù)列的平方、

7、商運算，新定義了“等方比數(shù)列”，考查了充分必要條件、等比數(shù)列與新定義概念的理解，以及進行簡單平方與開方的運算能力五、以函數(shù)為背景【例8】（2012年理科第7題）定義在上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：；則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為（ ）ABCD【評析】答案：C本題以函數(shù)為背景，使其作用于數(shù)列，新定義“保等比數(shù)列函數(shù)”的概念，立足數(shù)列知識，考查了等比數(shù)列的概念以及冪、指數(shù)、對數(shù)運算能力，研究函數(shù)作用下的數(shù)列是繼以運算為背景定義新數(shù)列命題的又一創(chuàng)新【例9】（2014年理科第6題）若函數(shù)，滿足，則稱，為

8、區(qū)間上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：；其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3【評析】答案：C本題以函數(shù)為背景，研究函數(shù)的定積分性質(zhì)，新定義了“正交函數(shù)”的概念，考查三角運算與多項式運算，以及三角函數(shù)與多項式函數(shù)的定積分運算，深層次考查了偶函數(shù)的性質(zhì)難度較低六、以均值為背景【例10】（2010年理科第15題）設(shè)，稱為a，b的調(diào)和平均數(shù)如圖，C為線段AB上的點，且AC=a，CB=b，O為AB中點，以AB為直徑作半圓過點C作AB的垂線，交圓O于點D連結(jié)OD，AD，BD過點C作OD的垂線，垂足為E則圖中線段OD的長度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段 的長度是a，b的幾何平均數(shù)，線段

9、 的長度是a，b的調(diào)和平均數(shù)【評析】答案：CD；DE本題以均值的幾何意義為背景，新定義“調(diào)和平均數(shù)”的概念，考查對幾何圖形的代數(shù)度量的理解、圓的相關(guān)知識、射影定理以及推理運算能力本題源自課本，又有所拓展，是考查高考復(fù)習(xí)中對教材的處理和挖掘的較好實例【例11】（2014年理科第14題）設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對任意，若經(jīng)過點，的直線與軸的交點為，則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為，例如，當(dāng)時，可得，即為的算術(shù)平均數(shù).（）當(dāng)時，為的幾何平均數(shù)；（）當(dāng)時，為的調(diào)和平均數(shù)（以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可）【評析】參考答案：；x 或；（，為正常數(shù)）本題以函數(shù)為背景，新定義了兩正數(shù)關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，考

10、查兩數(shù)的幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)的概念、解析幾何中直線的相關(guān)知識，以及運算求解的能力，難度中等這是2010年對均值的幾何意義考查之后，從函數(shù)角度理解和考查幾何、調(diào)和平均數(shù)的新題七、以（解析）幾何為背景【例12】（2011年理科第20題）平面內(nèi)與兩定點，連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點的軌跡，加上、兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓成雙曲線（）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系；（）當(dāng)時，對應(yīng)的曲線為；對給定的，對應(yīng)的曲線為，設(shè)、是的兩個焦點試問：在上，是否存在點N，使得的面積若存在，求tan的值；若不存在，請說明理由【評析】答案：略本題以軌跡方程為背景，新定義了曲線C，考查對曲線與方程的知識

11、、分類與討論的方法、數(shù)形結(jié)合的思想、推理運算能力，以及圓和圓錐曲線概念的理解和掌握情況，題型是比較傳統(tǒng)的新定義題，但對C的形狀的討論和第（）的探究性問題的設(shè)問比較有新意，也有一定的難度【例13】（2010年理科第10題）記實數(shù)，中的最大數(shù)為，最小數(shù)為已知ABC的三邊長位a,b,c（），定義它的親傾斜度為則“=1”是“ABC為等邊三角形”的（ ）A必要而不充分的條件B充分而不必要的條件C充要條件D既不充分也不必要的條件【評析】答案：A本題以三角形為背景，借助最大數(shù)與最小數(shù)，新定義了“傾斜度”的概念，考查充分必要條件從題型看，新定義題涵蓋了選擇題、填空題和解答題；從背景看，新定義題涉及到了集合、數(shù)式、運算、函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等方面，目前還未涉及的有三角、立體幾何、統(tǒng)計與概率等方面；從考查的知識看，較多地考查了充分必要條件、計數(shù)原理、與背景相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，以及閱讀理解和推理運算的