第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

1、第三節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布上一節(jié)我們研究了離散型隨機(jī)變量，這類隨機(jī)變量的特點(diǎn)是它的可能取值及其相對(duì)應(yīng)的概率能被逐個(gè)地列出.這一節(jié)我們將要研究的連續(xù)型隨機(jī)變量就不具有這樣的性質(zhì)了.連續(xù)型隨機(jī)變量的特點(diǎn)是它的可能取值連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)數(shù)軸.例如，測(cè)量一個(gè)工件長(zhǎng)度，因?yàn)樵诶碚撋险f(shuō)這個(gè)長(zhǎng)度的值X可以取區(qū)間（0，+）上的任何一個(gè)值.此外，連續(xù)型隨機(jī)變量取某特定值的概率總是零（關(guān)于這點(diǎn)將在以后說(shuō)明）.例如，抽檢一個(gè)工件其長(zhǎng)度X絲毫不差剛好是其固定值（如1.824cm）的事件X=1.824幾乎是不可能的，應(yīng)認(rèn)為PX=1.824=0.因此討論連續(xù)型隨機(jī)變量在某點(diǎn)的概率是毫無(wú)意義的.于是，對(duì)于連續(xù)型

2、隨機(jī)變量就不能用對(duì)離散型隨機(jī)變量那樣的方法進(jìn)行研究了.為了說(shuō)明方便我們先來(lái)看一個(gè)例子.例2.8 一個(gè)半徑為2米的圓盤靶，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離，試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解 1若x0，因?yàn)槭录x是不可能事件，所以F（x）=PXx=0.2若0x2，由題意P0Xx=kx2，k是常數(shù)，為了確定k的值，取x=2，有P0X2=22k，但事件0X2是必然事件，故P0X2=1，即22k=1，所以k=1/4，即P0Xx=x2/4.于是F（x）=PXx=PX0+P0Xx= x2/4.3若x2，由于X2是必然事件，于是F（x）=PXx

3、=1.綜上所述F（x）=它的圖形是一條連續(xù)曲線如圖2-2所示. 圖2-2另外，容易看到本例中X的分布函數(shù)F（x）還可寫成如下形式：F(x)=，其中 f（t）=這就是說(shuō)F（x）恰好是非負(fù)函數(shù)f（t）在區(qū)間（-，x上的積分，這種隨機(jī)變量X我們稱為連續(xù)型隨機(jī)變量.一般地有如下定義.定義2.3 若對(duì)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x），存在非負(fù)函數(shù)f（x），使對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有F（x）=， （2.8）則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中f（x）稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù)(Density function).由（2.8）式知道連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x）是連續(xù)函數(shù).由分布函數(shù)的性質(zhì)F（-）=0，F(xiàn)

4、（+）=1及F（x）單調(diào)不減，知F（x）是一條位于直線y=0與y=1之間的單調(diào)不減的連續(xù)（但不一定光滑）曲線.由定義2.3知道，f（x）具有以下性質(zhì)：1f(x)0；2=1；3Px1Xx2=F(x2)-F(x1)= (x1x2)；4若f(x)在x點(diǎn)處連續(xù)，則有F(x)=f(x).由2知道，介于曲線y=f（x）與y=0之間的面積為1.由3知道，X落在區(qū)間（x1，x2的概率Px1Xx2等于區(qū)間（x1，x2上曲線y=f（x）之下的曲邊梯形面積.由4知道，f（x）的連續(xù)點(diǎn)x處有f（x）=這種形式恰與物理學(xué)中線密度定義相類似，這也正是為什么稱f（x）為概率密度的原因.同樣我們也指出，反過(guò)來(lái)，任一滿足以上1

5、、2兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f(x)，一定可以作為某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù).前面我們?cè)赋鰧?duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X而言它取任一特定值a的概率為零，即PX=a=0，事實(shí)上，令x0，設(shè)X的分布函數(shù)為F（x），則由X=aa-xXa,得 0PX=aPa-xXa=F（a）-F（a-x）.由于F（x）連續(xù)，所以=F（a）.當(dāng)x0時(shí)，由夾逼定理得PX=a=0,由此很容易推導(dǎo)出PaXb=PaXb=PaXb=PaXb.即在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某區(qū)間上的概率時(shí)，可不必區(qū)分該區(qū)間端點(diǎn)的情況.此外還要說(shuō)明的是，事件X=a“幾乎不可能發(fā)生”，但并不保證絕不會(huì)發(fā)生，它是“零概率事件”而不是不可能事件.例2.9 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的

6、分布函數(shù)為F（x）=試求：（1）系數(shù)A；（2）X落在區(qū)間（0.3，0.7）內(nèi)的概率；（3）X的密度函數(shù).解 （1）由于X為連續(xù)型隨機(jī)變量，故F（x）是連續(xù)函數(shù)，因此有1=F（1）= =A,即A=1，于是有F（x）= (2) P0.3X0.7=F(0.7)-F(0.3)=(0.7)2-(0.3)2=0.4;(3) X的密度函數(shù)為f(x)=F(x)=由定義2.3知，改變密度函數(shù)f(x)在個(gè)別點(diǎn)的函數(shù)值，不影響分布函數(shù)F（x）的取值，因此，并不在乎改變密度函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)上的值（比如在x=0或x=1上f（x）的值）.例2.10 設(shè)隨機(jī)變量X具有密度函數(shù)f(x)=（1） 確定常數(shù)k；（2） 求X的分布函數(shù)

7、F（x）；（3） 求P1X.解 （1）由=1,得=1,解得k=1/6,故X的密度函數(shù)為f(x)= (2) 當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx= =0;當(dāng)0x3時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx=;當(dāng)3x4時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx=當(dāng)x4時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx= =1.即F（x）= (3) P1X7/2=F（7/2）-F(1)=41/48.下面介紹三種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量.（1）均勻分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)(x)= （2.9）則稱X在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布（Uniform distribution），記為XU(a,b).易知f(x)0且=1.由（2.9）可得1PXb= =0,PXa=0，即 PaXb=1-

8、PXb-PXa=1；2若acdb，則PcX0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布（Exponentially distribution），記作XE().顯然f(x)0，且=1.容易得到X的分布函數(shù)為F（x）=指數(shù)分布最常見的一個(gè)場(chǎng)合是壽命分布.指數(shù)分布具有“無(wú)記憶性”，即對(duì)于任意s,t0,有PXs+t|Xs=PXt. (2.12)如果用X表示某一元件的壽命，那么上式表明，在已知元件已使用了s小時(shí)的條件下，它還能再使用至少t小時(shí)的概率，與從開始使用時(shí)算起它至少能使用t小時(shí)的概率相等.這就是說(shuō)元件對(duì)它已使用過(guò)s小時(shí)沒有記憶.當(dāng)然，指數(shù)分布描述的是無(wú)老化時(shí)的壽命分布，但“無(wú)老化”是不可能的，因而只是一

9、種近似.對(duì)一些壽命長(zhǎng)的元件，在初期階段老化現(xiàn)象很小，在這一階段，指數(shù)分布比較確切地描述了其壽命分布情況.（2.12）式是容易證明的.事實(shí)上，（3）正態(tài)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=， -x+， (2.13)其中，（0）為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為，的正態(tài)分布（Normal distribution），記為XN（，2）.顯然f(x)0，下面來(lái)證明=1.令=t，得到記I=，則有I2=.作極坐標(biāo)變換：s=rcos,t=rsin,得到I2= ,而I0,故有I=，即有于是正態(tài)分布是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的分布之一.在實(shí)際問(wèn)題中大量的隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布.只要某一個(gè)隨機(jī)變量受到許多相

10、互獨(dú)立隨機(jī)因素的影響，而每個(gè)個(gè)別因素的影響都不能起決定性作用，那么就可以斷定隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布.例如，因人的身高、體重受到種族、飲食習(xí)慣、地域、運(yùn)動(dòng)等等因素影響，但這些因素又不能對(duì)身高、體重起決定性作用，所以我們可以認(rèn)為身高、體重服從或近似服從正態(tài)分布.參數(shù)，的意義將在第四章中說(shuō)明.f（x）的圖形如圖2-5所示，它具有如下性質(zhì)：圖2-5 圖2-61曲線關(guān)于x=對(duì)稱；2曲線在x=處取到最大值，x離越遠(yuǎn)，f(x)值越小.這表明對(duì)于同樣長(zhǎng)度的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間離越遠(yuǎn)，X落在這個(gè)區(qū)間上的概率越?。?曲線在處有拐點(diǎn)；4曲線以x軸為漸近線；5若固定，當(dāng)越小時(shí)圖形越尖陡（圖2-6），因而X落在附近的概

11、率越大；若固定,值改變，則圖形沿x軸平移，而不改變其形狀.故稱為精度參數(shù)，為位置參數(shù).由（2.13）式得X的分布函數(shù)F（x）=. （2.14）特別地，當(dāng)m=0，s=1時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），其概率密度和分布函數(shù)分別用，F(xiàn)(x)表示，即有， （2.15）F(x)=. （2.16）易知，F(xiàn)（-x）=1-F（x）.人們已事先編制了F（x）的函數(shù)值表（見本書附錄）.一般地，若XN（m，s2），則有N(0,1).事實(shí)上，Z=的分布函數(shù)為PZx= =PXm+sx=，令=s，得PZx= =F(x)，由此知Z= N(0,1).因此，若XN（m,s2），則可利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)F（x），通過(guò)查表求

12、得X落在任一區(qū)間（x1,x2內(nèi)的概率，即Px1Xx2= = =.例如，設(shè)XN（1.5，4），可得P-1X2=(0.25)-(-1.25)=(0.25)-1-(1.25)=0.5987-1+0.8944=0.4931.設(shè)XN（m，s2）,由F（x）函數(shù)表可得P-X+=(1)-(-1)=2(1)-1=0.6826,P-2X+2=(2)-(-2)=0.9544,P-3X+3=(3)-(-3)=0.9974.我們看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是（-,),但它的值落在（m-3s,m+3s）內(nèi)幾乎是肯定的事，因此在實(shí)際問(wèn)題中，基本上可以認(rèn)為有|X-m|3.這就是人們所說(shuō)的“3s原則”.例2.12 公共汽車車

13、門的高度是按成年男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)在1%以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X服從m=170(cm),s=6(cm)的正態(tài)分布，即XN（170，62），問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定？解 設(shè)車門高度為h(cm)，按設(shè)計(jì)要求PXh0.01或PXh0.99，因?yàn)閄N（170，62），故PXh=0.99，查表得 F（2.33）=0.99010.99.故取=2.33，即h=184.設(shè)計(jì)車門高度為184（cm）時(shí)，可使成年男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)不超過(guò)1%.例2.13 測(cè)量到某一目標(biāo)的距離時(shí)發(fā)生的隨機(jī)誤差X（單位：米）具有密度函數(shù)f(x)=.試求在三次測(cè)量中至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)30米的概率.解 X的密度函數(shù)為f(x)= ,即XN（20，402），故一次測(cè)量中隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不超過(guò)30米的概率為P|X|30=P-30X30=(0.25)-(-1.25)=0.5981-(1-0.8944)=0.4931.設(shè)Y為三次測(cè)量中誤差的絕對(duì)值不超過(guò)30米