第六次習(xí)題課討論題解答

1、第六次習(xí)題課討論題參考解答 5月7日和8日本次習(xí)題課討論題涉及以下幾問題。 一先化簡積分再作計(jì)算。二積分不等式三三重積分計(jì)算四廣義重積分計(jì)算 一：先化簡積分再作計(jì)算。注：在某些情況下，對(duì)積分區(qū)域作適當(dāng)?shù)姆指睿珊喕e分計(jì)算。特別是當(dāng)積分域和被積數(shù)具有對(duì)稱性時(shí)。這樣可顯著提高計(jì)算效率。1 計(jì)算二重積分，這里為閉圓盤。解：由對(duì)稱性有。利用極坐標(biāo)我們做如下計(jì)算。因此原積分。解答完畢。2求, 其中, 為取整函數(shù)。解：為方便對(duì)作分解，如圖。于是解答完畢。3計(jì)算, 。解：記，則 或者 解答完畢。 二 積分不等式1設(shè)二元函數(shù)在開單位圓盤上是的，在開單位圓盤上連續(xù)。若函數(shù)在單位圓周上取值為常數(shù)零，證明。（第三

2、章總復(fù)習(xí)題題10, page 171.）。證明：將重積分化為累次積分，然后再做分部積分，并利用假設(shè)條件。同理可證。因此。證畢2. 設(shè)函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在平面域上連續(xù)，其中域可表為：，這里和為上的連續(xù)函數(shù)，且。進(jìn)一步假設(shè)，證明存在常數(shù)，使得（這個(gè)不等式常稱作Poincare不等式）證明：根據(jù)假設(shè)和NewtonLeibniz公式得。兩邊平方并應(yīng)用Cauchy-Schwarz不等式得。兩邊關(guān)于在區(qū)間上積分得記。則。對(duì)上述不等式關(guān)于在區(qū)間上積分得。再將上式兩邊的累次積分換成重積分，即得所要證明的Poincare不等式。 證畢。 三 三重積分計(jì)算1求由曲面所圍立體的體積。解：記立體的體積為。由觀察可知平面裁

3、截立體所得的截面為圓盤，記為，其圓心位于，半徑為，其面積為。于是。解答完畢。2設(shè)為實(shí)對(duì)稱正定矩陣，, 則表示三維空間的一個(gè)橢球面。(i)證明橢球面所包圍立體的體積為。 (ii) 計(jì)算積分（第三章總復(fù)習(xí)題題14，page 172）證明：(i) 由于對(duì)稱正定，因此存在可逆矩陣，使得。立體在線性變換作用下的象集是單位球。 這是因?yàn)椤?于是。根據(jù)關(guān)系，我們有，于是。故。證畢。(ii) 由于對(duì)稱正定，因此存在正交矩陣，使得，其中為對(duì)角陣，對(duì)角元分別為的三個(gè)特征值。 我們記這三個(gè)特征值為，。他們均為正的。于是在正交變換下，我們有 .再對(duì)上述積分做廣義球坐標(biāo)變換，得。由于。因此。 解答完畢。3計(jì)算三重積分，

4、 其中為由上半球面和上半錐面所圍成的立體. 解：由對(duì)稱性可知和。因此所求積分為。以下我們分別用不同方法來求積分.方法一：利用球坐標(biāo)我們求得 方法二：直接在直角坐標(biāo)系計(jì)算。 以下我們采用先二后一方法求積分。 具體說來，以平面裁截立體，所得截面在平面的投影為閉圓盤。于是。 解答完畢。四 廣義重積分計(jì)算1計(jì)算二重廣義積分。（第三章總復(fù)習(xí)題題7 (2), page 171.）解：作極坐標(biāo)變換： ，則所求積分為注意。于是我們得到。 解答完畢。2 計(jì)算二重廣義積分。（第三章總復(fù)習(xí)題題7 (3), page 171）解：注意 ?？紤]做變換，。其逆變換為，。它的Jacobi行列式是常數(shù)1。于是原積分等于。解答完畢。3計(jì)算廣義三重積分，其中為無窮長的方體：，。解：將上述積分化為如下累次積分(先一后二)再將內(nèi)層積分的被積函數(shù)分解為兩個(gè)簡單分式之差，。于是。（*）由此得。注：上述三重積分有兩處奇