解三角形常見的題目型

1、 實用標準文案 解三角形常見題型角正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、 關系轉化為角的關系或邊的關系。題型之一 求解斜三角形中的基本元素：高線、角平分線、()，求其它三個元素問題，進而求出三角形的三線指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊 及周長等基本問題中線)?ACAB?10ABC?) ，則 中，AB=3，AC=2，( 1. 在BC= 3232? 【答案】D C A D B 2332 0081.8B?A?32.042.9?a?ABC ，解三角形；2（1）在，中，已知cm0040?A28b?ABCa?201 ，中，已知，邊長精確到1cm）在cm，。

2、，解三角形（角度精確到cm（2 060B?2?23ca6? ，；，b及3（1）在AABC，求中，已知cm?cmc161.7134.6cmb?87.8a? ，）在，ABC中，已知，解三角形2（?AABC?ABC? 4(2005年全國高考江蘇卷) 3，則中，）的周長為（ ，BC 3?3?43sinB3?B?43sin? BA 36?36sinB?6sinB?3? C D 63? 而得到結果選(D)分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出bc，則周長為3bc6645?AB?B,cos，求邊上的中線ACBD=) 5 （2005年全國高考湖北卷在ABC，中，已知 63 的值sinA sinA分析：本題關

3、鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得621?DE?AB ，且，設BEDE解：設E為BC的中點，連接DE，則/ABx 32222BEDED?2BE?EDcosBD?BE ，BDE中利用余弦定理可得：在762682?xx?2?5?x?1x? ，解得（舍去） 36332123028222?AC?Bsin?BCAC?AB?2ABBCcosB 又，即，從而=2故BC 336 212270 3?Asin ，故 Asin14306 精彩文檔 實用標準文案 22 A。，C15a在ABC中，已知2，b，求00030?，A?A?180B?A，且0 答案：題型之二 ：判斷三角形的形狀：給出三角形中的

4、三角關系式，判斷此三角形的形狀ABCC?2sinAcosB?sin?ABC ，那么 中，已知）1. (2005年北京春季高考題)在一定是（ 正三角形C等腰直角三角形 D直角三角形A B等腰三角形 Csin2sinAcosB? ，BcosAsinBBsin(A)解法1：由sinAcos AB故選(B)sinB0，得sin(AB)0，得A即sincosBcosA222csinCb?ca? ，再由余弦定理，得cosB解法2：由題意，得cosB a2sinA2ac2222cb?ca?22 b，故選(B)a ，即ab，得 a2ac2，統(tǒng)一化為邊，再判1)評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為

5、角，再判斷(如解法 (如解法2)斷 ） ，則BsinAsinCABC的形狀一定是（ 2在ABC中，若2cos 等邊三角形 D.B.直角三角形 C.等腰三角形 A.等腰直角三角形 C 答案： C，B）又2sinAcosBsin解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB A（AB）0，sin2Aatan? 3.在ABC中，若的形狀。，試判斷ABC 2Btanb 為等腰三角形或直角三角形。答案：故ABC?coscosA?b 4. 在ABC中，判斷ABC的形狀。 答案：ABC為等腰三角形或直角三角形。題型之三 ：解決與面積有關問題 主要是利用正、余弦定理，并結合三角形的面積公式來解題120?A

6、?7AB?ABC?5BC 中，若，1. (2005年全國高考上海卷) 在 ABC? _的面積則S 2?A?cossinA3?2ABAC?ABC?ABCAtan ，的面積。2在，求中，的值和 2112?63AC?ABsinA?S?2?3?(2?6) 答案： ABC?2244 1sinA?sinB?2?2sinCABC浙江理3. （0718）已知 ，且的周長為1sinCABCABC的度數(shù)的面積為，求角 I（）求邊（的長；II）若 6 1BC?AC?22ACBCAB?AB，（解：，）由題意及正弦定理，得I 精彩文檔 實用標準文案 1AB? 兩式相減，得111?CACBCBCACsinC?sinABC

7、 II）由，得，的面積（ 362 222221ABBC?(AC?BC)AC2?BC?ABAC?cosC 由余弦定理，得 ， 2BC2AC2BCAC 60C? 所以 題型之四 ：三角形中求值問題ca、b、A、?B、?C?ABC? 所對的邊長分別為中，1. (2005年全國高考天津卷) 在1c2223?ab?c?bcBa、b、ctan?A 和，求和滿足條件的值設 2b 分析：本題給出一些條件式的求值問題，關鍵還是運用正、余弦定理2221?ba?c?60?A?Acos?解：由余弦定理 ，因此， 2bc2B. B=120ABC中，C=180A在B)120?1csinCsin(?3? 由已知條件，應用正

8、弦定理 2bsinBsinBsin120?cosB?cos120?sinB311tanB?.,?cot?B,Bcot?2 從而解得 2sinB22B?C2cos?cosACB、?ABCA、取得最大值，并求出這個最A的三個內角為為何值時，求當2 2 大值。AB+CAB+C 。 =sin解析：由A+B+C=，得= ，所以有cos 22222B+CAAAA1322+ ； 2sin) + 2sin=2(sin cosA+2cos =cosA+2sin=1 2222222A1B+C3當sin = ，即A= 時, cosA+2cos取得最大值為。 32222 22A，cB，Ca，b，?sinAABC，（，

9、角13在邊所對的分別為銳角）求中，已知3B?CA 22sin?tana?2b2S?的值。的值；（2）若，求， ABC22 122sinA?，?BC）因為銳角 cosA，所以，則解析：（1ABC中，A 33BC2sincosA71C）11cosA1ABC（B 2 222sin1cosA）tansin（ CB332CBcos1222（）1cosA2cos 2 精彩文檔 實用標準文案 2211 ?bcS2，又SbcsinA因為 。）3，則（2bc ABCABC322 31222A2bccosbca 代入余弦定理：中，將a2，cosA，c b3 2409b6b3 。解得得b 點評：知道三角形邊外的元素

10、如中線長、面積、周長等時，靈活逆用公式求得結果即可。?C2?ccB，Ca，b，ABCA， ，已知對邊的邊長分別是4在，中，內角 3 3baABC，； 的面積等于，求（）若ABCA2sin2?A)?sinC?sin(B ，求（）若的面積滿考查綜合應用三角函數(shù)有關知識的能力本小題主要考查三角形的邊角關系，三角函數(shù)公式等基礎知識， 分分12224ab?a?b? （）由余弦定理及已知條件得，解：1 3C?absin34abABC? 分 4的面積等于，所以，得 又因為 222?，4?aab?b?2?2ba 分 6聯(lián)立方程組解得， ?，4ab?Acos4sinA?A)?sin(B?A)?sin(B （）由

11、題意得，AAcoscosBA?2sinsin 分 8即 ， ?3234?BA?ba0?cosA 當，時， 6233a?2bB?2sinAcosA?0sin ，由正弦定理得時，得當 22?，?aba?b43234?a?b ，聯(lián)立方程組解得? 33，ba?2? 321?S?sinabCABC 分 12 的面積所以 32題型之五 ：正余弦定理解三角形的實際應用利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解 三角形的知識，例析如下： .）測量問題（一C 兩點，B在一岸邊選定A、1. 如圖1所示，為了測河的寬度，AB=120cmCAB=30測得，CBA=75望對

12、岸標記物C， 求河的寬度。邊上的高，而AB分析：求河的寬度，就是求ABC在B A D ，這個三角形可CBACAB、長、已測出在河的一邊，AB1 圖 確定。 精彩文檔 實用標準文案 ABAC?，又，AC=AB=120m解析：由正弦定理得 ACBCBAsin?sin?11CD?AB?AB?ACsin?SCAB? CD=60m。，解得 ABC22 ”。點評：雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題 .）遇險問題（二分鐘后又測得燈小時的速度向正東前進，3015北的方向，此艦艇以30海里/2 某艦艇測得燈塔在它的東 10海里內有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？塔在它的東30北。若

13、此燈塔周圍北的在東15解析：如圖艦艇在A點處觀測到燈塔S北在東30方向上；艦艇航行半小時后到達B點，測得S 北，AB=300.5=15的方向上。 在ABC中，可知過，ASB=15由正弦定理得BS=AB=15ABS=150 東 西 30 15C A B 。，垂足為C，則SC=15sin30=7.5點S作SC直線AB 南10而燈塔周圍這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，2 圖 海里內有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險。）準確理解題意，分清已知與所求，尤其1點評：有關斜三角形的實際問題，其解題的一般步驟是：（）分析與所研究問3（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出；（要理解應用題中的有關名詞和術語；

14、 題有關的一個或幾個三角形，通過合理運用正弦定理和余弦定理求解。 ）追擊問題（三. A處的南偏東45 ，甲船在3 如圖3A處，乙船在 北 的速度沿南 方向，距A有9n mile并以20n mile/h 的速度航方向航行，若甲船以28n mile/h偏西15A h能盡快追上乙船？行，應沿什么方向，用多少 45 C處相遇。解析：設用t h，甲船能追上乙船，且在B AB=9，在ABC中，AC=28t，BC=20t， BAC=。設ABC=，。根據(jù)余弦定理=120=1804515 15222?cos?2ABAC?ABBC?BC ，C 3 圖122?2)?(92?28t20?81?20tt?0?t27?6

15、0t128，4t（， 293 （舍）t=0，解得，t=3）（32t+9） 43233 ，BC=20=15 n mile。AC=28=21 n mile 44 3?15 ?35BCsin33552?sin又，in=120，又，根據(jù)正弦定理，得為銳角，=arcs 1421AC1414 ?32572 arcsin， 414142 ?335 可以追上乙船。arcsin的方向用h甲船沿南偏東 4414邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行ABC 點評：航海問題常涉及到解三角形的知識，本題中的、AB 精彩文檔 實用標準文案 有關。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關t的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時間 的值。于t的一元二次方程，解出t甲船立即處時獲悉，在其正東方向相距20海里