解三角形常見(jiàn)的題目型

1、 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 解三角形常見(jiàn)題型角正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、 關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系。題型之一 求解斜三角形中的基本元素：高線、角平分線、()，求其它三個(gè)元素問(wèn)題，進(jìn)而求出三角形的三線指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊 及周長(zhǎng)等基本問(wèn)題中線)?ACAB?10ABC?) ，則 中，AB=3，AC=2，( 1. 在BC= 3232? 【答案】D C A D B 2332 0081.8B?A?32.042.9?a?ABC ，解三角形；2（1）在，中，已知cm0040?A28b?ABCa?201 ，中，已知，邊長(zhǎng)精確到1cm）在cm，。

2、，解三角形（角度精確到cm（2 060B?2?23ca6? ，；，b及3（1）在AABC，求中，已知cm?cmc161.7134.6cmb?87.8a? ，）在，ABC中，已知，解三角形2（?AABC?ABC? 4(2005年全國(guó)高考江蘇卷) 3，則中，）的周長(zhǎng)為（ ，BC 3?3?43sinB3?B?43sin? BA 36?36sinB?6sinB?3? C D 63? 而得到結(jié)果選(D)分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出bc，則周長(zhǎng)為3bc6645?AB?B,cos，求邊上的中線ACBD=) 5 （2005年全國(guó)高考湖北卷在ABC，中，已知 63 的值sinA sinA分析：本題關(guān)

3、鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得621?DE?AB ，且，設(shè)BEDE解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則/ABx 32222BEDED?2BE?EDcosBD?BE ，BDE中利用余弦定理可得：在762682?xx?2?5?x?1x? ，解得（舍去） 36332123028222?AC?Bsin?BCAC?AB?2ABBCcosB 又，即，從而=2故BC 336 212270 3?Asin ，故 Asin14306 精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 22 A。，C15a在ABC中，已知2，b，求00030?，A?A?180B?A，且0 答案：題型之二 ：判斷三角形的形狀：給出三角形中的

4、三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀A(yù)BCC?2sinAcosB?sin?ABC ，那么 中，已知）1. (2005年北京春季高考題)在一定是（ 正三角形C等腰直角三角形 D直角三角形A B等腰三角形 Csin2sinAcosB? ，BcosAsinBBsin(A)解法1：由sinAcos AB故選(B)sinB0，得sin(AB)0，得A即sincosBcosA222csinCb?ca? ，再由余弦定理，得cosB解法2：由題意，得cosB a2sinA2ac2222cb?ca?22 b，故選(B)a ，即ab，得 a2ac2，統(tǒng)一化為邊，再判1)評(píng)注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為

5、角，再判斷(如解法 (如解法2)斷 ） ，則BsinAsinCABC的形狀一定是（ 2在ABC中，若2cos 等邊三角形 D.B.直角三角形 C.等腰三角形 A.等腰直角三角形 C 答案： C，B）又2sinAcosBsin解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB A（AB）0，sin2Aatan? 3.在ABC中，若的形狀。，試判斷ABC 2Btanb 為等腰三角形或直角三角形。答案：故ABC?coscosA?b 4. 在ABC中，判斷ABC的形狀。 答案：ABC為等腰三角形或直角三角形。題型之三 ：解決與面積有關(guān)問(wèn)題 主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來(lái)解題120?A

6、?7AB?ABC?5BC 中，若，1. (2005年全國(guó)高考上海卷) 在 ABC? _的面積則S 2?A?cossinA3?2ABAC?ABC?ABCAtan ，的面積。2在，求中，的值和 2112?63AC?ABsinA?S?2?3?(2?6) 答案： ABC?2244 1sinA?sinB?2?2sinCABC浙江理3. （0718）已知 ，且的周長(zhǎng)為1sinCABCABC的度數(shù)的面積為，求角 I（）求邊（的長(zhǎng)；II）若 6 1BC?AC?22ACBCAB?AB，（解：，）由題意及正弦定理，得I 精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 1AB? 兩式相減，得111?CACBCBCACsinC?sinABC

7、 II）由，得，的面積（ 362 222221ABBC?(AC?BC)AC2?BC?ABAC?cosC 由余弦定理，得 ， 2BC2AC2BCAC 60C? 所以 題型之四 ：三角形中求值問(wèn)題ca、b、A、?B、?C?ABC? 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為中，1. (2005年全國(guó)高考天津卷) 在1c2223?ab?c?bcBa、b、ctan?A 和，求和滿足條件的值設(shè) 2b 分析：本題給出一些條件式的求值問(wèn)題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理2221?ba?c?60?A?Acos?解：由余弦定理 ，因此， 2bc2B. B=120ABC中，C=180A在B)120?1csinCsin(?3? 由已知條件，應(yīng)用正

8、弦定理 2bsinBsinBsin120?cosB?cos120?sinB311tanB?.,?cot?B,Bcot?2 從而解得 2sinB22B?C2cos?cosACB、?ABCA、取得最大值，并求出這個(gè)最A(yù)的三個(gè)內(nèi)角為為何值時(shí)，求當(dāng)2 2 大值。AB+CAB+C 。 =sin解析：由A+B+C=，得= ，所以有cos 22222B+CAAAA1322+ ； 2sin) + 2sin=2(sin cosA+2cos =cosA+2sin=1 2222222A1B+C3當(dāng)sin = ，即A= 時(shí), cosA+2cos取得最大值為。 32222 22A，cB，Ca，b，?sinAABC，（，

9、角13在邊所對(duì)的分別為銳角）求中，已知3B?CA 22sin?tana?2b2S?的值。的值；（2）若，求， ABC22 122sinA?，?BC）因?yàn)殇J角 cosA，所以，則解析：（1ABC中，A 33BC2sincosA71C）11cosA1ABC（B 2 222sin1cosA）tansin（ CB332CBcos1222（）1cosA2cos 2 精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 2211 ?bcS2，又SbcsinA因?yàn)?。）3，則（2bc ABCABC322 31222A2bccosbca 代入余弦定理：中，將a2，cosA，c b3 2409b6b3 。解得得b 點(diǎn)評(píng)：知道三角形邊外的元素

10、如中線長(zhǎng)、面積、周長(zhǎng)等時(shí)，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。?C2?ccB，Ca，b，ABCA， ，已知對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是4在，中，內(nèi)角 3 3baABC，； 的面積等于，求（）若ABCA2sin2?A)?sinC?sin(B ，求（）若的面積滿考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能力本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)， 分分12224ab?a?b? （）由余弦定理及已知條件得，解：1 3C?absin34abABC? 分 4的面積等于，所以，得 又因?yàn)?222?，4?aab?b?2?2ba 分 6聯(lián)立方程組解得， ?，4ab?Acos4sinA?A)?sin(B?A)?sin(B （）由

11、題意得，AAcoscosBA?2sinsin 分 8即 ， ?3234?BA?ba0?cosA 當(dāng)，時(shí)， 6233a?2bB?2sinAcosA?0sin ，由正弦定理得時(shí)，得當(dāng) 22?，?aba?b43234?a?b ，聯(lián)立方程組解得? 33，ba?2? 321?S?sinabCABC 分 12 的面積所以 32題型之五 ：正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解 三角形的知識(shí)，例析如下： .）測(cè)量問(wèn)題（一C 兩點(diǎn)，B在一岸邊選定A、1. 如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，AB=120cmCAB=30測(cè)得，CBA=75望對(duì)

12、岸標(biāo)記物C， 求河的寬度。邊上的高，而AB分析：求河的寬度，就是求ABC在B A D ，這個(gè)三角形可CBACAB、長(zhǎng)、已測(cè)出在河的一邊，AB1 圖 確定。 精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 ABAC?，又，AC=AB=120m解析：由正弦定理得 ACBCBAsin?sin?11CD?AB?AB?ACsin?SCAB? CD=60m。，解得 ABC22 ”。點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡(jiǎn)單，但是意義重大，屬于“不過(guò)河求河寬問(wèn)題 .）遇險(xiǎn)問(wèn)題（二分鐘后又測(cè)得燈小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，3015北的方向，此艦艇以30海里/2 某艦艇測(cè)得燈塔在它的東 10海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)此艦艇繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？塔在它的東30北。若

13、此燈塔周?chē)钡脑跂|15解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔S北在東30方向上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得S 北，AB=300.5=15的方向上。 在ABC中，可知過(guò)，ASB=15由正弦定理得BS=AB=15ABS=150 東 西 30 15C A B 。，垂足為C，則SC=15sin30=7.5點(diǎn)S作SC直線AB 南10而燈塔周?chē)@表明航線離燈塔的距離為7.5海里，2 圖 海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其1點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問(wèn)題，其解題的一般步驟是：（）分析與所研究問(wèn)3（2）畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；

14、 題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。 ）追擊問(wèn)題（三. A處的南偏東45 ，甲船在3 如圖3A處，乙船在 北 的速度沿南 方向，距A有9n mile并以20n mile/h 的速度航方向航行，若甲船以28n mile/h偏西15A h能盡快追上乙船？行，應(yīng)沿什么方向，用多少 45 C處相遇。解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在B AB=9，在ABC中，AC=28t，BC=20t， BAC=。設(shè)ABC=，。根據(jù)余弦定理=120=1804515 15222?cos?2ABAC?ABBC?BC ，C 3 圖122?2)?(92?28t20?81?20tt?0?t27?6

15、0t128，4t（， 293 （舍）t=0，解得，t=3）（32t+9） 43233 ，BC=20=15 n mile。AC=28=21 n mile 44 3?15 ?35BCsin33552?sin又，in=120，又，根據(jù)正弦定理，得為銳角，=arcs 1421AC1414 ?32572 arcsin， 414142 ?335 可以追上乙船。arcsin的方向用h甲船沿南偏東 4414邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行ABC 點(diǎn)評(píng)：航海問(wèn)題常涉及到解三角形的知識(shí)，本題中的、AB 精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)t的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時(shí)間 的值。于t的一元二次方程，解出t甲船立即處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里