2013年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編9：圓錐曲線

1、2013年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編9：圓錐曲線一、選擇題1 （2013年高考江西卷（理）過點(diǎn)引直線與曲線相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí),直線的斜率等于（）ABCD【答案】B 2 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于（）ABCD【答案】C 3 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為,離心率等于,在雙曲線的方程是（）ABCD【答案】B 4 （2013年高考新課標(biāo)1（理）已知雙曲線:()的離心率為,則的漸近線方程為（）ABCD【答案】C 5

2、（2013年高考湖北卷（理）已知,則雙曲線與的（）A實(shí)軸長相等B虛軸長相等C焦距相等D離心率相等【答案】D 6 （2013年高考四川卷（理）拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是（）ABCD【答案】B 7 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）如圖,是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn),分別是,在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形為矩形,則的離心率是OxyABF1F2（第9題圖）（）ABCD【答案】D 8 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于A, B兩點(diǎn), O為坐標(biāo)原點(diǎn). 若雙曲線的離心率為2, AOB的面積

3、為, 則p =（）A1BC2D3【答案】C 9 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是（）ABCD【答案】B 10（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)）已知拋物線與點(diǎn),過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn),若,則（）ABCD【答案】D 11（2013年高考北京卷（理）若雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為（）Ay=2xBy=CD【答案】B 12（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）已知拋物線:的焦點(diǎn)與雙曲線:的右焦點(diǎn)

4、的連線交于第一象限的點(diǎn).若在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線,則（）ABCD【答案】D 13（2013年高考新課標(biāo)1（理）已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則的方程為（）ABCD【答案】D 14（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在上,若以為直徑的圓過點(diǎn),則的方程為（）A或B或 C或D或 【答案】C 15（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）已知為平面內(nèi)兩定點(diǎn),過該平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為.若,其中為常數(shù),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不可能是（）A圓B橢圓C拋物線D雙曲線【答案】C 16（2013年普通高等學(xué)校招生

5、統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）已知圓,圓,分別是圓上的動(dòng)點(diǎn),為軸上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為（）ABCD 【答案】A 二、填空題17（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題）雙曲線的兩條漸近線的方程為_.【答案】 18（2013年高考江西卷（理）拋物線的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線相交于兩點(diǎn),若為等邊三角形,則_【答案】6 19（2013年高考湖南卷（理）設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),若且的最小內(nèi)角為,則C的離心率為_.【答案】 20（2013年高考上海卷（理）設(shè)AB是橢圓的長軸,點(diǎn)C在上,且,若AB=4,則的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為_【答案】. 2

6、1（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）已知直線交拋物線于兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn),使得為直角,則的取值范圍為_ _.【答案】 22（ 2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題）拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)?包含三角形內(nèi)部與邊界).若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn),則的取值范圍是_.【答案】 23（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題）在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為,設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為,到的距離為,若,則橢圓的離心率為_.

7、【答案】 24（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）橢圓的左.右焦點(diǎn)分別為,焦距為2c,若直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足,則該橢圓的離心率等于_【答案】 25（2013年高考陜西卷（理）雙曲線的離心率為, 則m等于_9_.【答案】9 26（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版）已知橢圓的左焦點(diǎn)為與過原點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn),連接,若,則的離心率_.【答案】 27（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）拋物線的準(zhǔn)線方程是_【答案】 28（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題）在平面直角坐標(biāo)系

8、中,設(shè)定點(diǎn),是函數(shù)()圖象上一動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)之間的最短距離為,則滿足條件的實(shí)數(shù)的所有值為_.【答案】或 29（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),若,則直線的斜率等于_.【答案】 三、解答題30（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分9分.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為(1)若為等邊三角形,求橢圓的方程;(2)若橢圓的短軸長為,過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且,求直線的方程.解(1)(2)【答案】解(1)設(shè)橢圓的方程為. 根據(jù)題意知, 解

9、得, 故橢圓的方程為. (2)容易求得橢圓的方程為. 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),其方程為,不符合題意; 當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為. 由 得. 設(shè),則 因?yàn)?所以,即 , 解得,即. 故直線的方程為或. 31（2013年高考四川卷（理）已知橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,且橢圓經(jīng)過點(diǎn).()求橢圓的離心率;()設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),點(diǎn)是線段上的點(diǎn),且,求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】解: 所以,. 又由已知,所以橢圓C的離心率 由知橢圓C的方程為. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y). (1)當(dāng)直線與軸垂直時(shí),直線與橢圓交于兩點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為 (2) 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線的方程為. 因?yàn)樵谥本€上,可設(shè)點(diǎn)

10、的坐標(biāo)分別為,則 . 又 由,得 ,即 將代入中,得 由得. 由可知 代入中并化簡,得 因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,所以,代入中并化簡,得. 由及,可知,即. 又滿足,故. 由題意,在橢圓內(nèi)部,所以, 又由有 且,則. 所以點(diǎn)的軌跡方程是,其中, 32（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,離心率為,過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.()求橢圓的方程; ()點(diǎn)是橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接,設(shè)的角平分線交 的長軸于點(diǎn),求的取值范圍;()在()的條件下,過點(diǎn)作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,若,試證明為定值,并求出這

11、個(gè)定值. 【答案】解:()由于,將代入橢圓方程得 由題意知,即 又 所以, 所以橢圓方程為 ()由題意可知:=,=,設(shè)其中,將向量坐標(biāo)代入并化簡得:m(,因?yàn)? 所以,而,所以 (3)由題意可知,l為橢圓的在p點(diǎn)處的切線,由導(dǎo)數(shù)法可求得,切線方程為: ,所以,而,代入中得 為定值. 33（2013年高考上海卷（理）(3分+5分+8分)如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點(diǎn),若存在過點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn),則稱P為“C1C2型點(diǎn)”.(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1C2型點(diǎn)”時(shí),要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證);(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn),求證,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1C

12、2型點(diǎn)”;(3)求證:圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1C2型點(diǎn)”.【答案】:(1)C1的左焦點(diǎn)為,過F的直線與C1交于,與C2交于,故C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”,且直線可以為; (2)直線與C2有交點(diǎn),則 ,若方程組有解,則必須; 直線與C2有交點(diǎn),則 ,若方程組有解,則必須 故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”. (3)顯然過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線C1有交點(diǎn),則斜率必存在; 根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn),則 直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn),故 化簡得,. 若直線與曲線C1有交點(diǎn),則 化簡得,. 由得, 但此時(shí),因?yàn)?即式不成立; 當(dāng)時(shí),式也不成立 綜上,直

13、線若與圓內(nèi)有交點(diǎn),則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn), 即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)” . 34（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）如圖,在正方形中,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.分別將線段和十等分,分點(diǎn)分別記為和,連結(jié),過做軸的垂線與交于點(diǎn).(1)求證:點(diǎn)都在同一條拋物線上,并求該拋物線的方程;(2)過點(diǎn)做直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn),若與的面積比為,求直線的方程.【答案】解:()依題意,過且與x軸垂直的直線方程為 ,直線的方程為 設(shè)坐標(biāo)為,由得:,即, 都在同一條拋物線上,且拋物線方程為 ()依題意:直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為 由得 此時(shí),直線

14、與拋物線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 設(shè):,則 又, 分別帶入,解得 直線的方程為,即或 35（2013年高考湖南卷（理）過拋物線的焦點(diǎn)F作斜率分別為的兩條不同的直線,且,相交于點(diǎn)A,B,相交于點(diǎn)C,D.以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在的直線記為.(I)若,證明;(II)若點(diǎn)M到直線的距離的最小值為,求拋物線E的方程.【答案】解: () . 所以,成立. (證畢) () 則, . . 36（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）如圖,點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),的長軸是圓的直徑.是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線,其中交圓于兩點(diǎn),交橢圓于另一點(diǎn)(1)求橢圓的方程;

15、 (2)求面積取最大值時(shí)直線的方程.xOyBl1l2PDA（第21題圖）【答案】解:()由已知得到,且,所以橢圓的方程是; ()因?yàn)橹本€,且都過點(diǎn),所以設(shè)直線,直線,所以圓心到直線的距離為,所以直線被圓所截的弦; 由,所以 ,所以 , 當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)直線 37（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）如題(21)圖,橢圓的中心為原點(diǎn),長軸在軸上,離心率,過左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn),.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)取垂直于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),過作圓心為的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓外.若,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】 38（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試

16、安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上()若橢圓的焦距為1,求橢圓的方程;()設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上的第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線交軸與點(diǎn),并且,證明:當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)在某定直線上.【答案】解: (). () . 由. 所以動(dòng)點(diǎn)P過定直線. 39（2013年高考新課標(biāo)1（理）已知圓:,圓:,動(dòng)圓與外切并且與圓內(nèi)切,圓心的軌跡為曲線 C.()求C的方程;()是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓P的半徑最長時(shí),求|AB|. 【答案】由已知得圓的圓心為(-1,0),半徑=1,圓的圓心為(1,0),半徑=3. 設(shè)動(dòng)圓的圓心為(,),半徑為R.()圓與圓外切且與圓內(nèi)切,

17、|PM|+|PN|=4, 由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左右焦點(diǎn),場半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為. ()對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)(,),由于|PM|-|PN|=2,R2, 當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí),R=2. 當(dāng)圓P的半徑最長時(shí),其方程為, 當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí),則與軸重合,可得|AB|=. 當(dāng)?shù)膬A斜角不為時(shí),由R知不平行軸,設(shè)與軸的交點(diǎn)為Q,則=,可求得Q(-4,0),設(shè):,由于圓M相切得,解得. 當(dāng)=時(shí),將代入并整理得,解得=,|AB|=. 當(dāng)=-時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知|AB|=, 綜上,|AB|=或|AB|=. 40（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（

18、理）試題（含答案）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F, 離心率為, 過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. () 求橢圓的方程; () 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點(diǎn), 過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點(diǎn). 若, 求k的值. 【答案】 41（2013年高考江西卷（理）如圖,橢圓經(jīng)過點(diǎn)離心率,直線的方程為.(1)求橢圓的方程;(2)是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)),設(shè)直線與直線相交于點(diǎn),記的斜率分別為問:是否存在常數(shù),使得?若存在求的值;若不存在,說明理由.【答案】解:(1)由在橢圓上得, 依題設(shè)知,則 代入解得. 故橢圓的方程為. (2)方法一:由題意可設(shè)的斜率為, 則直線的方程為 代入橢圓

19、方程并整理,得, 設(shè),則有 在方程中令得,的坐標(biāo)為. 從而. 注意到共線,則有,即有. 所以 代入得, 又,所以.故存在常數(shù)符合題意. 方法二:設(shè),則直線的方程為:, 令,求得, 從而直線的斜率為, 聯(lián)立 ,得, 則直線的斜率為:,直線的斜率為:, 所以, 故存在常數(shù)符合題意. 42（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn).() 求拋物線的方程;() 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí),求直線的方程;() 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.【答案】() 依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)

20、合,解得. 所以拋物線的方程為. () 拋物線的方程為,即,求導(dǎo)得 設(shè),(其中),則切線的斜率分別為, 所以切線的方程為,即,即 同理可得切線的方程為 因?yàn)榍芯€均過點(diǎn),所以, 所以為方程的兩組解. 所以直線的方程為. () 由拋物線定義可知, 所以 聯(lián)立方程,消去整理得 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得, 所以 又點(diǎn)在直線上,所以, 所以 所以當(dāng)時(shí), 取得最小值,且最小值為. 43（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案）平面直角坐標(biāo)系中,過橢圓的右焦點(diǎn)作直交于兩點(diǎn),為的中點(diǎn),且的斜率為.()求的方程;()為上的兩點(diǎn),若四邊形的對(duì)角線,求四邊形面積的最大值.【

21、答案】 44（2013年高考湖北卷（理）如圖,已知橢圓與的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸均為且在軸上,短軸長分別為,過原點(diǎn)且不與軸重合的直線與,的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為,.記,和的面積分別為和.(I)當(dāng)直線與軸重合時(shí),若,求的值;(II)當(dāng)變化時(shí),是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線,使得?并說明理由.第21題圖【答案】解:(I), 解得:(舍去小于1的根) (II)設(shè)橢圓,直線: 同理可得, 又和的的高相等 如果存在非零實(shí)數(shù)使得,則有, 即:,解得 當(dāng)時(shí),存在這樣的直線;當(dāng)時(shí),不存在這樣的直線. 45（2013年高考北京卷（理）已知A、B、C是橢圓W:上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).(I)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積;(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.【答案】解:(I)橢圓W:的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分. 所以可設(shè)A(1,),代入橢圓方程得,即. 所以菱形OABC的面積是. (II)假設(shè)四邊形OABC為菱形. 因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn),且直線AC不過原點(diǎn),所以可設(shè)AC的方程為. 由消去并整理得. 設(shè)A,C,則,. 所以AC的中點(diǎn)為M(,). 因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn),所以直線OB的斜率為. 因?yàn)?所以AC與OB不垂直. 所以O(shè)