靜電學一章習題答案

1、靜電學一章習題答案習題71 半徑為R的均勻帶電球體的靜電場中各點的電場強度的大小E與距球心的距離r的關系曲線為：E r R E1/r2 (A) O E r R O E1/r2 (B) E O r R E1/r2 (C) E r O R E1/r2 E1/r (D) 習題71圖 習題72半徑為R的均勻帶電球面，總電量為Q，設無窮遠處電勢為零，則該帶電體所產生的電場的電勢U隨離球心的距離r變化的分布曲線為：U r O U1/r R (A) U r O R U1/r (B) U r O R U1/r (C) U r O R U1/r2 (D) U r O R U1/r2 (E) 習題72圖 A a

2、b c d q 習題73圖 習題73 如圖所示，一個帶電量為q的點電荷位于立方體的A角上，則通過側面abcd的電場強度通量等于：解：可以設想再補上與圖示立方體完全相同的七個立方體，使得點電荷位于一個邊長擴大一倍的新的立方體的中心，這樣，根據(jù)高斯定理，通過這個新立方體的六個面的總電通量為，通過其中任何一個面的電通量為，而因原abcd面只是新立方體一個面的四分之一，故通過abcd面的電場強度通量為。選擇答案(C)R1 R2 r P O Q1 Q2 習題74圖 習題74 如圖所示，兩個同心的均勻帶電球面，內球面半徑為R1、帶電量Q1，外球面半徑為R2、帶電量為Q2。設無窮遠處為電勢零點，則在內球面里

3、面，距球心為r的P點處的電勢為：(A) 。 (B) 。 (C) 0。(D) 。解：根據(jù)場強疊加原理，內球面單獨在P點產生的電勢為外球面單獨在P點產生的電勢為因此，P點最終的電勢為所以選擇答案(B)注：對典型電荷分布的場，應用疊加原理可以非常方便地求得結果。X Y Z P O 習題75 有N個電量均為q的點電荷，以兩種方式分布在相同半徑的圓周上：一種是無規(guī)則的分布，另一種是均勻分布，比較這兩種情況下在過圓心O并垂直于圓平面的Z軸上任一點P的場強與電勢，則有：(A) 場強相等，電勢相等。 (B) 場強不等，電勢不等。 習題75圖 (C) 場強分量EZ相等，電勢相等。 (D) 場強分量EZ相等，電勢

4、不等。解：因為電勢是標量，而且僅與點電荷到場點的距離有關，所以各點電荷在P點產生的電勢都相等，與點電荷在圓周上的位置無關，這樣一來，根據(jù)電勢疊加原理，兩種情況下的電勢都一樣，都是對于場強，因為它是矢量，即不僅有大小還有方向，各點電荷產生的場強方向與其在圓周上的位置有關，也就是說，P點的場強應當與各點電荷在圓周上的分布有關，所以兩種情況下的場強是不同的。但是，由于P點對于圓周上的各點是對稱的，各點電荷場強的Z分量(標量)大小與其在圓周上的位置無關，因此，兩種情況下P點的場強分量EZ 都相同。綜上，應該選擇答案(C)。習題76 如圖所示，邊長為a的等邊三角形的三個頂點上，放置著三個正的點電荷，電量

5、分別為q、2q、3q，若將另一點電荷Q從無窮遠處移到三角形的中心O處，外力所作的功為：(A) (B) (C) (D) a a a q 2q 3q O 習題76圖 解：根據(jù)電勢疊加原理，三角形的中心O處的電勢為因為無窮遠處電勢為零，所以外力的功為因此，應當選擇答案(C)。O a a q q X Y P (0，y) 習題77圖 習題77 如圖所示，在坐標(a，0)處放置一點電荷+q，在坐標(a，0)處放置另一點電荷q。P點是Y軸的一點，坐標為(0，y)，當ya時，該點場強的大小為：(A) (B) (C) (D) 解：由圖示，兩個點電荷在P點產生的場強的Y分量相抵消，P點最終的場強只是兩場強X分量的

6、疊加，因此，P點的場強為所以應該選擇答案(C)。X E O (A) X E O Ex (B) X E O (C) X E O (D) 習題78圖 習題78 設有一“無限大”均勻帶正電荷的平面，取X軸垂直帶電平面，坐標原點在帶電平面上，則其周圍空間各點的電場強度隨距離平面的位置坐標x的變化的關系曲線為(規(guī)定場強方向沿X軸正方向為正，反之為負)： 解：“無限大”均勻帶正電荷的平面產生的場強大小是與到平面的距離x無關的常量，但是平面兩側的場強方向不同：在x0區(qū)間，場強方向與X軸正向相同，應為正；反之在x0區(qū)間，場強方向與X軸正向相反，應為負。所以，應該選擇答案(C)。R r E O E1/r2 習題

7、79圖 習題79 圖中所示曲線表示某種球對稱靜電場的場強大小E隨徑向距離r變化的關系，請指出該電場是由下列哪一種帶電體產生的。(A) 半徑為R的均勻帶電球面。(B) 半徑為R的均勻帶電球體。(C) 點電荷。(D) 外半徑為R，內半徑為R/2的均勻帶電球殼體。解：容易看出該電場是由半徑為R的均勻帶電球面產生的，所以，應該選擇答案(A)。O R r P q Q 習題710圖 習題710 真空中一半徑為R的球面均勻帶電Q，在球心O處有一帶電量為q的點電荷，如圖所示。設無窮遠處為電勢零點，則在球內離球心O為r的P 處的電勢為：(A) (B) (C) (D) 解：根據(jù)電勢疊加原理，P點的電勢應為均勻帶電

8、球面和球心處的點電荷各自單獨存在時所產生電勢的疊加，即所以，應該選擇答案(B)。習題711 把一個帶電量為+Q的球形肥皂泡由半徑r1吹脹到r2，則半徑為R(r1Rr2)的高斯球面上任一點的場強大小E由變?yōu)椋浑妱萦勺優(yōu)?選無窮遠為電勢零點)。解：在吹脹過程中，高斯球面上任一點先在球形肥皂泡外，后在肥皂泡內，而帶電的球形肥皂泡可看作均勻帶電球面，因此，高斯球面上任一點的場強大小由變到 E = 0；該點的電勢由變到注：從本題求解可以看出，我們應該對均勻帶電球面的場強和電勢公式非常熟悉才行S q1 q2 q3 q4 習題712圖習題712 點電荷q1、q2、q3和q4在真空中的分布如圖所示，圖中S為閉

9、合曲面，則通過該閉合曲面的電通量，式中是點電荷在閉合曲面上任一點產生的場強的矢量和。解：根據(jù)靜電場高斯定理，通過該閉合曲面的電通量等于被閉合曲面包圍的電荷之代數(shù)和的分之一，即 =高斯定理中的是高斯面上任一點的場強，它是由高斯面內、外的所有電荷共同產生的，即由q1、q2、q3和q4共同產生的。S1 S2 S3 q q 習題713圖 習題713 在點電荷+q和q的靜電場中，作出如圖所示的三個閉合面S1、S2、S3，則通過這些閉合面的電場強度通量分別為1= ；2= ；3=。解：根據(jù)高斯定理容易知道，通過三個閉合曲面的電通量分別為、0、。l 2l A B C D q q 習題714圖 O 習題714

10、如圖，A點與B點間距離為2l，OCD是以B為中心、以l為半徑的半圓路徑，A、B兩處各放有一點電荷帶，電量分別為+q和-q，則把另一帶電量為Q(Q0)的點電荷從D點沿路徑DCO移到O點的過程中，電場力所作的功為。解：放在A、B兩處的點電荷+q和-q是場源電荷，設無窮遠處為電勢零點，則D點的電勢為同理，O點的的電勢為因此，把另一帶電量為Q(Q2R)。求兩球心間的電勢差。解：選擇兩球心連線為積分路徑，在該路徑上距O1為r的某點的電場強度大小為電場強度的方向是從O1指向O2。兩個非導體球殼都在表面上均勻帶電，它們均可視為均勻帶電球面，因此每個球殼各自都是個等勢體，故而兩球心間的電勢差即為兩球表面間的電

11、勢差，所以有注：此題原來給出的答案可能是錯的。習題727 電荷Q均勻分布在半徑為R的球體內，設無窮遠處為電勢零點，試證明離球心r(rR)處的電勢為：證明：由高斯定理容易算出該球體內外的場分布：0rRrR因此，離球心為r(rR)處的電勢為習題728 一半徑為R的帶電球體，其電荷體密度分布為式中q為一正的常數(shù)。試求：(1) 帶電球體的總電量；(2) 球內、外各點的電場強度；(3) 球內、外各點的電勢。解：(1) 帶電球體的總電量為(2) 取半徑為r的同心球形高斯面，則有在rR區(qū)間：所以場強分布為 (3) 根據(jù)場強與電勢的積分關系在rR區(qū)間：所以電勢分布為X O d 習題729圖 x x S 習題7

12、29 圖示一厚度為d 的“無限大”均勻帶電平板，電荷體密度為。試求板內外的場強分布并畫出場強在X軸的投影值隨坐標x變化的圖線，即Exx圖線( 設原點在帶電平板的中央平面上，OX軸垂直于平板)。解：以X軸為軸線取一閉合圓柱面S，使其兩個端面距帶電平板的中央平面等距，即兩端面分別在x和x處，同時設端面積為，根據(jù)高斯定理在平板內有： ()在平板外有：X E O d/2 d/2 題解729圖 ()場強在X軸的投影值隨坐標x變化的圖線如圖所示。靜電場一章補充習題及答案O R 窄條面元 題解1552圖1 習題1552(2000.1習題集) 一“無限長”均勻帶電半圓柱面，半徑為R，若半圓柱面沿軸線單位長度上

13、的電量為，試求軸線上任一點的電場強度。分析：該題求解的關鍵在如何取“元電荷”，根據(jù)“無限長”的對稱性，應當在柱面上、沿軸線方向取 “無限長” 窄條元電荷，這樣的“窄條”可以看成是“無限長”均勻帶電直線。R X Y O 題解1552圖2 解：如圖所示是該半圓柱面的垂直于軸線的橫截面（在XOY平面內），軸線沿Z軸方向。設所取“窄條”寬度為，其電荷線密度為其在軸線上某點的元場強的大小為元場的方向如圖所標?，F(xiàn)把進行分解由于對稱性，。因此，軸線上最終的場強為 寫成矢量式有習題1561(2000.1習題集) 一錐頂角為的圓臺，上下底面半徑分別為R1和R2，在它的側面上均勻帶電，電荷面密度為，求頂點O的電勢

14、。(以無窮遠處為電勢零點)O R1 r R2 dr dl dl 題解1561圖 分析：此題的關鍵仍是取“元電荷”的問題，根據(jù)帶電體的形狀，應該在圓臺面上取與其共軸的窄圓環(huán)（球帶），該球帶可視為均勻帶電圓環(huán)。解：如圖，取半徑為r()、母線長為dl的球帶（環(huán)形電荷元），其側面積為，帶電量為，由于，因此，其在O點產生的元電勢為故頂點O的電勢為O 習題1569圖 習題1569(2000.1習題集) 如圖所示，在一個電荷體密度為的均勻帶電球體中，挖出一個以為球心的球狀小空腔，空腔的球心相對于帶電球體中心O的位置矢量用表示，試證明球形空腔內的電場是均勻電場，其表達式為分析：均勻帶電球體中挖去一個球狀空腔，

15、電荷分布及場分布已經不具有對稱性，所以不能直接用高斯定理求解，但是可以間接使用高斯定理求解。如圖所示，該球體可以看成一個與其等大的、電荷體密度為的完整無損的均勻帶電球體和另一個與球形小空腔等大的、電荷體密度為的完整無損的均勻帶電小球體疊加而成，按疊加原理，空間任一點的場應等于上述兩個帶電球體各自單獨存在時產生的場之疊加。 題解1569圖 解：設空腔內任一點P對O點的位置矢量為，電荷體密度為的完整無損的均勻帶電球體單獨存在時在P點產生的場為同理，電荷體密度為的完整無損的均勻帶電小球體單獨存在時在P點產生的電場為式中為場點P對點的位置矢量。所以，P點最終的場為注：對這樣“破缺”型問題，應當考慮采用

16、反號電荷補償法進行拆分，拆分原則是能方便地應用疊加原理求得結果，類似問題在磁學中還會遇到，不過在那里是采用反向電流補償法進行拆分處理。習題78(李子芳主編的教材，第七章) 半徑為R的球體內電荷體密度為，式中為常量，r為球內某點到球心的距離。試求球內、外的場強分布。分析：電荷在球體內盡管分布不均勻，但因只是r的函數(shù)，所以仍為球對稱分布，仍然可以用高斯定理；不過計算面內電荷時需積分，因為這時并非常數(shù)。解：取同心球形高斯面，半徑為r。在rR區(qū)間： 而 (rR)在區(qū)間：而()習題1533(2000.1習題集) 一“無限長”均勻帶電直線沿Z軸放置，線外某區(qū)域的電勢表達式為，式中A為常數(shù)，則該區(qū)域場強的兩個為：Ex=；Ey=。解：由場強與電勢的微分關系可得習題152(2000.1習題集) 電荷面密度為和的兩塊“