高中數(shù)學(xué)必修5正余弦定理教案

1、高中數(shù)學(xué)必修5正余弦定理教案教學(xué)目標(biāo)(一)知識目標(biāo)1.三角形的有關(guān)性質(zhì)；2.正、余弦定理綜合運用.(二)能力目標(biāo)1.熟練掌握正、余弦定理應(yīng)用；2.進(jìn)一步熟悉三角函數(shù)公式和三角形中的有關(guān)性質(zhì)；3.綜合運用正、余弦定理、三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題.(三)德育目標(biāo)通過正、余弦定理在解三角形問題時溝通了三角函數(shù)與三角形有關(guān)性質(zhì)的功能，反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系及一定條件下的相互轉(zhuǎn)化.教學(xué)重點正、余弦定理的綜合運用.教學(xué)難點1.正、余弦定理與三角形性質(zhì)的結(jié)合；2.三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系.教學(xué)方法啟發(fā)式1.啟發(fā)學(xué)生在求解三角形問題時，注意三角形性質(zhì)、三角公式變形與正弦、余弦定理

2、產(chǎn)生聯(lián)系，從而綜合運用正弦、余弦定理達(dá)到求解目的；2.在題設(shè)條件不是三角形基本元素時，啟發(fā)學(xué)生利用正、余弦建立方程，通過解方程組達(dá)到解三角形目的.教具準(zhǔn)備投影儀、幻燈片第一張：正、余弦定理內(nèi)容(記作5.9.4 A)正弦定理：余弦定理： 第二張：例題1、2(記作5.9.4 B)例1在ABC中，三邊長為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三邊長.例2如圖，在ABC中，AB4c，AC3c，角平分線AD2c，求此三角形面積.第三張：例題3、4(記作5.9.4 C)例3已知三角形的一個角為60，面積為10c2，周長為20c，求此三角形的各邊長.例4在ABC中，AB5，AC3，D為BC中點，

3、且AD4，求BC邊長.教學(xué)過程.復(fù)習(xí)回顧師：上一節(jié)課，我們一起研究了正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能在證明三角恒等式及判斷三角形形狀時的應(yīng)用，這一節(jié)，我們將綜合正、余弦定理、三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)來求解三角形問題.首先，我們一起回顧正、余弦定理的內(nèi)容(給出投影片5.9.4 A).講授新課師：下面，我們通過屏幕看例題.(給出投影片5.9.4 B)例1分析：由于題設(shè)條件中給出了三角形的兩角之間的關(guān)系，故需利用正弦定理建立邊角關(guān)系.其中sin2利用正弦二倍角展開后出現(xiàn)了cos，可繼續(xù)利用余弦定理建立關(guān)于邊長的方程，從而達(dá)到求邊長的目的.解：設(shè)三角形的三邊長分別為，1，2，其中*，又設(shè)最小角為，則又由

4、余弦定理可得2（1）2（2）22（1）（2）cos將代入整理得：2340解之得14，21(舍)所以此三角形三邊長為4，5，6.評述： (1)此題所求為邊長，故需利用正、余弦定理向邊轉(zhuǎn)化，從而建立關(guān)于邊長的方程；(2)在求解過程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向?qū)W生強調(diào)三角公式的工具性作用，以引起學(xué)生對三角公式的重視.例2分析：由于題設(shè)條件中已知兩邊長，故而聯(lián)想面積公式ABCABACsinA，需求出sinA，而ABC面積可以轉(zhuǎn)化為ADCADB，而ADCACADsin，ADBABADsin，因此通過ABCADCADB建立關(guān)于含有sinA，sin的方程，而sinA2sincos，sin2cos21

5、，故sinA可求，從而三角形面積可求.解：在ABC中，ABCADBADC，ABACsinAACADsinABADsin43sinA32sin6sinA7sin12sincos7sinsin0 cos又0A 0sin，sinA2sincos，ABC43sinA（c2）.評述：面積等式的建立是求sinA的突破口，而sinA的求解則離不開對三角公式的熟悉.由此啟發(fā)學(xué)生在重視三角形性質(zhì)運用的同時，要熟練應(yīng)用三角函數(shù)的公式.另外，在應(yīng)用同角的平方關(guān)系sin2cos21時，應(yīng)對角所在范圍討論后再進(jìn)行正負(fù)的取舍.（給出幻燈片5.9.4 C）例3分析：此題所給的題設(shè)條件除一個角外，面積、周長都不是構(gòu)成三角形的

6、基本元素，但是都與三角形的邊長有關(guān)系，故可以設(shè)出邊長，利用所給條件建立方程，這樣由于邊長為三個未知數(shù)，所以需尋求三個方程，其一可利用余弦定理由三邊表示已知60角的余弦，其二可用面積公式ABCabsinC表示面積，其三是周長條件應(yīng)用.解：設(shè)三角形的三邊長分別為a、b、c，B60，則依題意得 由式得：b220（ac）2400a2c22ac40（ac） 將代入得4003ac40（ac）0再將代入得ac13由b17，b27所以，此三角形三邊長分別為5c，7c，8c.評述： (1)在方程建立的過程中，應(yīng)注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面積公式的應(yīng)用.(2)由條件得到的是一個三元二次方程

7、組，要注意要求學(xué)生體會其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及運算能力.例4分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長，應(yīng)考慮在假設(shè)BC為后，建立關(guān)于的方程.而正弦定理涉及到兩個角，故不可用.此時應(yīng)注意余弦定理在建立方程時所發(fā)揮的作用.因為D為BC中點，所以BD、DC可表示為，然用利用互補角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程.解：設(shè)BC邊為，則由D為BC中點，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180cosADBcos（180ADC）cosADC.解得，2所以，BC邊長為2.評述：此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦定理建立方程的功能，體會互補角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并

8、注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型.另外，對于本節(jié)的例2，也可考慮上述性質(zhì)的應(yīng)用來求解sinA，思路如下：由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)可得，設(shè)BD5，DC3，則由互補角ADC、ADB的余弦值互為相反數(shù)建立方程，求出BC后，再結(jié)合余弦定理求出cosA，再由同角平方關(guān)系求出sinA.師：為鞏固本節(jié)所學(xué)的解題方法，下面我們進(jìn)行課堂練習(xí).課堂練習(xí)1.半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為025，求此三角形三邊長的乘積.解：設(shè)ABC三邊為a，b，c.則ABC又，其中R為三角形外接圓半徑abc4RSABC410251所以三角形三邊長的乘積為1.評述：由于題設(shè)條件有三角形外接圓半徑，故聯(lián)想正弦定理：，其中R為三角形外接圓半徑，與

9、含有正弦的三角形面積公式ABC發(fā)生聯(lián)系，對abc進(jìn)行整體求解.2.在ABC中，已知角B45，D是BC邊上一點，AD5，AC7，DC3，求AB.解：在ADC中，cosC又0C180，sinC在ABC中，AB評述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學(xué)生注意正、余弦定理的綜合運用.3.在ABC中，已知cosA，sinB，求cosC的值.解：cosAcos45，0A45A90sinAsinBsin30，0B0B30或150B180若B150，則BA180與題意不符.0B30 cosBcos（AB）cosAcosBsinAsinB又C180（AB）.cosCcos180（AB）c

10、os（AB）.評述：此題要求學(xué)生在利用同角的正、余弦平方關(guān)系時，應(yīng)根據(jù)已知的三角函數(shù)值具體確定角的范圍，以便對正負(fù)進(jìn)行取舍，在確定角的范圍時，通常是與已知角接近的特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行比較.課時小結(jié)師：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步熟悉了三角函數(shù)公式及三角形的有關(guān)性質(zhì)，綜合運用了正、余弦定理求解三角形的有關(guān)問題，要求大家注意常見解題方法與解題技巧的總結(jié)，不斷提高三角形問題的求解能力.課后作業(yè)(一)書面作業(yè)1.課本132習(xí)題5.9 5.2.在三角形中，三邊長為連續(xù)自然數(shù)，且最大角是鈍角，那么這個三角形的三邊長分別為 .答案：2，3，43.已知方程a（12）2bc（12）0沒有實數(shù)根，如果a、b、c是A

11、BC的三條邊的長，求證ABC是鈍角三角形.(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容課本132133解斜三角形應(yīng)用舉例.2.預(yù)習(xí)提綱(1)解斜三角形在實際中有哪些應(yīng)用?(2)實際中的解斜三角形問題如何轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題?板書設(shè)計5.9.4 正弦定理、余弦定理(四)1.常用三角公式 2.三角形有關(guān)性質(zhì) 3.學(xué)生練習(xí)sin2Acos2A1 面積公式absinCsin2A2sinAcosA 角平分線定理sin（AB）sinAcosBcosAsinB 互補角正弦值相等cos2A12sin2A 互補角余弦值互為相反數(shù)備課資料1.正、余弦定理的綜合運用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若將正弦定理代入得：sin2Asin2Bs

12、in2C2sinBsinCcosA.這是只含有三角形三個角的一種關(guān)系式，利用這一定理解題，簡捷明快，下面舉例說明之.例1在ABC中，已知sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，求B的度數(shù).解：由定理得sin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosB，2sinAsinCcosBsinAsinCsinAsinC0cosB150例2求sin210cos240sin10cos40的值.解：原式sin210sin250sin10sin50在sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA中，令B10，C50，則A120.sin2120sin210sin2502sin10sin50cos120sin210sin250sin10sin50（）2.例3在ABC中，已知2cosBsinCsinA，試判定ABC的形狀.解：在原等式兩邊同乘以sinA得：2cosBsinAsinCsin2A，由定理得sin2Asin2Csin2sin2A，sin2Csin2BBC故ABC是等腰三角形.2.一題多證例4在ABC中已知a2bcosC，求證：ABC為等腰三角形.證法一：欲證ABC為等腰三角形.可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊元素，使只剩含角的三角函數(shù).由正弦定理得a2bcosC，即2cosCsinBsi