高中物理相遇和追擊問題

1、相遇和追及問題分析1.相遇和追及問題的實質(zhì):研究的兩物體能否在相同的時刻到達相同的空間位置的問題。2.畫出物體運動的情景圖，理清三大關(guān)系（1）時間關(guān)系：（2）位移關(guān)系：（3）速度關(guān)系：兩者速度相等。它往往是物體間能否追上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。3.兩種典型追及問題 （1）速度大者（勻減速）追速度小者（勻速）當v1=v2時，A末追上B，則A、B永不相遇，此時兩者間有最小距離；當v1=v2時，A恰好追上B，則A、B相遇一次，也是避免相撞剛好追上的臨界條件；當v1v2時，A已追上B，則A、B相遇兩次，且之后當兩者速度相等時，兩者間有最大距離。（2）同地出發(fā)，速度小者

2、（初速度為零的勻加速）追速度大者（勻速） 當 v1=v2 時，A、B距離最大；當兩者位移相等時,有 v1=2v2且A追上B。A追上B所用的時間等于它們之間達到最大距離時間的兩倍。4.相遇和追及問題的常用解題方法:畫出兩個物體運動示意圖，分析兩個物體的運動性質(zhì)，找出臨界狀態(tài)，確定它們位移、時間、速度三大關(guān)系。 1)基本公式法根據(jù)運動學公式，把時間關(guān)系滲透到位移關(guān)系和速度關(guān)系中列式求解2)圖像法正確畫出運動的v-t圖像,根據(jù)圖像的斜率、截距、面積的物理意義結(jié)合三大關(guān)系求解3)相對運動法巧妙選擇參考系，簡化運動過程、臨界狀態(tài)，根據(jù)運動學公式列式求解4)數(shù)學方法根據(jù)運動學公式列出數(shù)學關(guān)系式（要有實際物

3、理意義）利用二次函數(shù)的求根公式中判別式求解。5.追及和相遇問題的求解步驟兩個物體在同一直線上運動，往往涉及追及，相遇或避免碰撞等問題，解答此類問題的關(guān)鍵條件是：兩物體能否同時達到空間某位置。基本思路是：分別對兩物體進行研究；畫出運動過程示意圖；列出位移方程找出時間關(guān)系，速度關(guān)系 解出結(jié)果，必要時進行討論。(1)追及問題：追和被追的兩物體的速度相等（同向運動）是能否追上及兩者距離有極值的臨界條件。 第一類：速度大者減速（如勻減速直線運動）追速度小者（如勻減速直線運動） 當兩者速度相等時,追者位移追者位移仍小于被追者位移,則永遠追不上,此時兩者之間有最小距離。 若兩者位移相等,且兩者速度相等時,則

4、恰能追上,也是兩者避免碰撞的臨界條件。 若兩者位移相等時,追著速度仍大于被追者的速度,則被追者還有一次追上追者的機會,當速度相等時兩者之間距離有一個最大值。在具體求解時,可以利用速度相等這一條件求解,也可以利用二次函數(shù)的知識求解，還可以利用圖象等求解。第二類：速度小者加速（如初速度為零的勻加速直線運動）追速度大者（勻速直線運動）。 當兩者速度相等時有最大距離當兩者位移相等時，則追上具體的求解方法與第一類相似，即利用速度相等進行分析還可利用二次函數(shù)圖象和圖象圖象。(2)相遇問題 同向運動的兩物體追及即相遇相向運動的物體，當各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離時相遇6.分析追及，相遇問題

5、時要注意(1)分析問題是，一個條件，兩個關(guān)系。一個條件是：兩物體速度相等時滿足的臨界條件，如兩物體的距離是最大還是最小及是否恰好追上等。兩個關(guān)系是：時間關(guān)系和位移關(guān)系。時間關(guān)系是指兩物體運動時間是否相等，兩物體是同時運動還是一先一后等；而位移關(guān)系是指兩物體同地運動還是一前一后等，其中通過畫運動示意圖找到兩物體間的位移關(guān)系是解題的突破口，因此在學習中一定要養(yǎng)成畫草圖分析問題的良好習慣，對幫助我們理解題意，啟迪思維大有好處。(2)若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意，追上前該物體是否已停止運動。仔細審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖出題目中的隱含條件，如“剛好”，“恰巧”，最多“，”至少

6、“等。往往對應一個臨界狀態(tài)，滿足相應的臨界條件。7.追及問題的六種常見情形(1)勻加速直線運動的物體追勻速直線運動的物體：這種情況定能追上，且只能相遇一次；兩者之間在追上前有最大距離，其條件是V加 = V勻(2)勻減速直線運動追勻速直線運動物體：當V減 = V勻時兩者仍沒到達同一位置，則不能追上；當V減 = V勻時兩者正在同一位置，則恰能追上，也是兩者避免相撞的臨界條件；當兩者到達同一位置且V減 V勻時，則有兩次相遇的機會。(3)勻速直線運動追勻加速直線運動物體：當兩者到達同一位置前，就有V加 = V勻，則不能追上；當兩者到大同位置時V加 = V勻，則只能相遇一次；當兩者到大同一位置時V加 V

7、勻則有兩次相遇的機會。(4)勻速直線運動物體追勻減速直線運動物體：此種情況一定能追上。(5)勻加速直線運動的物體追勻減速直線運動的物體：此種情況一定能追上。(6)勻減速直線運動物體追勻加速直線運動物體：當兩者在到達同一位置前V減 = V加，則不能追上；當V減 = V加時兩者恰到達同一位置，則只能相遇一次；當?shù)匾淮蜗嘤鰰rV減 V加，則有兩次相遇機會。（當然，追及問題還有其他形式，如勻加速追勻加速，勻減速追勻減速等，請同學們獨立思考）。8.典型例題例1.A火車以v1=20m/s速度勻速行駛,司機發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距100m處有另一列火車B正以v2=10m/s速度勻速行駛，A車立即做加速度大小為a的

8、勻減速直線運動。要使兩車不相撞,a應滿足什么條件？解1：（公式法）兩車恰好不相撞的條件是兩車速度相同時相遇。由A、B 速度關(guān)系： 由A、B位移關(guān)系： 解2：（圖像法）在同一個v-t圖中畫出A車和B車的速度時間圖像圖線，根據(jù)圖像面積的物理意義，兩車位移之差等于圖中梯形的面積與矩形面積的差，當t=t0時梯形與矩形的面積之差最大,為圖中陰影部分三角形的面積.根據(jù)題意,陰影部分三角形的面積不能超過100. 物體的v-t圖像的斜率表示加速度,面積表示位移。 （由于不涉及時間，所以選用速度位移公式。 ）解3：（相對運動法）以B車為參照物， A車的初速度為v0=10m/s，以加速度大小a減速，行駛x=100

9、m后“停下”，末速度為vt=0。 備注：以B為參照物,公式中的各個量都應是相對于B的物理量.注意物理量的正負號。解4：（二次函數(shù)極值法）若兩車不相撞，其位移關(guān)系應為代入數(shù)據(jù)得：其圖像(拋物線)的頂點縱坐標必為正值,故有 把物理問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)二次函數(shù)的極值求解的數(shù)學問題。 例2.一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以3m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊超過汽車。試求：汽車從路口開動后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？ 解1：（公式法）當汽車的速度與自行車的速度相等時，兩車之間的距離最大。設(shè)經(jīng)時間t兩車之間的距離最大。則

10、 解2：（圖像法）在同一個v-t圖中畫出自行車和汽車的速度時間圖像，根據(jù)圖像面積的物理意義，兩車位移之差等于圖中梯形的面積與矩形面積的差，當t=t0時矩形與三角形的面積之差最大。 v-t圖像的斜率表示物體的加速度 當t=2s時兩車的距離最大為圖中陰影三角形的面積 動態(tài)分析隨著時間的推移,矩形面積（自行車的位移）與三角形面積（汽車的位移）的差的變化規(guī)律.解3：（相對運動法）選自行車為參照物，以汽車相對地面的運動方向為正方向，汽車相對自行車沿反方向做勻減速運動v0=-6m/s，a=3m/s2，兩車相距最遠時vt=0 對汽車由公式（由于不涉及位移，所以選用速度公式）對汽車由公式 ： （由于不涉及“時

11、間”，所以選用速度位移公式。 ）表示汽車相對于自行車是向后運動的,其相對于自行車的位移為向后6m.解4：（二次函數(shù)極值法）設(shè)經(jīng)過時間t汽車和自行車之間的距離x，則，思考：汽車經(jīng)過多少時間能追上摩托車?此時汽車的速度是多大?汽車運動的位移又是多大？ 例3.一小圓盤靜止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一邊與桌的AB邊重合，如圖。已知盤與桌布間的動摩擦因數(shù)為1，盤與桌面間的動摩擦因數(shù)為2。現(xiàn)突然以恒定加速度a將桌布抽離桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB邊。若圓盤最后未從桌面掉下，則加速度a滿足的條件是什么？(以g表示重力加速度) 解：設(shè)圓盤的質(zhì)量為m，桌長為l，在桌布從圓盤上抽出的過程

12、中，盤的加速度為a1，有 桌布抽出后，盤在桌面上作勻減速運動，以a2表示加速度的大小，有 設(shè)盤剛離開桌布時的速度為v1，移動的距離為x1，離開桌布后在桌面上再運動距離x2后便停下，有 盤沒有從桌面上掉下的條件是 設(shè)桌布從盤下抽出所經(jīng)歷時間為t，在這段時間內(nèi)桌布移動的距離為x，有 而 由以上各式解得 ：例4.一輛汽車在十字路口等待綠燈，當綠燈亮時汽車以a3 m/s2的加速度開始行駛，恰在這時一輛自行車以v06 m/s的速度勻速駛來，從后邊超過汽車，試問：(1)汽車從路口開動后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？最遠距離是多大？(2)當汽車與自行車距離最近時汽車的速度是多大？解析：法一：用

13、臨界條件求解(1)當汽車的速度為v6 m/s時,二者相距最遠，所用時間為t2 s,最遠距離為sv0tat26 m.(2)兩車距離最近時有v0tat2 解得t4 s 汽車的速度為vat12 m/s.法二:用圖象法求解(1)汽車和自行車的vt圖象如圖所示，由圖象可得t2 s時，二者相距最遠最遠距離等于圖中陰影部分的面積，即s62 m6 m.(2)兩車距離最近時，即兩個vt圖線下方面積相等時，由圖象得此時汽車的速度為v12 m/s.法三:用數(shù)學方法求解(1)由題意知自行車與汽車的位移之差為sv0tat2因二次項系數(shù)小于零，當t2 s時有最大值，最大值smv0tat262 m322 m6 m. (2)

14、當sv0tat20時相遇得t4 s，汽車的速度為vat12 m/s.分析追及、相遇問題的常用方法1)物理分析法：抓好“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關(guān)鍵，認真審題，挖掘題中的隱含條件，在頭腦中建立起一幅物體運動關(guān)系的圖景2)相對運動法：巧妙地選取參考系,然后找兩物體的運動關(guān)系3)極值法：設(shè)相遇時間為t,根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于t的一元二次方程，用判別式進行討論,若0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；若0，說明剛好追上或相遇；若0,說明追不上或不能相碰4)圖象法：將兩者的速度時間圖象在同一坐標系中畫出，然后利用圖象求解. 一道“追及和相遇問題”試題的思考和引申sAs0A、B兩列火車在同一軌道上

15、同向行駛，A在前，速度為vA10m/s，B在后，速度為vB30m/s，因大霧能見度低，B車在距A車500m時，才發(fā)現(xiàn)前方有A車，這時B車立即剎車，但要經(jīng)過1800mB車才能停下，問：(1)車若要仍按原速前進，兩車是否相撞？試說明理由。(2)B在剎車的同時發(fā)出信號，A車司機在收到信號1.5s后加速前進，A車加速度為多大時，才能避免事故發(fā)生？（不計信號從A傳到B的時間）第一問的解法如下：l解：先求B車從剎車到停下來所需時間tB sB由sB =vBtB得 tB= =2s=120s再求在相同的時間內(nèi)A車通過的位移sA, sA=vAtB=10120m=1200m最后比較sA+s0和sB的大小關(guān)系即可判斷

16、結(jié)果.由于sA+s0=(1200+500)m=1700m故sA+s0sB由位置關(guān)系圖可知兩車會相撞。提問1：通過上面的計算我們知道兩車能相撞，試問它們何時相撞？解：設(shè)B車剎車后經(jīng)過時間t兩車相遇，依題意有sA+s0=sB而sA=vAt，sB=vBt+at2（其中a為B車剎車過程中的加速度，根據(jù)已知條件很易求出a-0.25m/s2），將sA、sB的表達式代入上式解得t1=31s，t2=129s提問2：為什么有兩個解？t2是否有意義？答：A、B兩車相撞兩次，第一次是B車追上A車，第二次是A車追上B車。兩車只能相撞一次，故t2沒有意義。提問3：B車追上A車時，哪車的速度大？答：B車的速度大， 因為B

17、車從減速到和A車的速度相等所需的時間為：t= =s=80s，因為t t1，故B車的速度大。提問4：若A、B兩車相遇但不會相撞，A車又追上B車時，B車的速度是多大？從B車開始減速到兩車第二次相遇共需多少時間？答：由于B車剎車后經(jīng)過120s后就停下來，故129s時它的速度仍為零。由于B車停止后不能往后倒，故第二次相遇所需時間為：t2= =s=130s。這是一個實際問題，要注意解的合理性。提問5：若開始兩車相距700m，試問兩車是否會相撞？答：由于sA+s0=1200+700m=1900m，而sB=1800m，即sA+s0sB，故兩車不會相撞。提問6：若用第二種方法，即設(shè)B剎車后經(jīng)過時間t兩車相撞，

18、方程是否有解呢？答：由sA+s0=sB得 vAt+ s0=vBt+at2即10t+700=30t-0.125t2移項并整理得 t2-160t+5600=0 該方程的判別式為=1602-45600=32000，故該方程有解，即相撞，并且有相遇兩次的可能。原來先是B超過A，后來A又超過B，我們不能認為開始時A在B的前面，后來A仍在B的前面，就得出兩車不相撞的結(jié)論。由此可見用簡單的位移關(guān)系是得不出正確結(jié)果的。提問7：試問：若要使兩車不相撞，開始時兩車間的距離s0至少為多少？解：設(shè)兩車經(jīng)過時間t后相撞，由位置關(guān)系易得出：vAt+ s0=vBt +at2即10t+s0=30t-0.125t2移項并整理得

19、t2-160t+8s0=0 要使兩車不相撞，即要使該方程無解，即即1602-48s00故s0800m，即開始時兩車間的距離至少為800m。提問8：若兩車剛好能相撞，相撞時兩車的速度有何關(guān)系？答：應該剛好相等，剛開始時B車的速度比A車的速度大，兩車之間的距離減小，當兩車的速度達到相等時，距離最小，之后兩車之間的距離將變大，若速度相等時還沒有相遇，則兩車不會再相遇。若s0=800m時，解得t=80s，此時B車的速度為v B =v B +at=30+(-025)80m/s=10m/s=v A。規(guī)律總結(jié)：求追及、相遇或相撞問題時，若問兩物體能否相撞，一般是設(shè)經(jīng)過時間t后兩物體相撞，根據(jù)位移關(guān)系列出方程

20、，它一般是關(guān)于t的二次方程，然后根據(jù)判別式的正、負或零來判斷，若，則二者能相撞，若，則不能相撞；若問二者何時相撞，解法同上，但要注意解是否合理，是否是實際問題；若問能相遇幾次，解出相遇所需的時間，有幾個解，就能相遇幾次，同樣要注意解是否合理；若求兩者之間的最大或最小距離，通常求出兩物體速度達到相等時各自的位移，兩位移之差即為兩物體之間的最大或最小距離；也可設(shè)經(jīng)過時間t后兩者相距S，根據(jù)位置關(guān)系寫出S的表達式，然后根據(jù)二次函數(shù)求極值的方法可以求出（一般用配方的方法來求）。這樣，該題第二問的解法很易得出：設(shè)B車剎車后經(jīng)過ts兩車剛好相撞，則應有：s B= s A+s0即v Bt+a B t2=v

21、A t0+ v A(t-t0)+ a A (t-t0)2+s0 ，30t-t2=15+10(t-1.5)+ a A (t-1.5)2+500剛好相撞，則=0，解得a A =0.16m/s29.總結(jié)一.物理模型：同一直線，同向（反向）運動。二.時間關(guān)系 1.同時出發(fā)，在倆者運動中追及，。 2.同時出發(fā)，在一個運動中，一個靜止追及，。 3.根據(jù)物體運動的特點，核對其運動的時間：確定有無運動的多過程問題。三.出發(fā)地點關(guān)系 1.同地追及，同一地點出發(fā)，最后追及相遇 2.異地追及，不在同一地點，最后追及相遇四.位移關(guān)系：A為汽車B為自行車，倆物體的相距，追上時A走過的位移， B走過的位移，。五.追及過程的距離極值問題： 在追及過程中，當，A，B倆物體之間達到距離的極值，可能為最大或最小，具體問題具體分析。六.追及過程中的恰好不相碰問題 1.追上的瞬間位移關(guān)系： 2.追上的瞬間速度關(guān)系：七.追上的瞬間比較加速度，分析二次追及問題1.追上的瞬間位移關(guān)系：2.追上的瞬間速度關(guān)系：， 3.追上時的加速度關(guān)系：八.討論有無二次追及的可能: 已知A，B倆物體相距，A追及B，討論追及可能發(fā)生的相關(guān)問題。1.當A的瞬時速度與B的瞬時速度相等時，即=，A的位移為，B的位移為，則2.討論與的關(guān)系，九.會使用圖像法解決追及相遇問題1.找到=相等的時刻2.比較面積發(fā)現(xiàn)的關(guān)系3.根據(jù)斜率比較加速度的關(guān)系4.確定解