2018高考復(fù)習(xí)之?dāng)?shù)列專題知識點歸納

1、2018高考復(fù)習(xí)之?dāng)?shù)列專題考點一：求數(shù)列的通項公式1.由an與Sn的關(guān)系求通項公式:由Sn與an的遞推關(guān)系求an的常用思路有：利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系是an當(dāng)n1時，a1若適合SnSn1，則n1的情況可并入n2時的通項an；當(dāng)n1時，a1若不適合SnSn1，則用分段函數(shù)的形式表示轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n的關(guān)系，再求an.2.由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式由遞推公式求通項公式的常用方法:已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項公式時，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解（1）當(dāng)出現(xiàn)anan1m時，構(gòu)造等差數(shù)列； 當(dāng)出現(xiàn)anxan

2、1y時，構(gòu)造等比數(shù)列；（2）當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時，用累加法求解；（3）當(dāng)出現(xiàn)=f(n)時，用累乘法求解.3.數(shù)列函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列因此，在研究函數(shù)問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用(1)數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)，因此要用函數(shù)的知識，函數(shù)的思想方法來解決(2)數(shù)列的單調(diào)性是高考?？純?nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項、最小項、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性時常用：作差；作商；結(jié)合函數(shù)圖象等方法（3)

3、數(shù)列an的最大(小)項的求法可以利用不等式組找到數(shù)列的最大項；利用不等式組找到數(shù)列的最小項. 考點二：等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1常數(shù)(n2)常數(shù)(n2)通項公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定義法(2)中項公式法：2an1anan2(n1)an為等差數(shù)列(3)通項公式法：anpnq(p、q為常數(shù))an為等差數(shù)列(4)前n項和公式法：SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an為等差數(shù)列(5)an為等比數(shù)列，an0logaan為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項公式法：aanan2(n1)(an0)an為等比數(shù)列(3)通項公式法：ancqn(c、q均是不為0的常數(shù)

4、，nN*)an為等比數(shù)列(4)an為等差數(shù)列aan為等比數(shù)列(a0且a1)性質(zhì)(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，則amanapaq特別：若mn2p，則aman2ap.(2)anam(nm)d(3) 數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列，即2(S2mSm)Sm+(S3mS2m)(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，則amanapaq特別地，若mn2p，則amana.(2)anamqnm(3) 若等比數(shù)列前n項和為Sn則Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比數(shù)列，即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*，公比q1)前n項和Snna1d(1)q1，Sn(2)q1，Snna1

5、1.在等差(比)數(shù)列中，a1，d(q)，n，an，Sn五個量中知道其中任意三個，就可以求出其他兩個解這類問題時，一般是轉(zhuǎn)化為首項a1和公差d(公比q)這兩個基本量的有關(guān)運算2.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形3.用函數(shù)的觀點理解等差數(shù)列、等比數(shù)列（1）對于等差數(shù)列ana1(n1)ddn(a1d)，當(dāng)d0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，對應(yīng)的點(n，an)是位于直線上的若干個離散的點；當(dāng)d0時，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，對應(yīng)的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，Sn有最小值；當(dāng)d0時，函數(shù)是

6、常數(shù)函數(shù)，對應(yīng)的數(shù)列是常數(shù)列，Sn=na1；當(dāng)d0時，函數(shù)是減函數(shù)，對應(yīng)的數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，Sn有最大值若等差數(shù)列的前n項和為Sn，則Snpn2qn(p，qR)當(dāng)p0時，an為常數(shù)列；當(dāng)p0時，可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問題（2）對于等比數(shù)列ana1qn1，可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來理解當(dāng)a10，q1或a10,0q1時，等比數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；當(dāng)a10,0q1或a10，q1時，等比數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列；當(dāng)q1時，是一個常數(shù)列；當(dāng)q0時，無法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個擺動數(shù)列4.常用結(jié)論(1)若an，bn均是等差數(shù)列，Sn是an的前n項和，則mankbn，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)(2

7、)若an,bn均是等比數(shù)列，則can(c0)，|an|，anbn，manbn(m為常數(shù))，a，等也是等比數(shù)列(3)公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比數(shù)列，且公比為q.(4)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，其公比為qk.等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差數(shù)列，公差為k2d.5.易錯提醒(1)應(yīng)用關(guān)系式an時，一定要注意分n1，n2兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起(2)三個數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的充要條件是b，但三

8、個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的必要條件是b2ac.6.等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù)，驗證anan1為同一常數(shù)；(2)等差中項法：驗證2an1anan2(n3，nN*)成立；(3)通項公式法：驗證anpnq；(4)前n項和公式法：驗證SnAn2Bn.注意：在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項法，而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷7.等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù)，nN*)或q(q為非零常數(shù)且n2，nN*)，則an是等比數(shù)列(2)等比中項公式法：若數(shù)列an中，an0且aanan2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項公式法：若數(shù)

9、列通項公式可寫成ancqn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列(4)前n項和公式法：若數(shù)列an的前n項和Snkqnk(k為常數(shù)且k0，q0,1)，則an是等比數(shù)列注意：前兩種方法常用于解答題中，而后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定.求解等比數(shù)列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比數(shù)列的通項公式、前n項和的公式中聯(lián)系著五個量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三個量，可以通過解方程(組)求出另外兩個量；其中基本量是a1與q，在解題中根據(jù)已知條件建立關(guān)于a1與q的方程或者方程組，是解題的關(guān)鍵(2)整體思想：當(dāng)公比q1時，Sn(1qn)，令t，則Snt(1qn)把與qn當(dāng)成

10、一個整體求解，也可簡化運算(3)分類討論思想：在應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，必須分類求和，當(dāng)q1時，Snna1；當(dāng)q1時，Sn；在判斷等比數(shù)列單調(diào)性時，也必須對a1與q分類討論(4)函數(shù)思想：在等比數(shù)列an中，anqn，它的各項是函數(shù)yqx圖象上的一群孤立的點，可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)研究等比數(shù)列問題(如單調(diào)性)，注意函數(shù)思想在等比數(shù)列問題中的應(yīng)用. 數(shù)列求和的常用方法1.數(shù)列求通項的方法：(1)一般地，數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，就先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備適用某種特殊方法的形式，從而選擇合適的方法求和得解數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項公式，這是做好該類題

11、的關(guān)鍵若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運用公式求解，否則常用下列方法求解：(1)an；(2)遞推關(guān)系形如an1anf(n)，常用累加法求通項；(3)遞推關(guān)系形如f(n)，常用累乘法求通項；(4)遞推關(guān)系形如“an1panq(p、q是常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項，此類通項問題，常用待定系數(shù)法可設(shè)an1p(an)，經(jīng)過比較，求得，則數(shù)列an是一個等比數(shù)列；(5)遞推關(guān)系形如“an1panqn(q，p為常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項，此類型可以將關(guān)系式兩邊同除以qn轉(zhuǎn)化為類型(4)，或同除以pn1轉(zhuǎn)為用迭加法求解2.數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：1.公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列

12、的前n項和公式求和(1)等差數(shù)列的前n項和公式：Snna1d；(2)等比數(shù)列的前n項和公式：Sn2.倒序相加法如果一個數(shù)列an的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導(dǎo)的3.錯位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列求a1b1a2b2anbn的和就適用此法做法是先將和的形式寫出，再給式子兩邊同乘或同除以公比q，然后將兩式相減，相減后以“qn”為同類項進行合并得到一個可求和的數(shù)列(注意合并后有兩項不能構(gòu)成等比數(shù)

13、列中的項，不要遺漏掉)4.裂項相消法利用通項變形，將通項分裂成兩項或n項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和這種方法，適用于求通項為的數(shù)列的前n項和，其中an若為等差數(shù)列，則.利用裂項相消法求和時應(yīng)注意哪些問題？(1)在把通項裂開后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項之差；(2)在正負項抵消后，是否只剩下了第一項和最后一項，或前面剩下兩項，后面也剩下兩項常見的拆項公式(1)； (2) ；(3) ； (4) ; (5)().5.分組求和法:一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后再相加減6.并項求和法一個數(shù)列的前n項和，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.7.放縮法是證明數(shù)列型不等式的壓軸題的最重要的方法,放縮法的